М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. наней никак не сказывается временная эволюция системы.Введём следующее определение: полная производная от оператора Âпо времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равнопроизводной по времени от среднего по этому же состоянию:"#d = d Â.(5.19)dtdtУдобнее всего вычислять полную производную по времени в представлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят толькооператоры (не не волновые функции), и полная производная от оператораоказывается «просто производной по времени».Определим также частную производную по времени от оператора Â,как полную производную при замороженной эволюции системы, т.
е. в случае Ĥ ≡ 0 (т. е. Û ≡ 1̂). Частная производная по времени совпадает с «просто производной» в представлении Шрёдингера.Таким образом мы перенесли из классической теоретической механикив квантовую механику понятия частной и полной производной по времениот наблюдаемой величины.dÂшd = dÂг ,∂ Â=.dt гdt∂t шdt5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ139Теперь мы можем переписать формулы Гайзенберга следующим образом:d = ∂  + i [Ĥ, Â].(5.20)dt∂th̄Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали указание на то, в каком представлении берутся входящие в неё операторы.Интегралы движенияОпределив полную производную от оператора по времени, мы можемобратиться к вопросу об интегралах движения.
Чтобы оператор  задавалинтеграл движения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времении коммутировал с гамильтонианом∂  = 0,∂t[Ĥ, Â] = 0⇒d = 0.dtТакой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметрическую группу симметрий (унитарных операторов) вида eia . Это соответствует выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения».Правило Лейбница и коммутатор*Правило Лейбница для полной производной по времениdÂB̂ =  dB̂ + d B̂dtdtdtследует из тождества:[ÂB̂, Ĉ] = [Â, Ĉ]B̂ + Â[B̂, Ĉ].(5.21)Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой частях равенства как разности произведений операторов. Эту формулу можноназвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторного умножения.Для операторов есть ещё одно естественное умножение — сам коммутатор.
Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейбница для коммутатора, относительно коммутатора6[[Â, B̂], Ĉ] = [ÂB̂, Ĉ] − [B̂ Â, Ĉ] = [[Â, Ĉ], B̂] + [Â, [B̂, Ĉ]].(5.22)6 Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производнаяи как произведение.140ГЛАВА 5Отсюда следует:!!d[Â, B̂]= Â, dB̂ + d , B̂ .dtdtdtС учётом антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть переписана как тождество Якоби для коммутатора:[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.(5.23)Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяетрассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механикемощный математический аппарат теории алгебр Ли.
Возможность рассмотрения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соответствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобкаПуассона.Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицыГамильтониан для свободной частицы получается из классического надеванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые∂функции представлены как функции от координат, p̂ = −i ∂x) в формуле дляклассической функции Гамильтона (в выражении энергии через координаты и импульсы):p̂2Ĥ =.2mИспользуя его, мы можем написать полные производные по времени отоператоров координаты и импульса (координата и импульс не зависят отвремени явно, так что частная производная по времени вклада не даёт):$$%%p̂2p̂2dp̂p̂dx̂ii, p̂ = 0,, x̂ = i (p̂ [p̂, x̂] + [p̂, x̂] p̂) = m .==dth̄ 2mdth̄ 2m2mh̄ −ih̄−ih̄Мы воспользовались здесь тождеством (5.21).Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок».В представлении Гайзенберга мы получаем:dp̂г= 0,dtp̂г (0) = p̂ш ;p̂гdx̂г= m,dtx̂г (0) = x̂ш .5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ141Система легко интегрируется:p̂г (0)p̂шx̂г (t) = x̂ш + t m = x̂г (0) + t m .p̂г (t) = p̂ш = p̂г (0);При усреднении по произвольной волновой функции (которая в гайзенберговском представлении не зависит от времени) получаем, что в среднемволновой пакет движется с постоянной скоростью:p̂t = p̂0 ;p̂0x̂t = x̂0 + t m .(5.24)Для вычисления среднеквадратичных отклонений нам понадобятся операторы x̂2г и p̂2г :2p̂2p̂шt (p̂ x̂ + x̂ p̂ ).p̂2г (t) = p̂2ш ;x̂2г (t) = x̂ш + t m= x̂2ш + t2 ш2 + mш шш шmДля среднеквадратичных отклонений получаем:δp2 t = p̂2 t − p̂2t = δp2 0 ;(5.25)2t (p̂x̂ + x̂p̂ − 2x̂ p̂ ) + δx2 .δx2 t = x̂2 t − x̂2t = t 2 δp2 0 + m0000mЛинейный по времени член в δx2 t можно обнулить выбором нулевогомомента времени, однако для любого t выполняется соотношение неопре2делённостей δx2 t δp2 t h̄ .
При больших положительных или отрица4тельных временах размер волнового пакета неограниченно расплывается,что однозначно говорит нам, что размер волнового пакета действительноникак не связан с размером самой частицы.5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор*В теоретической механике наблюдаемые представляются не эрмитовыми операторами, как в квантовой механике, а функциями от каноническихпеременных (координат и импульсов), т. е. классическая наблюдаемая имеетвидF (Q, P, t).(5.26)Полная производная от классической наблюдаемой (с учётом динамическойэволюции системы) имеет видdF = ∂F + ∂F dQa + ∂F dPa .dt∂t∂Qa dt∂Pa dta142ГЛАВА 5Производные по времени от координат и импульсов в классической механике выражаются с помощью уравнений Гамильтона:dQa= ∂H ,dt∂PadPa= − ∂H .dt∂QaГде H(Q, P ) — функция Гамильтона, т. е.
