М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При этом, непосредственно в контакт с исследуемым объектом может вступать одна частица,но в процессе дальнейшей передачи сигнала и его усиления (если такоеусиление нужно) в процесс вовлекается всё больше и больше частиц. Если у прибора есть стрелка, то в результате макроскопический наблюдательсможет поставить единичку в одну или другую колонку лабораторного журнала.В некоторых случаях результат измерения можно предсказывать однозначно. Однако для этого волновая функция и измеряемая величина должны бытьсвязаны определённым соотношением, тогда говорят,что данная величина определена в данном состоянии.Для того же состояния системы (той же волновойфункции) можно подобрать другую величину, измерение которой уже не будет однозначно предсказуемо.
(Например из соотношения неопределённостиследует, что чем точнее определён импульс, тем сильнее частица «размазана» по координате.)Рис. 2.2. Макс БорнВероятность того или иного исхода измерения(1882–1970). Wфизической величины описывается правилом Борна, связывающим квадрат модуля волновой функции(амплитуды вероятности) |ψ(x)|2 с вероятностью результата измерения. Этоправило, которое мы (в простейшем случае) «угадаем» при анализе смысла комплексной амплитуды электромагнитной волны (2.7.2 «Комплекснаяамплитуда в оптике и число фотонов (ф*)»), является универсальным.Таким образом, состояние системы (заданное, например, волновойфункцией) может меняться со временем двумя принципиально различнымиспособами: предсказуемо без взаимодействия с окружением и непредсказуемо при измерении.3 Знание наблюдателем результата измерения различает селективное измерение от неселективного, но такое различие, основанное на незнании, уже полностью описывается на языкеклассической теории вероятностей.2.4.
П РИНЦИПСООТВЕТСТВИЯ ( Ф )332.4. Принцип соответствия (ф)Для того, чтобы состыковать квантовую теорию с надёжно установленными и многократно подтверждёнными экспериментом и практикой законами классической физики и определить пределы применимости классической физической интуиции, Нильс Бор ввёл в 1923 году принцип соответствия:Если при описании явления применимы две разные теории, топредсказания результатов эксперимента должны соответствоватьдруг другу.Однако язык, на котором теории описывают одно и то же явление, может быть совершенно различен, и установление соответствия между различными описаниями может само по себе быть нетривиальнойзадачей.
Также нетривиальной задачей является выяснение того, в каких именно пределах предсказания теорий совпадают. Установление этихпределов важно для определения области применимости каждой теории.Принцип соответствия — не физический, а общефилософский принцип. Применительно к квантовой механике его обычно формулируют так:Поведение квантовой системы в пределе больших квантовых чисел соответствует поведению аналогичной классической системы.Иногда общий принцип формулируют так:Новая теория должна в некотором пределе воспроизводить предсказания старой, проверенной теории.Однако такую формулировку следует считатьслишком узкой, т. к.
новая теория не всегда перекрывает область применимости старой теории полностью. На сегодняшний день у нас нет одной «самой современной» фундаментальной физической теории, а есть несколько хороших фундаментальных физических теорий, каждая из которых хорошо работаетв своей области применимости и согласуется с другими теориями там, где их области применимости пере- Рис. 2.3. Нильссекаются. Вот некоторые примеры теорий и примене- Хенрик Давид Бор(1885–1962).
Wния к ним принципа соответствия:• Ньютоновская механика (НМ) — общий предел для всех современныхфизических теорий для расстояний, времён, масс не слишком большихи не слишком малых, и скоростей много меньше скорости света.34ГЛАВА 2• Специальная теория относительности (СТО) полностью воспроизводит ньютоновскую механику в пределе малых скоростей.• Общая теория относительности (ОТО) полностью воспроизводитСТО в пределе малых масс, времён и расстояний (в малой областипространства-времени).• Нерелятивистская квантовая механика (КМ) полностью воспроизводит НМ в пределе больших расстояний, времён, действий (действиедолжно быть большое в единицах h̄, расстояние — в волнах де Бройляи т.
д.).• Квантовая теория поля (КТП) (в виде стандартной модели) полностью воспроизводит КМ в пределе малых скоростей и энергий, полностью воспроизводит СТО в пределе больших расстояний, времён,действий (как КМ воспроизводит НМ). КТП согласуется с ОТО в пределе слабых гравитационных полей, но для сильных гравитационныхполей современная КТП не работает.Мы видим, что среди перечисленных теорий две «самые современные»: ОТО и КТП. Они согласуются между собой, но ни одна не покрываетдругую полностью. Конечно, физики мечтают открыть теорию, которая бывоспроизводила в соответствующих пределах и ОТО, и КТП. Есть разныепретенденты на роль такой теории, но среди них пока нет общепризнанного.2.5.
