И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1О см; Е„„„= — (т)в)з х х Ь,гтс*)йт= — 83 эВ. Эксперимент дает — 79 эВ. 2 49. Лх)Х-11(лЛК(К) = 2. 1О'. 2 50. Ширина изображения Л = Ь + Л'мЬ + 2611рЬ, гле Ь ширина щели, Л' — дополнительное уширение, связанное с неопределенностью импульса Лр (при прохождении через щель), р . импульс падающих атомов вспорола. Здесь положено, что Лу=Ь12. Функция Л(Ь) имеет минимум при Ьж '2Ы(тещ10 мкм.
2.5!. Если о' нс зависит от времени явно, то аремсннбе уравнение Шредингера попускает решения в виде Ч'(х, г)=(г(х)1(г) Подставив это выражение во временное уравнение Шредингера, получим два уравнения: 116 2пз Е ф„''+ — (Е- и)ф=а, У+ -У=О. йз 6 Решение первого из них собственные функции ф„(г), соответствующие собственным значениям анар~ил Е,. Решение второго: Дг)-ехр( — )ю„г), где а„=Е„/й. В результате Ч'„(х, ()=ф„(х)ехр( — поП). 2.52.
Изменится лишь временной множитель полной волновой функции. А так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля этой функции, то изменение временного множителя никак нс проявляется. 2.5З. Пола~ая [/=О, ишсм решение временного уравнения Шредингера в виде Ч'(х. г)=ф(х).у(г). В резулыате Ч'(х, г)=Ае '1"' ~), в=Е/Ь, /г=р~й. 2.54. Решение ищем в виде Ф(х, у, г, г)=ф(х, у, г) /(г). Подстановка во временнбе уравнение Шредингера и введение константы разделения Е приводит к двум уравнениям: У«-)со/=О, ю=Е//ц ф"«-Ф,",+Ф."-Н' зф=о, /'= /з Е/й. Решеняе первого уравнения; у(г)=е 'ч~. Решение же второго уравнения ищем опять методом разделенна переменных: ф(х, у, х)=Х(х) У(у).г.(з). В результате полстановки этого выражения в уравнение для ф найдем Х'„'/Х«- У'„'! У«.ж",/х.«-2глЕ/й =О.
Полагая Е=Е «-Е,+Е„получим уравнения для функций Х. У, Е вида Х" «-(2тЕ„/йз ) Х= О. Их решения: Х(х)=ехр(*)й х), где /г„=,,/ЯЕ„/й. Аналогично, для У(у) и ж(х). Окончательно: 'Р(х, у, г, г)=Ае .. г — -.- -* , г=,т.'+ц'Т.*=„чЫя=,я. г-,,ч 2.55. Полагая в уравнении Шредингера П=О, находам решение ф=А ехр(+)ях), где /г=,/2гиЕ/Е Видно, что это решение конечно при любых значениях Е>0. 2.56.
В К-системе Ч'(х, г)=Ае'1ы "'). Преобразуем показатель экспоненты с помощью следующих соотношений: Х=Х'+ест, Я=С'-1-Ее1 й= е/Л=/г'(1«-ес/с'); ю = гив з/26 =- ю'+ (глос/2Ь ) (2в'+ оо ). В результате получим Ч'(х, г)=Ч" (х"1 г) е'1'" ""'), где /ге=тес/й, юе=тоез/2А. Здесь зкспоиенцнальный сомножитель описывает движение частицы вместе с Кзсистемой /относительно К-системы). 2.57, Запишем уравнение Шредингера в области 0<х</: ф" +/гзф=О, /г= /2ягЕ/Ь. 117 Его решение ищем в виде ф(х)=А яп(/сх+а).
