М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 30
Текст из файла (страница 30)
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ145Интегралы, задающие средние наблюдаемой F в момент времени tсвязаны друг с другом заменой переменных интегрирования:, F t = dQ dP Fл (Q, P, t) л (Q, P, t) == dQ dP Fл (Q(Q0 , P0 , t), P (Q0 , P0 , t), t) ×Fг (Q0 ,P0 ,t)× л (Q(Q0 , P0 , t), P (Q0 , P0 , t), t) =г (Q0 ,P0 )dQ0 dP0=∂(Q, P )Fг (Q0 , P0 , t) г (Q0 , P0 ) =∂(Q0 , P0 ) =1=dQ dP Fг (Q, P, t) г (Q, P ).Здесь Q(Q0 , P0 , t) и P (Q0 , P0 , t) — координатыи импульсы в момент t как функции от начальных значений Q0 , P0 и времени t:Q(Q0 , P0 , 0) = Q0 ,P (Q0 , P0 , 0) = P0 .Тождество на якобианJ=∂(Q, P )=1∂(Q0 , P0 )Рис.
5.2. Жозеф Лиувилль(1809–1882). W— теорема Лиувилля о сохранении фазовогообъёма. Его физический смысл — сохранение вероятности, в этом оно аналогично условию унитарности квантовой эволюции.Докажем теорему Лиувилля. Для этого достаточно показать, что dJdt = 0в начальный момент времени.Qi (δt) = Qi0 + ∂Hi · δt + o(δt),∂PP i (δt) = P0i − ∂Hi · δt + o(δt),∂Q⎛⎞∂ 2 H · δt∂ 2 H · δtiδ+⎜ j ∂P i ∂Qj⎟∂(Q(δt), P (δt))∂P i ∂P j⎟ + o(δt) == det ⎜22⎝⎠∂H∂H∂(Q0 , P0 )− i j · δt δji −·δtij∂Q ∂Q∂Q ∂P146ГЛАВА 5⎛⎞∂2H∂2Hij⎜ ∂P ∂Q∂P i ∂P j ⎟⎟ · δt + o(δt) == 1 + tr ⎜22⎝⎠∂H∂H− i j − i j∂Q ∂Q∂Q ∂P=1+$i%∂2H − ∂2H+ o(δt) = 1 + o(δt).∂P i ∂Qi∂Qi ∂P iТаким образом,J(0) = 1,dJ = 0dt⇒J ≡ 1.5.2.10.
Уравнения в представлении взаимодействия*Дифференциальное уравнение для оператора в представлении взаимодействия мы можем получить дифференцированием выражения (5.17) Âв =(0)†(0)= Ût Âш Ût , но результат можно написать сразу, он совпадает с уравнениями Гайзенберга для невозмущённого гамильтониана (5.18):dÂвdÂшi(0).(5.29)= [Ĥв , Âв ] +dth̄dtвВолновая функция (5.15) |ψв (t) =по времени даёт(0)†Ût |ψш (t)при дифференцировании(0)†d |ψ (t) = dÛt |ψ + Û (0)† d |ψ =вшшtdtdtdt(0)†(0)† −i= i Ut Ĥ (0) |ψш + ÛtĤh̄h̄|ψш =(Ĥ (0) +V̂ )= − i Ûth̄(0)†(0)†(0)V̂ |ψш = − i Ût V̂ Ût |ψв = − i V̂в |ψв .h̄ h̄(0)Ût|ψв V̂вТаким образом, временная эволюция волновой функции в представлении взаимодействия описывается уравнением Шрёдингера, в котором вместо гамильтониана используется оператор возмущения, записанный в представлении взаимодействия:ih̄ d |ψв (t) = V̂в |ψв .dt(5.30)5.3.
И ЗМЕРЕНИЕ147Эволюцию волновой функции в представлении взаимодействия мы можем описать как действие на исходную волновую функцию специальногооператора эволюции(0)†|ψв (t) = Ût(0)†|ψш (t) = Ût Ût |ψ(0) = Ûtв |ψ(0). ÛtвГлядя на (5.30), мы можем записать уравнение Шрёдингера для оператора(0)†эволюции Ûtв = Ût Ûtih̄ d Ûtв = V̂в Ûtв ,dtÛ0в = 1̂.(5.31)При этом, оператор V̂в может зависеть от времени, даже если гамильтонианы Ĥ (0) и Ĥ = Ĥ (0) + V̂ от времени не зависели. Это возможно в томслучае, если [Ĥ (0) , V̂ ] = 0.5.3. ИзмерениеПроцедура измерения — единственное место в стандартной квантовоймеханике, которое вносит в теорию вероятности и необратимость.
Приунитарной эволюции переход от начального состояния к конечному описывается обратимыми операторами, а значит всегда можно восстановитьпо конечному состоянию начальное. При измерении иначе: состояние после измерения всегда получается из состояния до измерения с помощьюнеобратимого оператора (проектора), случайным образом выбираемого изнекоторого набора.Влияние измерения на состояние системы неизбежно в квантовоймеханике. Это накладывает принципиальные ограничения на точностьпри одновременном измерении различных величин (соотношения неопределённостей).