Несколько слов о классической механике (ф)Счастливец Ньютон, ибо картину мира можноустановить лишь однажды.Жозеф Луи ЛагранжКлассическая ньютоновская механика столетиями считалась абсолютно точной и окончательной физической теорией. С начала XX века оказалось, что на самом деле она описывает предельный случай не слишкомбольших и не слишком малых расстояний, времён, масс, скоростей. В своей области применимости, где классическая механика великолепна, она используется до сих пор и будет использоваться всегда. И, согласно принципусоответствия, любая физическая теория должна быть проверена на соответствие с ньютоновской механикой.2.5. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ О КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ( Ф )352.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф)Очень трудно сделать точныйпрогноз, особенно о будущем.Нильс Бор WУравнение Шрёдингера всегда устойчиво по начальным данным.В классической механике большинство интересных систем неустойчиво,т. е.
первоначальная малая ошибка в начальных данных экспоненциально нарастает со временем. Например, по оценке для тороидальной Земли характерное время, за которое малые возмущения состояния двумернойатмосферы увеличиваются в e раз, составляет порядка одной недели: «Например, для вычисления погоды на два месяца вперёд нужно иметь в запасепять знаков точности. Практически это означает, что вычислять погоду натакой срок невозможно»4 .Рис. 2.4.
Аттрактор («бабочка») Лоренца — классический пример того, как детерминистическая динамика порождает хаос. Витки кривой проходят сколь угодно близкодруг к другу, в результате чего сколь угодно малая ошибка приводит к тому, что современем мы ошибёмся «лепестком». Первоначально аттрактор Лоренца возник причисленном исследовании простейшей модели погоды.В реальности устойчивая механическая система, тем более разрешимаяаналитически, — редкая удача. Практически каждая такая система являетсяхорошим нулевым приближением для некоторого класса задач, отталкиваясь от которого можно строить теорию возмущений, внося малые поправкив уравнения и их решения.4 В. И. Арнольд, «Математические методы классической механики», Добавление 2: «Геодезические левоинвариантных метрик».36ГЛАВА 2Неустойчивость уравнений классической механики работает как своеобразный микроскоп, который вытягивает на макроуровень всё более и более мелкие возмущения первоначальной системы.
Это приводит к тому,что классическая механика позволяет делать предсказания на сколь угодно длинные сроки только тому, кто знает начальные данные с бесконечнойточностью, т. е. может оперировать с бесконечным объёмом информации5 .(Этот «кто-то» носит гордое имя Демона Лапласа.)На достаточно больших временах (по сравнению с характерным временем нарастания возмущений) классическая механическая система «забывает» начальные данные (за исключением «хороших»=аддитивных сохраняющихся величин, таких как энергия), и мы можем делать для неё лишьвероятностные предсказания.2.5.2.
Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф). . . в пространстве ничего не пропадает; если ты оставишь в нёмпортсигар, так достаточно рассчитать элементы его траектории, прибытьна то же место в надлежащее время, и портсигар, следуя по своейорбите с астрономической точностью, попадёт к тебе в руки в заранеерассчитанную секунду.С. Лем, рассказ «Патруль», серия «Приключениязвёздного навигатора Пиркса»Простейшие классические механические системы, такие как гармонический осциллятор, часто бывают и устойчивы, и аналитически решаемы, и темсамым, вдвойне не типичны. Это одна из причин того, за что их любят в школе и на младший курсах. Конечно, приятно, когда уравнения решаются аналитически. Именно точные аналитические решения производят впечатление наиболее «настоящих».
Кому-тоРис. 2.5. Демон Ла- возможно кажется, что все уравнения должны такпласа (Laplace No Ma) решаться. Такую точку зрения в комбинации с лапо версии японских пласовским детерминизмом можно было бы назватьмультипликаторов.«аналитическим детерминизмом». Сам Лаплас «анаc[P-G/R]литического детерминизма», скорее всего, не придер5 Чтобы задать произвольное вещественное число, необходимо знать бесконечное количество цифр после запятой. В теории случайных процессов вещественное число является однойиз стандартных моделей случайного процесса, поскольку с помощью вещественных чисел изотрезка [0, 1] можно пронумеровать все бесконечные последовательности цифр.2.6. Т ЕОРЕТИЧЕСКАЯМЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ( Ф )37живался, и своего демона придумал исключительно как мысленный эксперимент, ведь в своих астрономических вычислениях ему приходилосьвместо точных аналитических решений пользоваться последовательнымиприближениями теории возмущений.Теория возмущений сегодня строится в рамках различных физическихтеорий, но исторически первой была как раз небесная механика.
Основную идею теории возмущений можно описать так: мы упрощаем изучаемую систему настолько, чтобы появились простые решения (так называемые «невозмущённые решения», очень приятно, когда это точные аналитические решения), после чего ищем решения исходной системы в виде«невозмущённые решения» + «поправки».Например, рассматривая движение планет, лун, комет и других тел солнечной системы, мы сперва учитываем только притяжение планет к Солнцуи лун к соответствующим планетам, считая при этом Солнце, планеты и луны материальными точками и пренебрегая ускорениями планет при расчётедвижения лун.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
