И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ж1, Ч-2, ... Из условия нормировки А=1...г2я. В результате: ф =(11.,Г2л)е' е; б) собственные значения 7.,'=т'Ь', где т=б, Ч-1, Ч-2, ... Собственные функции имеют тот же внд, что и лля оператора Е,, т. е. функция ф =(1,г гг2к)е'"' является общей собственной функцией операторов С, н Е.'. Все состояния с собственными значениями Е,', кроме лг=б, лвукратно вырождены (по направлению вращательного момента, В =*(пг(Ь). 3 25.
а) ) фг*Е,фгг)яг= — гЬФ,'ф,( '+) фг()Ьггф2/сггр)г)гр=)фгЬ,*ф*,г)гр. Здесь ф,"ф,('"=О, так как функдии ф", н ф, удовлетворяю~ требованию однозначности; б) ) ФУ)чф бр=)(ф)хр,ф -ф*ур.ф )4И В силу эрмитовости операторов р, и р„лодынтегральное выражение можно преобразовать так: хфгр*фьг-уфгр„*фьг=фг(хр* ур~)ф~*=фг г" ьф~г. 326. (ФгвЕгфгг)К=((фьгРгуг-1-фгЕгфг-1-фьгЕгфг)г)У. Так как операторы Е„, Ьг„Е, эрмитовы, то эрмитовыми булут и квадраты этих операторов, а следовательно, и оператор Е'.
3 29. а) (г'.„, )1'„) =[г:.„, р„~)рй бр„(с, р„)=О, ибо (г.„, Р,)=О. 12б З.ЗО. Оператор К можно прелставить в сферических координатах в виде суммы К= К,-~-Х~з2тг', тле К,--оператор, действующий только на переменную г Так как оператор Ьг= — йгззг действует только на переменные 3 и яз, то [бг, К]=[уз, К,]+[С,г, Р(2тгг]=О. 3 3!. а) [с.„, Е,~=1.„! — Ез1.„— — (ур,— грз)(гр„— хр.)-(гр„— «р,)(гр,— гр )= =[к, р,](хрз — ур'„)= — й(хрз;)р,)= й Ь, 3 32 ) [б', ~:.] = [б.', ~:.]+ [Йз 2.]4[2.', ~:*].
где [ь"„з, с'.„]=О; [езг, !и]= Йз[гэ, ь„] 4[с(„с) ] ез= — !л(Йз1„-~-Г гэ); [Х~, ь„] = ~,, [З.„с.„]+[Е„~.,] Е,=!Л(1,ь,-~-ь,~,,) Отсюда видно что [Йг, ь„]=О. Аналогично. для (т и Е, 333. В случае с=ге=сонг! гамильтониан Й= — (йг/2рфрз =(!з2ргег)1г. Поэтому Йф=(1з2!сгег) ьгф=бф. Так как собственные значения оператора бг равны Ьг!(1-З1), то Ефй !(1-1-1)З2ргге. 3.34. а) Вследствие эрмитовости оператора А интеграл ]ф*АфдУ=]фА *фьдУ. Отсюда (А ) =(А *), что возможно лишь при вещест. венном (А ). б) (Аг)=]ф*АгфЛУ=]ф*А(Аф)с!У=](АФ)(А'ф*)с!У=]!Аф)гсЗУ.
3.36. Воспользовавшись тем, что Йх-хй= — (!Л(т)р„, запишем (р„) =] ф*р„фдх=(зт з л) [(ф*Йхф — ф*хйф) сЗх. Вследствие эрмитовости гамнльтониана подынтегральное выражение можно переписать в виде хфЙф* — хф*Йф=О, поскольку Йф*=бф* н Йф=Еф. Итак, (р„) =О, что и требовалось доказать.
3.37. а) Из условия нормировки А =8!3/. (К ) = ] ф К ф с!х = — (й г ( 2т ) ] фф" Дх = 2л г й з ' Зт! г; б) Аг=ЗОЙз (К)=5йг'т!г 338. Из условия нормировки А =н сс2/зс,' (К)=((З)фйзсоз4. 339. а) (х)=О; б) (р„)ф йх. При расчете обратить ниимание на го, что интеграл, у которого полынтегральная функция нечетная, равен нулю.
ЗАО. а) Здесь ф,(х)= сгэз1з!п(лхз(); ((Лх)г)=(гг) — (х)'= =(! — бзззс~]! / !2: ((ЛР ) )=(Рг) =(зсйс!)~. Их пРоизведение Равно (лг(6 — !) х х лгс2 л ЗЗ. б) Из условия нормировзси А '=и '2зл; ((Лх)г) =!З4сс'! ((Лр„)')с агйг. Их произведение равно Ь',з4. Указание. При вычислении среднего квадрата импульса целесообразно воспользоваться свойством эрмитовости оператора р„ благодаря чему ( р „') = [ ф *р„ф с!х = ] ! Р„ф ) ' бх. 34!.