Влияние измерения на состояние системы носит существенно неклассический характер, с чем связан ряд интересных эффектов и парадоксов, которые мы также обсудим ниже.Процедура измерения не выводится из уравнений, описывающих поведение изолированных систем.5.3.1. Проекционный постулатОбсуждая вероятностный смысл волновой функции, мы уже затрагивали процедуру измерения (см. 3.1.4 «Распределение вероятностей и волно-148ГЛАВА 5вые функции при измерении», 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скалярное произведение», 4.5.1 «Нормировка волновых функций на единицу»).Наряду с формулами для волновых функций здесь приводятся соответствующие формулы для матриц плотности, которые при первом чтенииможно пропускать.Как мы уже знаем, в результате измерения, дающего ответ «да», волновая функция ψдо проецируется с помощью ортогонального проектора†= P̂да P̂даP̂да = P̂дана некоторое подпространство Hда пространства H.
Нормированная на вероятность волновая функция (матрица плотности*) сразу после измеренияимеет вид:|ψда = P̂да |ψдо ∈ Hда .∗ρ̂да = P̂да ρ̂до P̂да ∈ Hда ⊗ Hда,ρ̂до ∈ H ⊗ H∗ .[∗]При этом вероятность того, что измерение даст ответ «да», выражаетсяследующими способами:pда = P̂да = ψдо |P̂да |ψдо = ψда |ψдо = ψда |ψда .2) = tr(P̂да ρ̂до P̂да ) = tr(ρ̂да ).pда = P̂да = tr(ρ̂до P̂да ) = tr(ρ̂до P̂да[∗]Процесс измерения в стандартной квантовой механике считаетсямгновенным, а результат измерения абсолютно непредсказуемым (можноопределить лишь вероятности).Если задан проектор P̂да , то можно определить проекторP̂нет = 1̂ − P̂да ,описывающий неполучение ответа «да» (получение ответа «нет»). Подпространство Hнет состоит из векторов, ортогональных всем векторам из Hда .Любой вектор из H однозначно разлагается по этим подпространствам:|ψ = 1̂|ψ = (P̂да + P̂нет )|ψ = P̂да |ψ + P̂нет |ψ = |ψда + |ψнет .Свойства проектора P̂нет и его использования полностью аналогичны свойствам P̂да .
Во всех рассуждениях мы можем сделать замену «да»↔«нет».В следующих подразделах мы рассматриваем вопрос о построениипроекторов для различных вопросов/измерений и их свойствах.5.3. И ЗМЕРЕНИЕ149Невырожденный дискретный спектрПусть мы измеряем физическую величину, описываемую эрмитовымоператором Â с дискретным невырожденным спектром.
Т. е.αk = αk , k = k ,Â|ϕk = αk |ϕk ,причём k — дискретный параметр.Набор ϕk образует ортогональный базис, элементы которого можнонормировать на единицу, т. е.ϕk |ϕk = δkk ,|ϕk ϕk | = 1̂.(5.32)(5.33)kМы можем описать измерение, определяющее значение физической величины Â, т. е. определяющее в каком из состояний ϕk находится система,следующим образом:• P̂k = |ϕk ϕk | — проектор на состояние ϕk ;• проекторы описывают взаимоисключающие исходы, поскольку (из-заортогональности состояний ϕk ) P̂k P̂k = P̂k δkk ;• pk = ψ|P̂k |ψ = ψ|ϕk ϕk |ψ — вероятность того, что в результатеизмерения система будет найдена в состоянии ϕk и, соответственно,попадёт в это состояние (см. (4.29));• эрмитов оператор P̂k можно трактовать как наблюдаемую, отвечающую на вопрос «равна ли величина Â значению αk (да=1, нет=0)?»,или «какова вероятность того, что Â равняется αk ?»8 ;• 1̂ = k P̂k — представление единичного оператора в виде суммы проекторов;• используя предыдущий пункт, мы можем разложить исходную волновую функцию ψ по базису состояний ϕk :|ψ = 1̂|ψ =|ϕk ϕk |ψ =ϕk |ψ |ϕk ;P̂k |ψ = kkчислоk8 Вероятность задаётся как среднее от оператора P̂ , а измерение наблюдаемой P̂ всегдаkkдаёт 0 или 1, поскольку только эти числа являются собственными, и только такие значениявероятности мы можем измерить в единичном опыте: вероятность после измерения всегдаравна либо 1 (событие произошло), либо 0 (событие не произошло).150ГЛАВА 5• коэффициенты разложения ψ по ϕk равны ϕk |ψ и задают соответствующие амплитуды вероятностей, как и положено компонентам волновой функции;• под действием проектора P̂k исходное состояние ψ превращаетсяв нормированное на вероятность состояния φk из раздела 4.5.2:P̂k |ψ = |ϕk ϕk |ψ = ϕk |ψ |ϕk = φk ; число• оператор наблюдаемой может быть представлен в виде Â =kαk P̂k .Вырожденный дискретный спектрСлучай вырожденного дискретного спектра отличается от невырожденного тем, что некоторым собственным числам соответствует нескольколинейно независимых собственных функций, т.
