М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В этом приближении планеты и луны движутся по замкнутым эллиптическим орбитам, в соответствии с законами Кеплера. Послеэтого мы начинаем вводить разные поправки: учитываем те силы гравитационного притяжения и силы инерции, которыми первоначально пренебрегли, учитываем, что небесные тела не точки, а стало быть действуютещё и приливные силы, что приливные силы могут вызывать в веществетрение и переводить механическую энергию в тепловую, что кометы придвижении вблизи Солнца теряют вещество и т. д. и т.
п.Первым крупным успехом классической теории возмущений следует,вероятно, считать открытие в 1846 году планеты Нептун, ранее предсказанной на основе анализа возмущений других планет.На сегодня понятно, что в большинстве теорий (как классических, таки квантовых) точное аналитическое решение — скорее счастливое исключение, чем правило. Тем не менее, кажется, что бессознательный аналитический детерминизм продолжает оставаться мировоззрением многих людей,которые далеки от науки, но «верят в науку».
Во всяком случае, в художественной литературе подобные настроения частенько проскальзывают.2.6. Теоретическая механика классическаяи квантовая (ф)После того как Ньютон сформулировал законы Ньютона и создал наих основе классическую механику, считавшуюся незыблемой вплоть до создания специальной теории относительности (СТО), развитие механики непрекратилось.38ГЛАВА 2Выдающимися математиками и механиками был разработан принципэкстремального действия (2.7.1 «Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)»), на основе которого был дан ряд исключительно изящныхформулировок классической механики, в которых характер механическойсистемы полностью описывался заданием некоторой функции (лагранжианили гамильтониан6 ), а конкретное состояние системы описывалось как точка некоторого абстрактного фазового пространства (или как распределениев этом пространстве).По существу был разработан специальный математический язык дляописания механических теорий (моделей) с конечным числом степеней свободы.
Этот язык оказался настолько удачным, что появившаяся в началеXX века специальная теория относительности также была описана на этомязыке.Модификации теоретической механики для систем с бесконечным числом степеней свободы столь же изящно описывают механику сплошнойсреды и классические теории поля (первой из которых была электродинамика Максвелла).Мощный математический аппарат классической теоретической механики не пригоден для описания квантовой механики. Однако он может бытьмодифицирован для квантового случая.Существенная часть данной книги — изложение теоретической квантовой механики для систем с конечным числом степеней свободы. Подобноклассической теоретической механике, это специальный язык для описанияфизических теорий, который содержит квантовый гамильтониан (описывает характер физической системы) и квантовые состояния.
Между гамильтонианами соответствующих систем в классической и квантовой механикебудет установлено соответствие, хотя и не однозначное7 .Как и в классическом случае, обобщение квантовой механики на бесконечное число степеней свободы даст квантовую теорию поля (КТП). Переход к релятивистскому случаю потребует не только замены гамильтонианов, но и одновременно перехода к квантовой теории поля, поскольку прибольших энергиях становятся существенными процессы рождения частиц,а значит число степеней свободы оказывается переменным (потенциальнобесконечным).6 Лагранжиан (функция Лагранжа) — разность кинетической и потенциальной энергий, выраженная как функция от обобщённых координат и скоростей. Гамильтониан (функция Гамильтона) — суммарная энергия, выраженная как функция обобщённых координат и импульсов.7 Квантовая (теоретическая) механика систем с конечным числом степеней свободы оказывается похожа на классическую теорию поля (классическую механику с бесконечным числомстепеней свободы).
В частности, это позволит вывести уравнение Шрёдингера из вариационного принципа, как классические уравнения поля (4.11 «Вариационный принцип»).2.7. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )392.7. Несколько слов об оптике (ф)В классической оптике можно выделить три эпохи:• Геометрическая оптика,• Волновая оптика,• Волновая оптика как раздел классической электродинамики.Геометрическая оптика похожа на классическую механику, а волновая оптика обладает многими существенными чертами квантовой теории.Благодаря этому мы сможем многое понять в квантовой механике, простопо-новому взглянув на оптику и её историю в сравнении с механикой классической и квантовой.Позднее, в разделе 12.11 «Квантованные поля» (ф*) мы обсудим связьмежду классической и квантованной теориями поля на более детальном(хотя и не исчерпывающем) уровне.2.7.1.
Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)Как известно, классическая механика была создана Ньютоном («Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», 1687) по образу и подобию геометрии. В своих «Математических началах натуральной философии» Ньютонне писал формул, а в подражание «Началам» Евклида (1-е печатное издание: «Elementa geometriae», 1482) описывал все законы на геометрическомязыке.w(x)xРис.