Из условия нормировки А =4/Зл; (Кг)=4Ь )3. 342, Из условия нормировки А =!сл*' ((Лез) ) =(яз ) (яз) =л ззЗ 'г ((Ль )г) (з г) !зг 343. Имея в виду, что Ы =[З, Е.„], запишем (Е„) = — (!згй)](фчЛзЕ,ф — ф*сг Узф)с!У. Так как по условию с.,ф=с.„ф и оператор с.. эрмитов, то подынтегральное выражение можно преобрнзовать так: ф*б, Г.,ф — ф*Л,Лзф = (.,ф'Е„ф — (Утф) Г.,*ф'=(тэф )(с-,ф' — Л,*ф*). !27 Но последняя скобка равна нулю вследствие вещественности собственного значения эрмитова оператора (1„,=1,.*.) Аналогично и для оператора Е .
ЗА4. (б') =1>фЕ'фбй=2Ь', где дй=-з!п Одйдф. 345, Так как х, у, г равноправны, то (1.')=(2., ')-Ь(2>')-1-(1..') =3(1..') С учетом равновероязности различных возможных значений б, имеем г г г й г й 1(1~ !)(11 ) (1.,') фбг(тг) = — ~ т'= — и (1.')4 й>1(161). 214 1, 21-> ! 6 346. Имеем Аф, =А,ф, н Аф,=.Агфг В силу эрмнтовости оператора А его собственные значения вещественны и ) ф*,Аф,дуг=) ф>А*ф!ОИ или А,) ф*,ф,бу>=А, ) ф,ф*,бИ Так как .4, ФА>, то последнее равенство возможно лишь при условии ) фффгбу>=0. Значит, функции ф, и ф, орта>ональны.
3 48. а) Умножим обе части разяажения ф (х)=2 с ф„(х) на фа (х) и проинтегрируем загсы по х: ) ф,* ф г)х. = 2 с, ) ф,* феях. В силу орзонормированности собственных функций оператора А все интегралы в правой части последнего равенства обращаются в нуль, кроме одного, у которого 4=1.
Таким образом, с>=) ф>*фдх; б) (А)=) фчАфбх=) ) с„*фг ~сАф, Ох=2 ггьс>А>) фхф>Ох=2 (г„! Аг. Причем 2 (сг( =1, что непосредственно вытекает из условия нормировки функции ф(х): ) ф*фдх=2 с>'с>) фгчф>дх=1. Отсюда следует, что коэффициенты (г„!' — это вероятности обнаружить определенные значения физической величины А„. 3.49. Прежде всего следует вычислить нормировочный коэффициент А.
Вероятность нахождения частицы на и-м уровне определяется квадратом модуля коэффициента раз.н>жения с„функции ф(х) по собственным функциям ф„(х) оператора Й: с„=) фф„бх, где ф„=хг 211з)п(ллх11); а) Агр 8131. Искомая вероятность ж>=с'=256127л'=096; б) А г = 3011>; н„=с„'= 240 (! — совал) >1(ил)~, т. е. ж„отличается от нуля только для нечетных уровней (л=1, 3, 5, ...); для них ж„=9601(ил)~; а, =О 9986, н>-— 1,37 10 350. а) Вычисзим сначала нормировочный коэффициент А=21' 'Зл. Затем разложим функцию ф (ср) по собственным функциям оператора 1.; — они имеют вид ф„(гр)=(11,12л)е'"": 1 ф(9>)=Ажп~ф= (1 — соз2>р)= — (! — -егч — е гч)= 13л(х 2 2 ) =ф 1> фс м '7еф+> .„17аф-г. О~сюда видно, что 1,.=0, -1-29 и — 26.
Их вероятности: ж = 21'3, и ., = и г = ' 1е. б) 1 =О, ~й, ие= >, Ю >=>г >= 16. 351, Иайдем коэффициенты разложения функции ф„(х)= /2//я!п(лих// по собственным функциям оператора /г: 1 — ( — 1)" е отсюда 4я/и' ~сок з(/г//2), если» почетно, (я'и' — /г'/')' (з!пз(/г//2), если л чстио. 3,52. Уловит~лорис~ |о.и.ко временному уравиевию Шредингера. 3.53. Разложим искомую функцию по собственным функциям стационарных состояний: 'Р (х, г)=~с„ф„(х)ехр ( — !ы„г), где ф„(х)= /2й/я!п(лях//). Коэффициенты с„найдем из начального условия: /8/з „ — ) хр (х, 0) ф„(х)с) — А з р (! — ( — !) ] Отсюда видно, что с„йб только при нечетных и.
