М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(Как показывает квантовая теория поля, подобные процессы действительно влияют на свойства элементарных частиц.)Аналогично все фермионы второго и третьего поколений могут (через слабое взаимодействие) превратиться в фермионы первого поколения(которым дальше распадаться некуда), и поэтому они так делают.заднем — для отрицательного. Непрерывность стрелок каждого типа позволяют проследитьсохранение электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел.6 Внутри стабильного атомного ядра условия иные, и нейтрон может жить неограниченнодолго.ГЛАВА 4Математические понятияквантовой теории. .
. между математическими понятиями подчас возникают совершеннонеожиданные связи и . . . именно эти связи позволяют нам удивительноточно и адекватно описывать различные явления природы. . . . в силупоследнего обстоятельства (поскольку мы не понимаем причин,делающих математические понятия столь эффективными) мы не можемутверждать, является ли теория, сформулированная на языке этихпонятий, единственно возможной.Юджин Вигнер, «Непостижимая эффективность математикив естественных науках»В этой главе вводятся основные математические понятия, на языке которых квантовую механику удобно излагать и понимать. Попутно вводимыепонятия обсуждают с разных точек зрения: различные обозначения, связьмежду понятиями, физический смысл, применение, аналогии с простейшими случаями (которые, вероятно, известны читателю), отличия от такихпростейших случаев и природа этих отличий . .
.Математический аппарат вводится с запасом (хотя это и не единственная математическая глава в книге), так что при первом чтении настоятельно рекомендуется не пытаться изучить всё, а, пропуская непонятные места(особенно помеченные звёздочками), побыстрее перейти в главе 5 «Принципы квантовой механики».4.1. Пространство волновых функций4.1.1. Функцией каких переменных является волновая функция?Волновая функция может зависеть от времени, но эту зависимость мыпока не рассматриваем, а берём систему в фиксированный момент времени.4.1. П РОСТРАНСТВОВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ67Распределение вероятностей для классической механической системыможно записать как функцию от координат и импульсов всех входящихв систему частиц (x, p), т. е., если вспомнить терминологию теоретическоймеханики, как функцию от точки фазового пространства1 .В квантовой механике мы не можем одновременно измерить координату и соответствующий этой координате импульс.
Аргументом волновойфункции должен быть максимальный набор одновременно измеримых величин, поэтому волновая функция не может зависеть одновременно от всехкоординат и импульсов.Волновая функция может быть представлена как функция от всех координат всех частиц системы2 , т.
е., если вспомнить терминологию теоретической механики, как функцию от точки конфигурационного пространства3 .Впрочем, задание волновой функции как функции на конфигурационном пространстве — координатное представление — это лишь одно извозможных представлений. Мы можем, например, задать волновую функцию как функцию на пространстве импульсов — импульсное представление (аргументы — все импульсы, всех частиц системы) получается из координатного представления преобразованием Фурье. Число всевозможныхпредставлений волновой функции бесконечно, подобно тому, как бесконечно число базисов, по которым можно раскладывать векторы. Это сравнениене случайно.
Далее мы будем рассматривать волновые функции как векторы.Важно отметить, что волновая функция описывает не отдельнуючастицу, а систему в целом. Если мы имеем систему из 10 частиц, тоона описывается не 10 волновыми функциями, от 3 переменных каждая,а одной волновой функцией, от 30 переменных (что гораздо сложнее длявычислений).
Действительно, информация, необходимая для описания системы, растёт с числом частиц не как арифметическая прогрессия, как былов классической механике, а как геометрическая.(*) Если мы описываем одну частицу в трёхмерном пространстве, тодля приближённого задания её состояния в классической механике надо задать 6 · K цифр (3 координаты и 3 импульса, на каждое число считаем поK десятичных знаков), а в квантовой механике — L3 · 2K цифр (по K десятичных знаков для вещественной и мнимой части каждого из значений вол1 Точка фазового пространства задаётся значениями всех обобщённых координат и импульсов системы.2 Для бесспиновых частиц.
Для частиц со спином полный набор одновременно измеримыхпеременных будет включать, например, проекции спинов всех частиц на какое-то направление,или какие-то другие спиновые переменные.3 Точка конфигурационного пространства задаётся заданием всех обобщённых координатсистемы.68ГЛАВА 4новой функции в L3 узлов решётки L × L × L). Если мы увеличиваем числочастиц в классической задаче, то число необходимых для описания системыцифр растёт пропорционально числу частиц N , т. е. требуется 6N · K цифр.(*) Для квантовой системы число цифр оказывается (L3 )N · K. Дажедля сравнительно небольшой решётки 100 × 100 × 100 объём информациирастёт в 106 раз при добавлении каждой новой частицы.
