М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Таким образом мы можем сдвинуть любой уровень энергии в нуль, после чего соответствующеестационарное состояние перестанет зависеть от времени. Такое переопределение гамильтониана не изменит средних значений и матричных элементов каких бы то ни было физических величин. Это означает, что нулевой4 Если мы попробуем измерить в стационарном состоянии физическую величину, отвечающую какому-то оператору, чьё значение в данном состоянии не определено (другими словами, если измеряемая величина не сохраняется в данной системе), то это измерение можетс разными вероятностями дать разные значения величины, кроме того, при этом оно изменитсостояние так, что оно перестанет быть стационарным, и тогда следующее измерение той жевеличины спустя некоторое время может дать уже другое значение.5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ133уровень энергии в квантовой механике определяется столь же произвольно,сколь и в классической5.Собственные функции гамильтониана, также как и любого эрмитовогооператора, образуют базис. Таким образом, любая волновая функция может быть разложена по стационарным состояниям. Суперпозиция стационарных состояний, отвечающих разным уровням энергии, уже не являетсястационарным состоянием. Такое состояние зависит от времени нетривиальным образом:−αψ1 (t) + βψ2 (t) = αψ1 (0)e=i− E1 te h̄(αψ1 (0)iE th̄ 1+ βψ2−+ βψ2 (0)eiE th̄ 2=i(E1 −E2 )t(0)e h̄).Существенная часть временной эволюции (влияющая на средние и матричные элементы) зависит только от разности энергий, поскольку общийiфазовый множитель e− h̄ E1 t не несёт физического смысла (и может бытьизменён сдвигом нулевого уровня энергии).5.2.
Разные представления временной (унитарной)эволюции квантовой системыВременная (унитарная) эволюция системы в отсутствие измеренияописывается семейством унитарных преобразований Û (t1 , t0 ) (см. раздел 5.1.1). Опираясь на материал главы 11 «Симметрии-1 (теорема Нётер)»мы можем сказать, что унитарная эволюция представляет собой преобразование симметрии, порождённое оператором энергии (гамильтонианом).5.2.1. Унитарная эволюция: активная или пассивная*Как и любое преобразование симметрии, унитарная эволюция можетбыть представлена в двух естественных интерпретациях:• как активное преобразование, т.
е. преобразование, меняющее векторысостояния в некотором фиксированном базисе;• как пассивное преобразование, т. е. преобразование, меняющее базис,но оставляющее сами векторы состояния неизменными.5 В релятивистской квантовой теории (квантовой теории поля), как и в классической релятивистской теории, нулевой уровень энергии уже не может задаваться произвольно, посколькупреобразования Лоренца «перемешивают» энергию с импульсом.134ГЛАВА 5Базисные векторы мы нумеруем собственными числами некоторых эрмитовых или унитарных операторов.
Таким образом, если мы хотим, чтобыбазис собственных функций зависел от времени, то от времени должнызависеть операторы, с помощью которых мы определяем базис.5.2.2. Пространство состояний в разные моменты времени*Гильбертово пространство состояний квантовой системы H в разныемоменты времени t следует считать различными пространствами состоянийHt , поскольку у нас нет естественного способа сопоставить друг другусостояния в разные моменты времени:• линейная комбинация векторов состояния в разные моменты временине имеет физического смысла;• унитарная эволюция системы является естественным кандидатом на«способ отождествления состояний в разные моменты времени», но:– унитарная эволюция зависит от выбора гамильтониана;– даже нефизические преобразования (симметрии) гамильтонианамогут менять эволюцию системы, например:∗ переход в движущуюся систему координат не меняет физическую эволюцию системы, но делает ранее независящее отвремени состояние зависящим;∗ сдвиг нулевого уровня энергии также делает ранее независящее от времени состояние зависящим;∗ калибровочное (градиентное) преобразование электромагнитного поля, не меняя физического состояния системы, меняет её описание в данный момент времени и описание еёэволюции.Таким образом, описание временной эволюции квантовой системы допускает произвол в выборе базиса в каждый момент времени.
Если мыхотим сохранить непрерывность, то произвол можно описать одним произвольным унитарным оператором, непрерывно зависящим от времени.5.2.3. Представления Шрёдингера, Гайзенберга и взаимодействияМы никогда не работаем непосредственно с векторами состояния квантовых систем: все измеримые величины выражаются через матричные элементы тех или иных линейных операторов (скалярное произведение тоже5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ135можно рассматривать как матричный элемент единичного оператора). Еслизависимость от времени волновой функции задаётся оператором эволюции,то матричный элемент оператора Â(t) в момент времени t задаётся следующим образом:ϕ|Â|ψt = ϕ(t)|Â(t)|ψ(t) = ϕ(0)|Ût† Â(t)Ût |ψ(0).(5.14)Для нас не важна временная эволюция векторов состояния или операторовсамих по себе, но матричные элементы не должны зависеть от того, в какомпредставлении мы их вычисляем.Если динамика системы описывается как эволюция вектора состояния,а временная зависимость операторов A(t) никак не связана с динамикойсистемы, т. е. |ψш (t) = |ψ(t) = Ût |ψ(0)⇔ ρ̂ш (t) = Ût ρ̂(0)Ût† ,Âш (t) = Â(t)— это представление Шрёдингера.Именно представлением Шрёдингера мы пользовались выше в разделах 5.1.1 и 5.1.4, когда писали уравнение Шрёдингера для зависящей отвремени волновой функции.Если динамика системы описывается как эволюция оператора, а векторсостояния (или матрица плотности) никак не зависит от времени, т.