е.Â|ϕkc = αk |ϕkc ,αk = αk , k = k .Дискретный параметр c = 1, . . . , nk нумерует собственные функции, отвечающие данному собственному числу αk .Мы снова можем выбрать набор ϕkc так, чтобы он задавал ортонормированный базис, т. е.ϕkc |ϕk c = δkk δcc ,|ϕkc ϕkc | = 1̂.k(5.34)(5.35)cВ правилах из списка в разделе «Невырожденный дискретный спектр»следует заменить только первый пункт.Рассмотрение измерения для случая дискретного вырожденного спектра отличается только определением набора проекторов на собственные подпространства оператора Â, отвечающих выбранным k:P̂k =|ϕkc ϕkc |,tr P̂k = nk .cТеперь проектор P̂k отображает волновые функции на подпространствоkразмерности nk , натянутое на векторы из набора {|ϕkc }nc=1.Параметр c ∈ Uk может быть и непрерывным, в этом случае изменяется условие нормировки состояний, поскольку суммы по c заменяются5.3.
И ЗМЕРЕНИЕ151интегралами:ϕkc |ϕk c = δkk δ(c − c ),|ϕkc ϕkc |dc = 1̂,k Uk(5.36)(5.37)|ϕkc ϕkc |dc.P̂k =(5.38)UkНепрерывный спектрСобственные состояния непрерывного спектра нормируются уже не наδ-символ, а на δ-функцию. В случае невырожденного спектра мы имеем:Â|ϕα = α|ϕα ,ϕα |ϕβ = δ(α − β),|ϕα ϕα | dα = 1̂.Функции |ϕα как всякие функции непрерывного спектра не являютсяволновыми функциями из пространства H.9Мы можем формально написать оператор p̂α = |ϕα ϕα |, но этот оператор отображает почти все элементы H на векторы, пропорциональные|ϕα , т.
е. не попадающие в H. Однако среднее от оператора p̂α задаёт плотность вероятности обнаружения значения наблюдаемой Â, близкого к α:(α) = ψ|p̂α |ψ.Функция (α) определена почти при всех значения α, однако непосредственный физический смысл имеет не она, а интегралы от неё:⎛ b⎞bP[a,b] = (α) dα = ψ| ⎝ |ϕα ϕα | dα⎠ |ψ = ψ|P̂[a,b] |ψ.a9 Собственныеaсостояния непрерывного спектра не попадают в пространство состояний|ϕα ∈ H, но попадают в оснащённое гильбертово пространство |ϕα ∈ D (4.37). То естьдля почти всех состояний (|ψ ∈ D, D плотно в H) определено скалярное произведениеϕα |ψ. А также наоборот: скалярное произведение ψ(α) = ϕα |ψ определено для всех|ψ ∈ H и почти всех α.
Это скалярное произведение задаёт функцию ψ(α), которая представляет разложение вектора |ψ по базису |ϕα . Функция α → ψ(α) квадратично интегрируема(принадлежит L2 (R)), а элементы пространства L2 (R) определены с точностью до множестваточек лебеговой меры ноль.152ГЛАВА 5Интеграл от «нехорошего» оператора p̂α уже является «хорошим» оператором-проектором (см. раздел 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновыефункции при измерении»):bP̂[a,b] =b|ϕα ϕα | dα.p̂α dα =aaКогда проектор P̂[a,b] действует на волновую функцию, представленнуюв как функция α, то из волновой функции «вырезается кусок» [a, b], а внеэтого отрезка волновая функция обнуляется (3.9) (проверьте, используяψ(α) = ϕα |ψ).Удобно определить проекторнозначную функцию P̂ (a) = P̂(−∞,a] . С еёпомощью мы можем определить проекторы, отвечающие отрезкам:P̂(a,b] = P̂ (b) − P̂ (a).Такая функция хороша тем, что при всех значениях аргумента мы имеем«хорошие» (и даже ограниченные) эрмитовы операторы и можем, используяих, не задумываться о сложностях работы с непрерывным спектром.Как и в случае дискретного спектра, мы можем определить исходныйоператор Â через собственные числа и проекторы, но теперь вместо суммынадо писать интеграл:Â = α |ϕα ϕα | dα.(5.39)Проекторнозначная мера**Последний интеграл (5.39) не совсем обычен, поскольку является пределом интегральных сумм, в которых вместо длин отрезков служат проекторы:αk+1αk|ϕα ϕα | dα =αk (P̂ (αk+1 ) − P̂ (αk )).kkαkЭто напоминает используемое в теории вероятности понятие интеграла помере, но в обычном интеграле по мере используется числовая, а не проекторнозначная функция:f (x) μ(dx) = limf (xk )(M (xk+1 ) − M (xk )).δx→0k5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