По этой причинев квантовой механике систем многих частиц (таких как сколько-нибудьсложные атомы, молекулы, конденсированные среды и т. п.) для расчётовприходится использовать те или иные приближения, например, приближение среднего поля, когда рассматривается одночастичная задача, а влияниевсех остальных частиц учитывается через эффективное поле, в которомдвижется частица4 .Часто пишут, что для системы, состоящей из невзаимодействующихподсистем, можно определить отдельные волновые функции для этихподсистем. Понимать это надо следующим образом.
Пусть полный набор одновременно измеримых переменных (x1 , x2 ) состоит из переменных (x1 ), описывающих первую подсистему, и переменных (x2 ), описывающих вторую. Тогда волновую функцию всей системы можно записатькак Ψ12 (x1 , x2 ). И если в некоторый момент времениΨ12 (x1 , x2 ) = ψ1 (x1 ) · ψ2 (x2 ),(4.1)то и в последующие моменты времени волновая функция системы записывается как произведение функций, описывающих подсистемы. Это аналогично поведению распределений вероятности в классической механике.Запись (4.1) волновой функции системы через функции подсистемыназывают тензорным произведением и записывают какΨ12 = ψ1 ⊗ ψ2 .(4.2)В общем случае (если ψ1 = ψ2 ) Ψ12 = Ψ21 = ψ2 ⊗ ψ1 , т. к. Ψ21 (x1 , x2 ) == ψ2 (x1 ) · ψ1 (x2 ).Однако в общем случае волновая функция Ψ12 уже не может бытьзаписана в виде произведения, хотя она и представима в виде суммы (или4 Само по себе уравнение Шрёдингера, описывающее эволюцию квантовой системы во времени, линейно, но в приближении среднего поля большое количество частиц описывается одной волновой функцией, которая описывает фон, на котором движется каждая из частиц.
Из-заэтого параметры уравнения начинают зависеть от волновой функции и уравнение становитсянелинейным. Таким образом, если вы где-то встретили нелинейное уравнение Шрёдингера, тоего написание, в большинстве случаев, вызвано не желанием обобщить одночастичное уравнение Шрёдингера, а желанием приближённо решить многочастичное уравнение.4.1. П РОСТРАНСТВО69ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙинтеграла) от нескольких таких произведений (i)(i)Ψ12 (x1 , x2 ) =ψ1 (x1 ) · ψ2 (x2 )⇔Ψ12 =i(i)(i)ψ1 ⊗ ψ2 .i(4.3)На самом деле, в классической механике мы имеем похожий эффект,если описываем систему, не задавая координаты и импульсы всех частиц,а задавая распределение вероятностей нахождения у системы того илииного набора координат и импульсов.
Задание распределений вероятности для отдельных величин достаточно для предсказания вероятностей различных исходов любого процесса, только если эти величины независимы.Тогдаρ12 (x1 , x2 ) = ρ1 (x1 ) · ρ2 (x2 )⇔ρ12 = ρ1 ⊗ ρ2 .(4.4)Если между величинами есть вероятностные корреляции (т. е. знание однойвеличины изменяет распределение вероятностей другой), то распределениеρ12 уже не может быть записано в виде произведения, хотя оно и представимо в виде суммы (или интеграла) от нескольких таких произведений (i) (i)(i)(i)ρ12 (x1 , x2 ) =ρ1 (x1 ) · ρ2 (x2 )⇔ρ12 =ρ1 ⊗ ρ2 . (4.5)iiКогда такое распределение вероятностей эволюционирует со временем, то независимые в начальный момент времени переменные, если ониотносятся к взаимодействующим друг с другом подсистемам, как правило, становятся коррелированы, и распределение вероятностей (волноваяфункция), которое сначала записывалось в виде произведения (факторизовалось), уже не факторизуется.
Это относится как к классическим, таки к квантовым системам.Таким образом, описание составных систем в классической и квантовой механике производится аналогично, если мы используем в обоих случаях вероятности (амплитуды вероятностей), однако в классической механике мы можем, хотя бы теоретически, обойтись без вероятностей, задаваяточные значения координат и импульсов, а для квантовой механики задание волновой функции (т. е. амплитуд всевозможных взаимоисключающихисходов) является наиболее полным возможным описанием системы.4.1.2. Волновая функция как вектор состоянияВ разных разделах математики в слово «вектор» может вкладыватьсяразличный смысл, но обычно векторы — элементы некоторого линейного70ГЛАВА 4пространства, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