е.|ψг = |ψ(0) = |ψш (0)Âг (t) =Ût† Â(t)Ût=(⇔ρ̂г = ρ̂(0) = ρ̂ш (0)),Ût† Âш (t)Ût— это представление Гайзенберга.Хотя состояния и операторы в представлениях Гайзенберга и Шрёдингера эволюционируют по-разному, в нулевой момент времени они совпадают, а матричные элементы совпадают во все моменты времени:ϕш (t)|Âш (t)|ψш (t) = (ϕ(0)|Ût† )Â(t)(Ût |ψ(0)) == ϕ(0)|(Ût† Â(t)Ût )|ψ(0) = ϕг |Âг (t)|ψг .Мы видим, что два выражения для матричных элементов, расписанныхс помощью оператора эволюции, различаются лишь расстановкой скобок.Мы можем ввести также некоторое представление, промежуточноемежду представлениями Шрёдингера и Гайзенберга и обобщающее оба136ГЛАВА 5этих представления — представление взаимодействия (представлениеДирака):(0)†|ψв (t) = Ûtρ̂в (t) =Âв (t) =(0)†|ψш = ÛtÛt |ψг ,(0)†(0)(0)†(0)Ût ρ̂ш (t)Ût = Ût Ût ρ̂г Ût† Ût ,(0)†(0)(0)†(0)Ût Âш (t)Ût = Ût Ût Âг (t)Ût† Ût .(5.15)[∗](5.16)(5.17)В случае Û (0) = 1̂ представление взаимодействия совпадает с представлением Гайзенберга, а в случае Û (0) = Û — с представление Шрёдингера.Название «представление взаимодействия» связано с наиболее распространённым способом его использования, когда в качестве операто(0)ра Ût берут оператор эволюции, для гамильтониана без учёта взаимодействия, каких-либо подсистем — «невозмущённый гамильтониан» Ĥ0 .
Полный («возмущённый») гамильтониан, порождающий эволюцию Ût , представляют как сумму невозмущённого гамильтониана Ĥ0 и некоторой добавки V̂ , описывающей взаимодействие:Ĥ = Ĥ0 + V̂ .Операторы в представлении взаимодействия совпадают с операторамив гайзенберговском представлении для невозмущённого гамильтониана, нопоявляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возмущением (взаимодействием).В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подразумевать представление Шрёдингера. Аналогично указание на представление может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разныхпредставлениях (см.
следующий раздел).5.2.4. Функции от операторов в разных представленияхПереход между различными представлениями операторов в фиксированный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобразования:Â → Û † ÂÛ .Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старогооператора в новом базисе.
Функция от операторов, определяемая с помощью операций сложения, умножения на число и умножения операторовмежду собой, не зависит от базиса. Поэтому смена базиса (переход к новому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, так5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ137и после вычисления функции, например:( + bB̂)г = Ût† ( + bB̂)Ût = Ût† ÂÛt + bÛt† B̂ Ût = Âг + bB̂г ,(ÂB̂)г = Ût† (ÂB̂)Ût = (Ût† ÂÛt )(Ût† B̂ Ût ) = Âг B̂г .Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов,таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать этиоперации через сложение/вычитание и умножение):[Â, B̂]г = (ÂB̂ − B̂ Â)г = Âг B̂г − B̂г Âг = [Âг , B̂г ],†(e )г = Ût† e Ût = eÛt ÂÛt = eÂг .5.2.5.
Гамильтониан в представлении ГайзенбергаКогда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали никаких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общемслучае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов оператор Ĥ(t). Однако для большинства задач гамильтониан от времени не заiвисит, в этом случае Ût = e− h̄ Ĥ t и оператор эволюции коммутирует с гамильтонианом:[Ĥ, Ût ] = 0.Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит отвремени) получаем:iĤг = e h̄Ĥ t−ĤeiĤ th̄i= e h̄Ĥ t −eiĤ th̄Ĥ= Ĥш .5.2.6.
Уравнение ГайзенбергаДля того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающеевременную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируемпо времени гайзенберговский оператор, выраженный через шрёдингеровский оператор и оператор эволюции:Âг = Ût† Âш Ût ,dÛt†dÂгdÛdÂ=Âш Ût + Ût† Âш t + Ût† ш Ût .dtdtdtdt138ГЛАВА 5Используя уравнение (5.11), мы получаем:dÛt†= i Ût† Ĥ,dth̄dÂгdÂш†† dÂшii.= Ût [Ĥ, Âш ]Ût + ÛtÛt = [Ĥг , Âг ] +dth̄dth̄dtdÛt= − i Ĥ Ût ,dth̄(5.18)гПолные и частные производные от операторов по времениВ формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные отоператора по времени:dÂгdÂш.,dtdtгПервая формула — «просто производная по времени» в представленииГайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представленииШрёдингера (которую потом выразили в представлении Гайзенберга).ÂшПри этом производная ddtникак не зависит от гамильтониана, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