энергия, выраженная через координаты и импульсы. Функция Гамильтона — тоже наблюдаемая, классический аналог квантового гамильтониана.Используя уравнения Гамильтона, мы можем переписать полную производную от F :dF = ∂F + ∂F ∂H − ∂F ∂H = ∂F + {F, H}.dt∂t∂Qa ∂Pa∂Pa ∂Qa∂ta{F,H}Здесь мы обозначили сумму по a через скобку Пуассона {F, H}.Сравнивая получившееся уравнение с уравнением Гайзенберга (5.20),мы видим, что классическая скобка Пуассона соответствует коммутатору:dF = ∂F + {F, H}dt∂t∼d = ∂  + 1 [Â, Ĥ],dt∂tih̄{·, ·} ∼ 1 [·, ·].ih̄Помимо формул для полных производных от наблюдаемых величиночень важную роль играют канонические коммутационные соотношения,для которых также есть классический теоретикомеханический аналог:1 [q̂ , p̂ ] = δ ,a babih̄{Qa , Pa } = δab .Благодаря соответствию между коммутатором и скобкой Пуассонанекоторые выкладки могут переноситься из теоретической механики и обратно с помощью простого изменения обозначений.
Например, как будет продемонстрировано ниже, гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга колеблется как классический осциллятор «с точностью дошляпок» (т. е. с точностью до замены квантовых наблюдаемых классическими). Похожее соответствие мы наблюдали и выше в разделе 5.2.6 «Пример: Эволюция волнового пакета для свободной частицы», когда изучали5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ143расплывание волнового пакета свободной частицы в представлении Гайзенберга. Однако для более сложных гамильтонианов соответствие уже неявляется столь точным.Связь между коммутатором и скобкой Пуассона была открыта ПолемДираком в октябре 1925 года вскоре после того, как Гайзенберг ввёл невиданные ранее в физике некоммутирующие переменные.5.2.8.
Чистые и смешанные состояния в теоретической механике*Для того чтобы ясно увидеть аналоги представлений Шрёдингераи Гайзенберга в классической механике, удобно перейти от рассмотрениячистых классических состояний, задаваемых точными значениями координат и импульсов, к смешанным классическим состояниям, задаваемым распределением вероятности по координатам и импульсам.Таким образом, помимо наблюдаемых, как функций на фазовом пространстве (5.26), мы вводим состояния(Q, P, t),(Q, P, t) > 0,dQ dP (Q, P, t) = 1,(5.27)которые также задаются как функции на фазовом пространстве.
Последнееусловие задаёт нормировку состояния на единицу. Иногда, например прирассмотрении измерения, удобно от этого условия отказаться.Среднее от наблюдаемой по состоянию задаётся интегралом вида, F = dQ dP F (Q, P, t) (Q, P, t),(5.28)в частности, нормировка состояния задаёт среднее от единицы.Мы преднамеренно не уточнили к каким классам функций относятсянаблюдаемые и состояния, т. к. выбор соответствующих функциональныхпространств зависит от задачи.
Сейчас нам удобно выбрать для наблюдаемых и состояний пространства основных и обобщённых функций поШварцуF ∈ S = {F ∈ C ∞ |∀n, m ∈ N, xn F (m) −→ 0, x → ±∞}, ∈ S = {|∀F ∈ S : F → , F непрерывно и линейно}.Таким образом, как в квантовой механике, так и в классической мыимеем линейные (если отказаться от нормировки состояний на единицу)пространства наблюдаемых и смешанных состояний, а также линейную пообоим аргументам операцию усреднения наблюдаемой по состоянию.144ГЛАВА 5Среди всех состояний можно выделить чистые:Q0 P0 (Q, P ) = δ(Q − Q0 ) · δ(P − P0 ),Q0 P0 , F = F (Q0 , P0 ).Как и в квантовой механике, чистое состояние задаётся значениямимаксимального набора независимых наблюдаемых.
Однако имеется принципиальное различие. В классике все наблюдаемые совместимы (коммутируют, одновременно измеримы), и все максимальные наборы независимых наблюдаемых описывают одни и те же семейства чистых состояний.Из-за этого в классической механике может возникнуть путаница (отождествление) между понятиями «чистое состояние» и «максимальный наборнезависимых наблюдаемых». В квантовой механике не все наблюдаемыесовместимы, и разные максимальные наборы независимых наблюдаемыхописывают различные семейства чистых состояний.5.2.9. Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретическоймеханике**Как и в квантовой механике, эволюциюсистемы можно описывать как эволюцию состояния при неизменных наблюдаемых (представление Лиувилля), либо как эволюцию наблюдаемых при неизменном состоянии (представление Гамильтона):7Рис. 5.1.
Уильям Роуан Гамильтон (1805–1865). WdлdFл∂Fл= −{л , H},=,dtdt∂tdгdFг∂Fг= 0,=+ {Fг , H}.dtdt∂tОбратите внимание, что состояние в представлении Лиувилля и наблюдаемая в представлении Гамильтона эволюционируют «в разные стороны»(разный знак перед скобкой Пуассона). Данные уравнения при замене скоб1ки Пуассона на коммутатор {·, ·} → ih̄[·, ·] переходят в квантовые уравнения для операторов и матриц плотности в представлениях Шрёдингераи Гайзенберга соответственно.7 Представление Гамильтона обозначено индексом «г», точно так же как выше обозначалипредставление Гайзенберга. Поскольку одно представление переходит в другое в классическом пределе, то это не должно вызвать путаницы, а наоборот, это даёт нам мнемоническоеправило как классические представления временной эволюции соотносятся с классическими:Гайзенберг и Гамильтон начинаются на одну букву и у обоих эволюция описывается черезнаблюдаемые.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
