М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ВАРИАЦИОННЫЙПРИНЦИП121производной и умножения на x. Множество таких функций плотно в L2 (R).Тем не менее, в некоторых случаях область определения коммутатора [x̂, p̂]оказывается важной. Если мы будем рассматривать волновые функции периодичные с периодом a, то в область определения коммутатора попадуттолько функции, для которых ψ(0) = ψ(a) = 0. И хотя такие функции такжеплотны в пространстве L2 ([0, a]), собственные функции оператора импульса (при таких граничных условиях спектр импульса дискретен) в областьопределения коммутатора уже не попадают.Задача о неправильном коммутатореМногие студенты поначалу считают коммутатор координаты и импульса так:∂[x̂, p̂] = x̂p̂ − p̂x̂ = x(−ih̄ ∂x) + ih̄∂∂∂x x = −ih̄x ∂x + ih̄.
1лишний членНайдите ошибку и не делайте такую ошибку сами.4.11. Вариационный принципСреднее значение энергии в состоянии |ψ может быть записано каксреднее взвешенное от стационарных уровней энергии. Это позволяет заключить, что минимальное среднее значение энергии не может быть меньше,чем энергия основного состояния (состояние с минимальной возможнойэнергией):ψ|Ĥ|ψE0 = min.(4.65)ψ=0 ψ|ψАналогичные методы могут применяться и к другим эрмитовым операторам, но для того, чтобы минимум (максимум) достигался, необходимо,чтобы спектр был ограничен снизу (сверху).4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шрёдингера**Мы можем написать (4.65) как условный минимум (но достижим онбудет, только если основное состояние принадлежит дискретному спектру)E0 = min ψ|Ĥ|ψψ|ψ=1122ГЛАВА 4и искать условный минимум методом лагранжевых множителей E0 = min ψ|Ĥ|ψ + E(1 − ψ|ψ) .ψ=0E[ψ|,|ψ]То есть у нас есть функционалE[ψ|, |ψ] = ψ|Ĥ|ψ + E(1 − ψ|ψ),если ψ(x) — комплексная функция, илиE1 [ψ] = (ψ|Ĥ|ψ) + E(1 − (ψ|ψ)),если ψ(x) — вещественная функция, а скобки обозначают вещественноескалярное произведение.Варьируя функционал по ψ|, |ψ и по E, получаем δE = δψ| Ĥ|ψ − E|ψ + ψ|Ĥ − ψ|E |δψ + δE (1 − ψ|ψ) .
нормировкастац. ур. Шрёдингерасопр. ст. ур. Шр.Эта вариация обращается в ноль, если выполнено стационарное уравнениеШрёдингера и условие нормировки на 1.16При этом лагранжев множитель оказывается собственным значениемэнергии.При записи функционала E в виде интеграла для стандартного гамильp̂2тониана Ĥ = 2m+ U (x) (p̂ = −ih̄∇) 2∗∗ − h̄ ∗∗E[ψ (x), ψ(x)] =ψψ + U (x) ψ ψ + E(1 − ψ ψ) dx =2m 2h̄∗∗∗=(∇ψ ) (∇ψ) + U (x) ψ ψ + E(1 − ψ ψ) dx2m(4.66)мы получаем интегральный функционал, подобный функционалам, минимизация которых даёт условиях равновесия в статике.
От действия в теоретической механике он отличается отсутствием времени.16 Стационарные точки функционала дают все стационарные состояния, а не только основное! Однако минимум достигается только на основном состоянии, а прочие дают седловыеточки, при условии, что спектр неограничен сверху. Если спектр ограничен сверху, то кромеминимума появится ещё и максимум, достигаемый на состоянии и наибольшей энергией.4.11.
ВАРИАЦИОННЫЙПРИНЦИП123Мы можем получить и нестационарное уравнение Шрёдингера, есливведём функционал действияt1 S[ψ(t)|, |ψ(t)] =ψ(t)|Ĥ|ψ(t) − ψ(t)|ih̄ ∂∂t |ψ(t) dt.t0В интегральном виде для того же стандартного гамильтониана 2h̄∗∗∗∗∂S[ψ (x), ψ(x)] =(∇ψ ) (∇ψ) + U (x) ψ ψ − ψ ih̄ ∂t ψ dx dt.2m(4.67)Варьируя по ψ| и |ψ, получаемt1δS =t0! ∂∂δψ(t)| Ĥ|ψ(t) − ih̄ ∂t |ψ(t) + ψ(t)|Ĥ + ih̄ ∂t ψ(t)| |δψ(t) dt. ур. Шрёдингерасопр.
