И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При тепловом равновесии лоток энергии излучения, проникающего в полость 2, равен потоку энергии, выхолящей из этой полости ЬсдйдЯ= =Мэйл, где Тч яркость отверстия полости /, М,— энергетическая светнмость отверстия полости 2, АХ площадь каждого отверстия, йП=ЬсЯ//г Для косинусного (ламбертовского) излучателя Ес =М„'л Остается учесть, что М пТ', и мы получим Т,=Т, /г;/=2,8 1О' К 1.11. а) р=4оТс/Ъе 1,6 104 ГПа (1,6 10е атм), с) г=/7др -о л' с. 1.12. /=ерг(г)'-!)/9пТе=1,6 ч, р — плотность меди 1.13. а) я,/ 1Т/а=0,785 10'е с б) (я)=) сеа„с(я/)и Оа=4Т/а=1,05 10" с а е 1.14. а) ) =2кса/5Т=1,44 мкм, 6) (Л)=2яса/)Т=2,40 мкм Здесь распределение энергии излучения по длинам волн иссчэ).
'ехр( — 2яса/ХТ) 1.15. Ищем решение волнового уравнения «"=(1/е') «в виде «=Х(х)япсяг После подстановки последнего выражения в волновое уравнение получим Х„"-1-/с'Х=О, /с=я/е Х" /Х+ У" /У=(я/и)2 Левая часть этого уравнения содержит функции, зависящие только от х и у Поскольку зги переменные независимые, кажлая из этих функций должна быть постоянной Обозначив их соответственно /сгс и /с,', можем записать Х„''+/с г Х=о, причем согласно (1) постоянные /сс и /сз удовлетворяют условию /с с+/с1=(Я/е) (3) Решения уравнений (2) с учетом граничных условий Х(0)=0 и У(0)=0 запишем сразу в виде Х=есп/ссх, У=есп/с,у (амплитуды мы опустили, ибо для нашей задачи они не существенны) Постоянные /сс и /с находим из граничных условий Х(а)=0 и У(Ь)=0, где а и Ь вЂ” длины сторон мембраны Итак, «= егп(/сгх) яп(/сзу) яп яг, й, =л,к/а, /се =я я/Ь, (4) где (5) а л, и лз — целые положительные числа (огрицательные не приводят к новым линейно независимым решениям) Выражение (4) — это общий вид стоячей волны на мембране Каждой паре целых положительных чисел л, и лд соответствует одна стоячая волна (собственное колебание) 106 Решение этого уравнения с учетом граничного условия Х(0)=0 запишем сразу как Х=аесп/сх Постоянную /с находим из другого граничного условия Х(/)=О, откуда /с=ял//, где л — целые положительные числа (отрицательные числа не приводят к новым линейно независимым решениям) Видно, что ка:кдому значению и отвечает определенное значение й, а значит, и я П оэтому в интервале частот дя число собственных колебаний с)У/ йл, или с(Х=(//яе) дсл 1.16.
Будем исходить из двумерного волнового уравнения «„"-Ь«„"=(1/ес)« Его решение ищем в виде « = Х(х) У(у) егп яг После подстановки его в волновое уравнение получим Изобразим определенное собственное колебание точкой на плоскости с осями Ьь и Ь Тогда (3) есть уравнение окружности с радиусом Ь=в/о Число собственных колебаний с частотой,меньшей в, равно числу точек (рис 2) внутри круга радиусом 1=в(е в его первой четверги (так как все и,. О) Площадь ячейки, содержащей одну точку, есть Ьй,бйт = =(ят/аб)Ьп,бп =яз/Я, ибо Ьп,Ь»,= ! Поделив площадь четвер~и круга радиусом Ь=в!о на площадь одной ячейки, найдем з ят!с 4яоз Рис 2 Отсюда ЙУ„=($/2яоз) вбв 1.17.
Вывод аналогичен решению предыдущей задачи Но в данном случае вместо '/ь площади круга следует взять '(ь объема шара и, кроме того, полученное выражение надо еще умножить на два, поскольку каждой частоте соответствуют две стоячие волны со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации 1 !8 а) (а)=)'ае чагина/) е ч'тбь=йу о о 2пЬае ™м"т ''2пйве *""" ) () ст'е- ь!ьт ~ - ь где н=!/кТ Здесь суммирование проводится по и от 0 до со Последнее выражение можно преобразовать к более простому виду следующим образом: г) „„,„д ! Ьв (я)= — ()п2 е ""'")= — — !и ь)я лп ! — е '"" еьмьг — ! 1.19. При ЬТ~ Ьао (а) ЬТ См рис 3 120 и (ЬТ(язсз)вт „(Ьвз(язсз)е-*- !(ья'Ь чз з гьяг с е'" — ! б) и„= !бя ь Ь г*,ььгь 1.22.
