М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 31
Текст из файла (страница 31)
И ЗМЕРЕНИЕ153Здесь μ(dx) = M (x + dx) − M (x) — мера. Мера конечного полуинтервалаимеет вид μ((a, b]) = M (b)−M (a). Для гладкой монотонно-возрастающейфункции M интеграл по мере сводится к обычному интегралу:f (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx,для гладкой функции M мера любой точки равно нулю.Однако, если монотонно-возрастающая кусочно-гладкая функция Mимеет скачки, то мера точки скачка отлична от нуля μ({a}) = M (a+) −− M (a−). Интеграл по мере теперь состоит из двух членов: обычного интеграла и взвешенной суммы по точкам скачков xkf (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx +f (xk ) μ({xk }).xkТакого рода интегралы нам уже встречались, когда мы рассматривали операторы, имеющие как дискретный спектр, так и непрерывный спектр.Аналогично мы можем определить проекторнозначную меру с помощью монотонно-возрастающей проекторнозначной функции P̂ (α).Монотонность проекторнозначной функции означает, что с ростом αрастёт подпространство, на которое проецирует проектор: P̂ (α)H ⊃⊃ P̂ (β)H, если α > β.
Это свойство удобно записать так:P̂ (α)P̂ (β) = P̂ (β)P̂ (α) = P̂ (min(α, β)).Как и функция M , функция P̂ может испытывать скачки в точках, отвечающих дискретному спектру:P̂ ({αk }) = P̂ (αk +) − P̂ (αk −) = 0.Интеграл по проекторнозначной мере позволяет представить эрмитов оператор в виде интеграла, который сводится и интегралу по непрерывномуспектру и сумме по дискретному:Â = α(k) P̂A (dk) =α |ϕα ϕα | dα +α |ϕα ϕα |.α∈Uα∈WПроекторнозначная мера P̂A (индекс A показывает, с каким эрмитовымоператором эта мера связана) позволяет рассматривать единым образомдискретный и непрерывный спектры. При этом все рассматриваемые операторы являются эрмитовыми операторами на H и нам нет необходимостиобращаться к оснащённому гильбертовому пространству.154ГЛАВА 55.3.2. Селективное и неселективное измерение*Выше мы уже упоминали, что квантовое измерение происходит внезависимости от того, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора и естьвообще ли у прибора стрелка (2.3.2 «На наших глазах .
. . »).В разделе 5.3.1 «Проекционный постулат» мы предполагали, что результат измерения известен, и сохраняли в волновой функции или матрицеплотности только ту часть, которая соответствует случившемуся результатуизмерения. Это селективное измерение.Неселективное измерение не даёт наблюдателю информации о том, чему равна измеряемая величина. Наблюдатель лишь знает чему равна вероятность того или иного исхода. Для каждого конкретного исхода он мог бызадать волновую функцию, но он не знает какой именно исход состоялся.Любое измерение до того, как оно проведено, или до того, как до насдошла информация об исходе измерения, следует рассматривать какнеселективное.Состояние после неселективного измерения в случае общего положения описывается не волновой функцией, а матрицей плотности, даже еслипервоначальное состояние было чистым.При известном исходе измерения k (селективное измерение) нормированная на вероятность матрица плотности после измерения выражается какρ̂k = P̂k ρ̂до P̂k ∈ Hk ⊗ Hk∗ ,tr ρ̂k = pk .При неизвестном исходе измерения (неселективное измерение) нам надопросуммировать матрицы плотности по всем возможным исходам:ρ̂н.
с. =tr ρ̂н. с. = 1.(5.40)P̂k ρ̂до P̂k ,kВеса, соответствующие вероятностям исходов, здесь не нужны, т. к. ρ̂k нормированы на вероятности.Если матрица плотности записана в базисе собственных векторов измеряемой величины, то после неселективного измерения матрица становится блочно-диагональной — все диагональные блоки, отвечающие определённому k, сохраняются, все недиагональные блоки обнуляются.Матрица до измерения: ρ̂ = 1̂ρ̂1̂ =P̂k ρ̂P̂k =P̂k ρ̂P̂k .kkk,k 5.3. И ЗМЕРЕНИЕ155Недиагональные слагаемыеP̂k ρ̂P̂k ,k = k ,после измерения обнуляются и из двойной суммы остаётся сумма диагональных элементов (5.40).