Из условия нормировки функции сР(х. О) находим Аз=30,/'. В результате Г'(х, 0)=(8!и ) 30//~л зз!п(лих,/)ехр( — 'но„г), где а„=Ем~5=(язй/2гл/з)лз, и=1. 3, 5, ... 3.54. Сначала, разделяя переменные гр и г, находим стационарные реп!ения уравнения Шредингера. /абдер/йг=ЙЧ', Ч' (гр, г)=(1/хг2)ехр(!(тф-ю„г)1, где ы =Е„/й=(й/2/)лгз, лг=б, *1, +2, ... Затем разложим искомую функцию 'Р(йг,г) по гр (гр, г): Г'(гр, г)=2 с„'Р (гр, г). где коэффициенты с определим из начадьного условия Чг(гр, 0)=д.„еим (см. решение задачи 3.50). В результате Чз (гр, г) =(А/2) (1+сок2гр е'зи!г). Из этого выражения, в частности, видно, что ротатор возврашается в исходное состояние через промежуток времеви ЛГ=яу/й. 3.55. а) Имея в виду, что (А)=/1ЧгеАЧ'бУ, получим с1 ГгЭгрь . ! дА Г дгР— <А>=~ — АсРГ) +~ Ч" — 'Ч биэ-~ Ч"А — бИ Ж сг дг " дг А так как дгр/дг= — (!/й) ЙЧ' и дЧге/гэг=(!/й) Й"Р*, то г) !~ ..
~ дА Ж й) — <А>=- (йч")АЧХЗРЧ- ('Р' — Ч'бр — — (гр АЙЧЧ)И дг й) Первый интеграл этого выражения вследствие эрмитовости оператора Й можно переписать в виде ) Чг» ЙА Ч'б И тогда 129 д Г ГОА — (А)=) т ~~ —,+-(ЙА-Ай) тджх. дг ~ (й Отсюда видно, что ОА/й=дА(й-~-(г(й)(ЙА — АЙ). 3.57. Иметь в виду, что операторы х и р„не зависят от времени явно. 3.60. Оператор 1.„ие зависит от времени явно, поэтому — „=-(Й, 1„1=-7 ~—, а„1~А--(и, ЕЛ дг Ь * Ь~2лг *~ Ь Так как операторы рз и Е„коммутируют между собой (см.
задачу 3.29), то скобка. солержащая их, равна нулю. Остается вычислить последнюю скобку. 3.61. Дифференцируя по времени уравнение А Ч'=А Ч' с учетом того, что дА(дГ=О, получаем .дч' ОА дт А — „= — т-1А —. й Ж дг Подставим сюла от(дг= — ((/й) Й Ч', тогда ОА — т=-(Ай — Ай) т. дг Л Если А коммутирует с Й, то АЙЧ'=ЙАт=АЙт и ОАгдг=О. 3.62.
Реждение этого вопроса сводится к проверке, коммутируют ли операторы указанных механических величин с гамильтонианом Й=рз)2л ч-(1=КО(г, где К вЂ” оператор кинетической энергии. Операторы р„, ри р,, 1„, 1,, 1. и Йг коммутируют с оператором К (см. задачи 3.29 и 3.30), поэтому остается выяснить, коммутируют ли эти операторы с оператором (1 а) дй(де=О и У=О.
Все величины сохраняются во времени; б) оз11гозг=О. Сохраняются во времени 12 р„, р и в) дй(дг=О. С оператором (l(г) коммутируют операторы 1ое Ею (з и Й (это сразу видно. если их записать в сферических координатах: они действуют только на 0 и гр). Сохраняются во времени Е, Ем би 1э. 1 з; г) дйгдгФО. Сохраияю|ся во времени только р,, р, и 1 .
' Г 363. а) — (А)= — ~ Ч" (11, А)'РОК=О, т. е. (Аэ=сопз(; -й~ б) так как операторы А и Й коммугируют, то оии имеют общие собственные функции ф„(х): Аф„=А,ф„и 11ф„=Ефк Разложим функцию т (х, г) по собственным функциям стационарных состояний (йф„= Е„ф„), поэтому т(х,!)=х1 с„ф„(х) ехр( — (ы,г)=2 с'„(г) ф (х) тле ю„= Е„(й, с'„(г) = с„(0) ехр (-(ю„г). Последняя сумма — это разложение по собственным функциям оператора А, поэтому квадраты молулей коэффици- ентов разложения опредеяяют вероятности различных значений физической величины А в момент г.
т. е. и (А„, г) Таким обратом, и(А„, г)=(г„'(г)~ =(с„'(0)~~=сопзц 364. Цилинлрические: гм — г', рмр', гр ттп, Сферические: г-чг', 8 и — Э, гр т+ и. 3.65. Рт(г, г)='Р( — г, г)=Р'Р(г, г). Двукратное применение операгора Р приводит функцию Ч' к исходному выражению: РзЧ' = Ргт =Ч' (30 Отсюда Рз=!, Р=+1, т. е. собственные функции оператора инверсии либо не меняются прн воздействии оператора Р, лнба изменяют свой знак. В первом случае (Р=+1) волновую функцию называют четной, во втором (Р= — !) нечетной. 3.66.
Из выражений для операторов Х„, уэ, Е, вилно, что онн не меняются при преобразовании инверсии (изменяют знак как сами коорлннаты, так и операторы дифференцирования по координатам, поэтому сами операторы остаются нензменнымн). А это означает, что указанные операторы коммутируют с оператором инверсии Р. Имея в виду, что [Р, Ез]=[Р, г'.г]+[Р, ьз]-1-[Р, 1".з] н [Р, Х(]= =[Р, Ь„] Е„+ К„[Р, Е„]=0, так как [Р, 1„]=0 (аналогнчно дая Е н К), получим [Р, ьз]=0, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