(„'Гь =(е'ть — !))(ентз — !)=4,8, гДе а=2ясЬ(ЬЬ 123. ЬР=, =0,60 Вт(смз Ьязс' ЬТ'ц Ьь( з ььь Рис 3 !07 1.24. Из условия ди„)дв=О получим уравнение ! -х 3=с "', где х= Ьв!ЬТ. Корень этого уравнения хе 2,82. Значит, в (Т=ха)с!Ь= =3,69. !О" с ' К 1.25. Из условия днг дХ=О получим уравнение 1 —.т,'5=с . где т=2лг8(477.. Корень этого уравнения х„-4.965 Отсюда.Ь=Л Т=2лсЬЬ«о)гж -0,29 см К.
1.26. Энергетическая М=(с!а)) и„дв=аТ«. где =5,66 !О а Взу(мз К«) !.27. (в)=3,83!гТ)Ь= 1,00 !О'з с !.28. Т=2,33«Ь)Ь(23=2,00 кК. 1 в'дв 1.29. а) п дв=— зсз ез лг 1* Х «дЛ п,д)«=8л — — —; ез затз Рис. 4 б) п=О э44 ()«Т(Ьс)з 5 5 1Оа см — з 1.30. а] Из условия дп )дв=О получим 2 — х=2е ", где «=Ьв)(«Т. Корень этого уравнения хо 1,6. Отсюла Ьв«ш= 1,68Т=0,14 эВ; б) (Ьв) =2,7ЬТ=0,23 эВ. 1.31. Из л фотонов, заключенных в единице объема, число фотонов, ко~орые лвижутся внутри элементарного телесного угла дй, есть дп=пдй)4л. Выделим только те фотоны, которые движутся в телесном угле дй, составляюшем угол Э с нормалью к плошадке ЛХ Эти фонтоны лвижутся практически параллельно друз к другу, и поэтому за время Л! плошалки Л5 достигнут из них всс те фотоны, ко«орые заключены в косом цилиндре с основанием ЛЯ и высозой гдгсозЭ (рис. 4): ддг=дпЛЯсовЭсЛг. Проинтегрируем зто выражение по 9 (от 0 до л)2) и по ф (от 0 ло 2л), имея в виду, что дй=дп Эд9ддз.
В результате получим ЛЛ='!,псЛгЛ5. Отсюда следует, что число фозоноа, падавших ежесекундно на елнницу поверхности, равно пс)4. Умножив это выражение на среднюю энергию фотонов ( Ьв), найдем '(«п ( Ьвз с = ис/4 = М. 1.32. а) Т=Рх/8лз бега=2 !О" см ' с б) У=Р(Х 4-2Х )/24лзбсгз=2 10'з см з с 1.33. 2,5 зВ(с, 5 кэВВ и 0,6 МэВ)с, 1.34.
е=г( Я+(пзг))2лбз)з=2,8 ° !О м)с. 1.35. 2=2лсЬ) /К(К4 2гиг')=2,0.10 ''" см. 1.36. др/дг=) (Ьзв)с)ЛЖ«=Р(с, где дЖ„=Р„доз(Ьв — поток фотонов с частотамн в интервале (в, в+дв). 1.37. (р)=4Е(1+р)(лдзс«=5 б(Па (=50 атм). 138. Р=(бус) ) !+ р'-г2р сох 29=35 1О' ' г см)с.
1.39. При зеркальном отражеаии каждого фотона поверхности передастся импульс Лр=2(Ьв)г]созЭ. Тогла искомая сила Г=-др)де=) ЛрдЯ„=2 (1)с ) усозз9=0 05 мкН. !08 где дЯ вЂ” поток падаюших фотонов с часто- тами в интервале (ю, юфйщ); дйг„=(1„дго/Ьсо) бсоз Э. 1.40. Ог спектрального состава света переносимый импульс не зависит (см. задачу 136), поэтому для простоты будем считать его монокроматическим, Сначала найдем силу дР, лействуюшую на элементарное кольцо ЙУ (рис. 5) в направлении оси х. При зеркальном отражении каждый фотон перецает поверхности импульс т5Р=2рсоз9, х-составляюшая которого Лр„=2рсоаз9, где Р= /тат/с.