2.6. Прохождение света через 2 щели в геометрической оптике.40ГЛАВА 2w(x)exp(iwt1)exp(iwt1®f)exp(iwt2)exp(iwt2®f)xРис. 2.7. Интерференция на 2 щелях.Мопертюи («Essay de Cosmologie», 1750), Эйлер («Reflexions surquelques loix generales de la nature», 1748), Лагранж («Mécanique analytique»,Париж, 1788) и Гамильтон («On a general method in Dynamics», PhilosophicalTransactions, 1834, 1835) переформулировали классическую ньютоновскую(геометрическую) механику по образу и подобию геометрической оптики. Согласно принципу Ферма (ок.
1660), свет распространяется по траекториям с экстремальным (часто минимальным) временем прохождения.Аналогично, согласно принципу экстремального действия, движение механической системы происходит таким образом, чтобы функционал действия S[x(t)] вдоль траектории x0 (t) был экстремален. Но если в геометрической оптике траектория луча света была кривой в трёхмерном физическом пространстве, то в теоретической механике траектория системы —кривая в конфигурационном пространстве, точки в котором задаются совокупностью обобщённых координат всех частей системы.Однако вскоре выяснилось, что распространение света более правильно описывается волновой оптикой. Вместо отдельных лучей в том же физическом пространстве следует рассматривать волну. Согласно принципуГюйгенса – Френеля (1816 г.), каждая точка фронта световой волны можетрассматриваться как источник вторичных волн, интерференция которых,с учётом фазы, задаёт дальнейшее распространение света.
При этом фаза волны определяется как eiωt , где t — время распространения. То самоевремя, которое входило в принцип Ферма.Если многократно повторять построение вторичных волн, каждый разразбивая волновые фронты на много мелких участков, то нам придётся2.7. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )41w(x)xРис. 2.8. Интерференция на бесконечном числе щелей в бесконечном числе ширм.Экраны «состоят из щелей», т. е.
в действительности никаких ширм нет, зато естьинтерференция света, идущего по всем возможным путям из источника в даннуюточку на экране.вычислять время распространения вдоль всевозможных траекторий лучасвета, после чего суммировать фазы тех траекторий, которые встречаются в нужной точке. Т. е. в волновой оптике свет распространяется по всемтраекториям одновременно, постоянно интерферируя сам с собой (см. раздел 3.2).Волновая (квантовая) механика в той части,в которой она описывает свободную эволюциюзамкнутой системы, относится к теоретическоймеханике так же, как волновая оптика относится к геометрической.
В квантовой механике вместо отдельных траекторий в том же конфигурационном пространстве следует рассматривать волну(волновую функцию). И тот же функционал действия S[x(t)], экстремальное значение которогоопределяло разрешённые траектории x0 (t) в классической механике, в квантовой определяет фаiS[x(t)]волновой функции.зу e h̄Поскольку действие — размерная величина,в показателе экспоненты она делится на постоянную h̄ с размерностью действия — постояннуюРис.
2.9. Луи ВикторПьер Раймон, 7-й герцогБрольи (Луи де Бройль),1929 г. (1892–1987). W42ГЛАВА 2Планка. Постоянную Планка можно положить равной 1 и рассматриватькак естественную единицу действия.«Размерностьдействия» = «расстояние» × «импульс» = «время» ×× «энергия».Положив постоянную Планка единицей, мытем самым выбираем в качестве единицы импульса обратную единицу длины, а в качествеединицы энергии — обратную единицу времени.Таким образом, размерность импульса совпадаетс размерностью волнового вектора, а размерностьэнергии — с размерностью частоты. Из специальной теории относительности мы знаем, что круговая частота ω вместе с волновым вектором kобразуют четырёхмерный волновой вектор ki == (ω, k). Аналогично энергия E и импульс pобразуют четырёхмерный импульс pi = (E, p).Рис.
2.10. Макс Планк Как было показано Планком, на примере излу(1858–1947)вручает чения чёрного тела, и Эйнштейном, на примеАльбертуЭйнштейну ре фотоэффекта, четырёхмерный импульс кванта(1879–1955)медаль электромагнитного излучения (фотона) и волноМакса Планка, 1929 г. Wвой вектор соответствующей волны являются одним и тем же объектом, выраженным в разныхединицах:pi = h̄ki ⇔ E = h̄ω, p = h̄k.(2.1)Де Бройль догадался, что любой частице с определённым 4-импульсом соответствует некоторая волна, чей волновой 4-вектор выражается той жеформулой.2.7.2. Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*)Рассмотрим поле плоской монохроматической электромагнитной волны. Электрическое поле в какой-то точке пространства может быть заданокакE = Re (A exp(−iωt)) = Re (A) cos(ωt) + Im (A) sin(ωt).Здесь A — комплексная амплитуда электромагнитной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