Можно сказать, что неселективное измерениеобнуляет члены, связанные квантовой интерференцией, но не трогает членов, связанных с классическими вероятностями.(ф) Состояние системы после селективного измерения в принципе непредсказуемо (можно предсказать лишь вероятности исходов). Состояниесистемы после неселективного измерения, заданное как матрица плотности, предсказуемо заранее, оно содержит все возможные результаты измерений.(фф*) В литературе при обсуждении процедуры измерения много путаницы между селективным и неселективным измерением. В частности,вопрос о природе выбора системой того или иного исхода измерения (т.
е.вопрос о квантовых вероятностях, имеющий смысл только для селективного измерения) часто (почти всегда) подменяется выводом в том или иномприближении формулы (5.40) для неселективного измерения.5.3.3. Приготовление состоянияПроцедура измерения превращает состояние системы в собственноедля некоторого эрмитового оператора (наблюдаемой).
Формально мы можем придумать эрмитов оператор P̂φ , для которого собственным состоянием будет любое наперёд заданное состояние |φ, причём данное состояниебудет невырожденным, например:P̂φ = |φφ|.При измерении наблюдаемой P̂φ мы получаем одно из двух значений: либо 0, либо 1 (мы считаем, φ = 1). В последнем случае система попадаетв состояние |φ.Таким образом, имея исходную систему в произвольном состояниии измеряя некоторую, специально подобранную физическую величину, мыпри благоприятном исходе измерения помещаем систему в нужное нам состояние.Описанная процедура измерения с последующим отбором называетсяприготовлением состояния.Например, мы можем приготовить фотоны в состоянии с определённой линейной поляризацией, пропустив их через поляризатор.
Часть156ГЛАВА 5фотонов при этом окажется забракованной (поглотится или отразится, в зависимости от устройства поляризатора).Разумеется, приготовление состояния срабатывает не всегда, а с вероятностью |ψ|φ|2 , которая в случае общего положения отлична от нуля.Не всегда удаётся придумать физический эксперимент, измеряющийискусственно сконструированную наблюдаемую. В некоторых случаях такой эксперимент может оказаться запрещён законами сохранения.ГЛАВА 6Одномерные квантовые системыСлучай одномерного движения квантовой частицы является одним изсамых простых в квантовой механике1 . Кроме того, одномерные задачи часто возникают в процессе решения более сложных задач при разделениипеременных. Наличие для одномерного случая удобных свойств и интересных теорем окончательно убеждает в необходимости посвятить одномериюотдельную главу.На протяжении этой главы мы будем исследовать гамильтониан длячастицы в потенциале U (x), который может быть записан так:Ĥ =p̂2+ U (x̂),2m22Ĥ = − h̄ ∂ 2 + U (x).2m ∂x(6.1)6.1.
Структура спектра6.1.1. Откуда берётся спектр?Соответствующее гамильтониану (6.1) стационарное уравнение Шрёдингера имеет видh̄ψ (x)+U (x) ψ(x) = E ψ ⇔ ψ (x)+ 2m(E −U (x)) ψ(x) = 0. (6.2)− 2mh̄22Задача нахождения спектра этого уравнения в математике называется задачей Штурма – Лиувилля. Она была заранее2 исследована Жозефом Лиувиллем и Шарлем Штурмом ещё в XIX веке (1837–1841 гг.).Потенциал U (x) мы будем считать непрерывным или кусочно-непрерывным.1 Одномерное движение — не самый простой случай. Пространство состояний для такойсистемы L2 (R) бесконечномерно и изоморфно любому другому бесконечномерному сепарабельному гильбертову пространству.
Самое маленькое пространство состояний квантовойсистемы — C2 соответствует спину 12 , или любой другой двухуровневой системе.2 Заранее, с точки зрения квантовой теории.158ГЛАВА 6При каждом значении E это линейноедифференциальное уравнение второго порядкаимеет два линейно независимых решения. Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можноотнормировать на 1 (дискретный спектр), либона δ-функцию (непрерывный спектр).Таким образом, мы обнаруживаем, чтоРис.
6.1. Шарль Франсуа при данном конкретном значении E из двумерного пространства решений физическийШтурм (1803–1855). Wсмысл имеет только некоторое подпространства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решенийнет совсем).Обычно условие нормируемости (на δ-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.6.1.2. Вещественность собственных функцийПоскольку функция U (x) вещественна, для всякого решения ψ(x) дифференциального уравнения (6.2) (как и аналогичного уравнения в пространстве любой размерности!) функцииψ ∗ (x),Re ψ(x) =ψ(x) + ψ ∗ (x),2Im ψ(x) =ψ(x) − ψ ∗ (x)2iтакже являются решениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