Поток фотонов д/у, падаюшик ежесекундно на кольцо 05, равен с)йт=(1/Ьге)ббсоз9, гле 45=2кЯ'з)пЭс)9. Тогда Рис. 5 ын.т Еа !''т'«'! - утт,-»в~,. 1 59. Из законов сохраненив энергии и им- пульса Рис. б бЕ=с)р,бтт/=4лйз(1/г) соззЭз!пЭд9. Проинтегрировав это выражение по 9 от 0 ло и/2, получим Г=лЯз1/с. Интересно, что полученный результат такой же, как и в случае абсочютно поглошаюшей поверхности. 1.41. Я= 315/2с. 1.42. Р=Р/2с(! !!з,Ят) 1АЗ. -А(Ью)=у(лтМг')дг; бю/ю=! — ехр( — уМ/Яст), где у — гравитапионная постоянная, лт= Ью/г' — «масса» фотона; а) А)с/)с уМ/Ягт=2,! - !О е: б) АЫХ=О,!О.
1.44. Х=ЛХц/(ц — !)=О,!О нм. 1.45. (/=!с/тс/ес/з(пи=3! кВ. 1Аб. е=с гп(и+2)/(и-ь !)=0,50 с, где п=2кЬ/гнсХ„„„. 1,47. Изобразив график зависимости 1(1/), экстраполируем его к 1=0. Отсюда получим П«=25 к — при этом излучение с данной Х становится коротковолновой границей сплошного спектра. Постоянная Ь=)се(те/2кс=),06 )О зт эрг ° с.
1.48. 1т ~:(!/Х „„— !/Х)/),з. Из условия с1/т/дую=О получим Х„=~/зХ„„„=ЗЯгйте(с=60 пм. 1.49. а) 0,66 и 0,235 мкм; б) 5,5. !Оз м/с (Лп), З,З (О' м/с (АЭ), из никеля не вылетают. 150. А=(2ксЬЭз)(т)т — Ьт/)ч)/(т)т — !)= (,9 зВ. 1.51. (У=(2пйс/Х вЂ” А)/е=1,74 В. 152 !се=(2кйс/А)(т) — и)/(т! — !)=0,26 мкм.
1.53. К„,„,= Ь(юоюе) — А=О,ЗЭ эВ. 1.54. р „,= /ейлпт(2ясЬЛ,-А)/х еВ=60 нм, гле и,= !/г (СГС) или ! (СИ). 1.55. Из УсловиЯ Ью=Ах„+е((/.,м+(т,) накодим !/„,„,= — 0,5 В, т. е. полярность контактной разности потенциалов противоположна внешней разности потенциалов. См. рис. 6. П 1.56.
)96. 2!3 и 224 нм. 1.57. Ктнт,=2хсй(ЗЭ вЂ” 2/Хе)= 1,45 эВ. Ою+тсз тсз/ ~1 — Вз, Ого/с=яче/ /! — ()з, тле ()=е/с, следует, что 3 равно О нли !. Оба результата физического смысла не имеют. 1.60. а) формула комптоновского смешения получена в Предположении рассеяния фотонов на Л своболных электронах. Электроны в веществе А можно считать свободными, если нх энергия связи значительно меньше энергии, перелаваемой им Рис. 7 фотонами. Для этого и необходимо использовать достаточно коротковолновое излучение; 6) так как рассеяние фотонов происходит на свободных электронах; в) эта компонента обусловлена рассеянием фотонов иа сильно связанных электронах и ядрах; г) вследствие увеличения числа электронов, которые становятся свободными в смысле пункта а; д) из-за рассеяния фотонов на движущихся электронах. 1.61.
)г=Хс(1 — сов 3!-г1(1 — сох 9,Ц/(з) — 1)=12 пм, 1.62. а) Ь) =Хг)/(! — т))=1,2 пм; б) соз 3=1 — (Х/Хс) г)/(1 — т)) 3=050, откуда 3= 60'. 1.63. Из треугольника импульсов (рис. 7) следует, что /г з!и 3 з!и 3 16'р= /г — /г'соз 3 Х'/).— соз 3 тле )г'/х можяо найти из формулы (1.6): 2'/).= 1 +(! — 3) 2 /Л. В результате з)п 9 сгб(9/2) (1 — соз 9)(1+Хе/)) 1+Ам/шсз 1.64.
созга>К/рс, где К вЂ” кияетическая энергия комптоновскнх электронов, соответствующая импульсу р. А аз 1.Я. а) Огс'=— з . з =020 МэВ' ! + 2 (О о!/гис з) з/па (3/2) г з з)пз(9/2) 0 б) К=, Ью=0,26 МэВ, где с= —. 1 42сз)пз(9/2) глез 1.66. К= рс — Е„=31 кэВ. 1 ф 2 (р/шс) з!пз(3/2) апйс/К „, гяй( 2лгс 1.67. ).= — 1+ — — 1 =2 О пм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