ур. ШрёдингераТаким образом, мы можем получить уравнение Шрёдингера из действия,как уравнение теории поля в расширенном (с добавлением времени, какдополнительной координаты) конфигурационном пространстве.4.11.2. Вариационный принцип и основное состояниеВ некоторых случаях может быть удобно искать точную или приближённую волновую функцию основного состояния, минимизируя среднюю энергию (4.65).Мы можем искать минимум среди волновых функций ψ(λ) определённого вида, параметризуемых конечным числом параметров λ, тогдазадача становится задачей поиска минимума функции нескольких переменных. Если вид волновых функций, среди которых ищется минимум, удачноугадан, то полученная волновая функция может оказаться хорошим приближением к реальной волновой функции основного состояния:E0 ≈ minλψ(λ)|Ĥ|ψ(λ).ψ(λ)|ψ(λ)Также иногда может быть полезен тот факт, что средняя энергия полюбому состоянию даёт оценку сверху на энергию основного состояния:E0 ψ|Ĥ|ψ.ψ|ψ(4.68)124ГЛАВА 4Например, чтобы доказать наличие отрицательных собственных значений,достаточно предъявить одно состояние (не обязательно собственное!), средняя энергия в котором отрицательна.4.11.3.
Вариационный принцип и возбуждённые состояния*Точно так же как при поиске основного состояния, мы можем искатьпервое возбуждённое состояние и оценивать его энергию, если ограничимпоиск минимума подпространством, ортогональным основному состоянию:E1 =ψ|Ĥ|ψ.ψ=0,ψ0 |ψ=0 ψ|ψmin(4.69)Аналогично можно искать и последующие состояния:En =ψ|Ĥ|ψ.ψ=0,ψk |ψ|k<n =0 ψ|ψmin(4.70)Однако, если основное и последующие состояния определены не точно, то такой метод даёт дополнительные ошибки, за счёт того, что в результате подпространство, выделенное условиемψ̃k |ψ|k<n = 0,где ψ̃k — приближённые собственные состояния, окажется не ортогональнонастоящим собственным состояниям ψk .ГЛАВА 5Принципы квантовой механики5.1. Квантовая механика замкнутой системыЭволюция замкнутой системы в квантовой механике (2.3.1 «Когда наблюдатель отвернулся . .
. ») — самая простая для понимания часть теории.Здесь нет никаких непонятностей и вероятностей: эволюция системы одинаково хорошо предсказуема как вперёд, так и назад по времени.Эволюция замкнутой системы — вращение пространства состояний.В отличие от привычного нам двумерного или трёхмерного вращения, вращение пространства состояний (которое, как правило, бесконечномерно)может быть задано как поворот в плоскости только для бесконечномалыхвремён (на этом основана 7.4.2 «Теорема Халфина»). В общем случае (длянезависящего от времени гамильтониана) мы можем представить наше пространство состояний как сумму одномерных комплексных (т. е.
двумерныхвещественных) подпространств и в каждом таком пространстве эволюциябудет описываться как обычное вращение в плоскости с определённой угловой скоростью.Эволюция замкнутой системы может рассматриваться как симметрия — сдвиг по времени, порождаемый оператором энергии (гамильтонианом). Далее в главе 11 «Симметрии-1 (теорема Нётер)» мы проделаем похожие выкладки для сдвига по координате и оператора импульса.5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятностиКогда квантовая система свободно эволюционирует, не подвергаясьвнешним воздействиям, в момент времени t1 её состояние (волновая функция) ψ(t1 ) должно выражаться через состояние ψ(t0 ) в предшествующиймомент времени t0 .
При этом суммарная вероятность должна сохраняться,т. е., вспоминая смысл скалярного квадрата волновой функции,ψ(t0 )|ψ(t0 ) = ψ(t1 )|ψ(t1 ) = 1.(5.1)126ГЛАВА 5Предположим, что для свободной эволюции квантовой системы выполняется принцип суперпозиции, т. е. если χ(t0 ) = αψ(t0 ) + βϕ(t0 ), тоχ(t1 ) = αψ(t1 ) + βϕ(t1 ) с теми же коэффициентами α и β. Это означает,что волновая функция, описывающая систему в момент времени t1 , получается из волновой функции, описывающей систему в момент времени t0 ,с помощью некоторого линейного оператора Û (t1 , t0 ), называемого оператором эволюции:ψ(t1 ) = Û (t1 , t0 )ψ(t0 ),ϕ(t1 ) = Û (t1 , t0 )ϕ(t0 )и т.
д.Операторы эволюции должны образовывать семейство, удовлетворяющееследующим условиям:Û (t0 , t0 ) = 1̂,Û (t2 , t1 )Û (t1 , t0 ) = Û (t2 , t0 ),t 2 t1 t0 .Условие (5.1) даётψ(t1 )|ψ(t1 ) = ψ(t0 )|Û † (t1 , t0 )Û (t1 , t0 )|ψ(t0 ) = 1.(5.2)Поскольку (5.2) должно выполняться для всякого состояния ψ(t0 ), это может быть записано как условие на оператор эволюцииÛ † (t1 , t0 )Û (t1 , t0 ) = 1̂.(5.3)Условие (5.3) очень похоже на условие унитарности, но это ещё не оно.Это условие необходимо для унитарности, но достаточно только в конечномерном случае1 .Чтобы получить для оператора эволюции унитарность для бесконечномерного пространства состояний, можно добавить одно из следующихдополнительных условий:1 В бесконечномерном случае легко построить оператор Â, для которого †  = 1̂, но† = 1̂.
Пусть состояния ψn , n = 0, 1, 2, . . . , образуют базис в пространстве состояний.Определим оператор  условием Â|ψn = |ψn+1 . Базисные матричные элементы оператора имеют вид Am,n = ψm |Â|ψn = δm,n+1 . Ненулевые матричные элементы оператора† получаются комплексным сопряжением и транспонированием: A†n,m = ψn |† |ψm == δn+1,m = A∗m,n . Это позволяет записать действие оператора † на базисные векторы:† |ψn = |ψn−1 , n = 1, 2, .
. . , и † |ψ0 = 0. Действуя операторами †  и † набазисные векторы, получаем † Â|ψn = |ψn , как и полагается единичному оператору. Но† |ψn = |ψn только для n = 0, тогда как † ψ0 = 0, т. е. † = 1̂ − |ψ0 ψ0 |.5.1. К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ127• Просто потребовать унитарности операторов Û (t1 , t0 ). Это условиесамое сильное, даже избыточное, оно предполагает одновременноÛ † Û = 1̂ и Û Û † = 1̂. Но первое из этих условий уже было предположено ранее.• Потребовать дополнительно Û Û † = 1̂.• Потребовать существования обратного оператора Û −1 .
Тогда из ранеевыведенного условия Û † Û = 1̂ получаем Û −1 = Û † .• Потребовать, чтобы любое конечное состояние в момент времени t1могло быть получено с помощью оператора Û (t1 , t0 ) из какого-то начального состояния в момент времени t0 (на самом деле это предыдущее условие, сформулированное другими словами).• Потребовать, чтобы временная эволюция квантовой системы была обратима по времени.Таким образом, мы можем сказать, что унитарность свободной эволюции квантовой системы следует из трёх фундаментальных положенийквантовой теории: линейность, сохранение вероятности, обратимостьвремени.
Унитарная эволюция при таком подходе оказывается более фундаментальным положением, чем уравнение Шрёдингера.Обеспечив унитарность оператора эволюции при помощи одного извышеперечисленных условий, мы можем отказаться от условия t1 t0 и наравных основаниях рассматривать эволюцию вперёд и назад по времени.ТеперьÛ (t0 , t1 ) = Û −1 (t1 , t0 ) = Û † (t1 , t0 ),а условиеÛ (t2 , t1 )Û (t1 , t0 ) = Û (t2 , t0 )выполняется для любых моментов времени t0 , t1 , t2 .Для автономных систем, т. е. для систем, поведение которых не зависитот времени явно, мы можем произвольно сдвигать начальный и конечныймоменты времени на одинаковую величину, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