где А и а — произвольные постоянные. Из условия непрерывности волновой функции ф(0)=0 и ф(1)=0, откупа п=О, з/пй/=0 и /с/=ин, и=1, 2, (значение и=О отбрасываем, так как оно соответствует фщО, т, е, отсутствию частицы вообще. Исключаем также отринательные значения и, поскольку изменение знака ф-функции не ласт новых состояний). Остается учесть связь между й и Е, и мы получим искомое выражение для Е„. с Постоянную А находим из условия нормировки: ) фг(х)Ох=1. е П р и меча ни е, решение 1*) можно прелставить также в виде ф=А япкх+Всоз/сх; ф=А си*+Ее 25$ я) Е Ьг/сг/2щ.
6) Е нгйг(ЬС 1)г/2щ1г 2 Гсоз(япх/1), если п=1, 3, 5, ..., 2.50. ф(х)= / ) з/п (япх//), если л = 2, 4, 6, ... 260. я) щ=5к Ьь с2/гдЕС б) п=(т141)/2(г1 — 1)=3. 2.61. Из выражения для эверс ни Е (см, задачу 2.57) следует ОЕ/Е=2бп/и. Отсюла б/с/=(//нй)з/щ/2Е ЙЕ. 262 я) Е игйг/щ/з. 6) А (г/г — 1)нгйг/2щ/г 2.63. и= — з1пг — с/х= — + — '-0,61, [,/) 3 2сс "1 2М.
/=2/Р., Е=(нЬР.)г/О . 2.65. Запишем уравнение Шредингера внутри ямы: фырф;+1'ф=О, Ь=,С/2с Е/Ь. Его решение улобно искать сразу в виде произвеления синусов: ф(х, у)=А з/п(/с,х) яп(/сгу), так как при х=О и Р=О волновая функция лолжна обращаться в нуль. Возможные значения /с, и /сг находим из граничных условий: ф(а,у)=-0, /сс=п,я,са, л,=1, 2, ... ф(х, Ь)=0, /сг=пгк/Ь, пг=1. 2, ... После подстановки ф(х, у) в уравнение Шредингера получим /с~=1(+/сг~ или Е„„=(игйг/2щ)(пгс/аг+п$/Ьг).
Посгоянную А на~одим из условия нормировки, В результате: фщ„,(х, у)= /4/аЬ яп(п,ях/а) ял(пгяу/Ь). 266. н =('/,— '3/4я)с=0030 2.67. Е=2, 5, О и 1О единиц игйг/2щ/г 2.68. Е=-кгйгр /4щ 118 2.69у Каждому значению двойки чисел и, и л соответствует одно сосзчпгйие (г!г-функция). Число состояний в интервале (длг, бп ) равно сгзГ=Длгдп . Имея в вилу уравнение йхтйзх=йх, где и!=лги(и, Яз=пзя1Ь, отложим на осях координат величины лг и лз. Построим затем в этом л-пространстве окружность радиуса х с центром в начале координат. Все точки этой окружности соответствуют одному и тому же значению й, т. е. энергии Е. Нас будет интересовать только !1 окружности, так как следует рассматривать только положительные значения чисел л! и лз (отрицательные значения не дают новых состояний, как видно из выражения для ф-функции).
Число точек (состояний), заключенных между двумя окружностями с радиусами й и л4-с1л в '(, плоскости, есть ЙФ =) гул г йл,= ((аЫяз ) цл ! Оугз — — (аЫ4я з) 2я1гйл. Имея в виду, что 1гз=2щЕ1Ьх, повучим: х1Ь!=(абт12яйз)цЕ. 2.70. Решение аналогично решению, приведенному в задаче 2.65. В' результате Е„„„=(я Ь 12ш)(л 1а Ьп 1Ь тп !с ), где л,, лх, лз — — целые числа, не равные нулю. 271.
а) Е=(язй'~2гл1')(лз-~-лз-~-п)), ЛЕзх — — я'Ь'ггп1'. 6) лля шестого уровня лз Рлзз„'-лаз=14. Это число, как нетрулно установить подбором, является суммой квадратов единственной тройки чисел: 1, 2 и 3. Число различных состояний, отвечающих данному уровню, равно в нашем случае числу перестановок Этой тройки, т. е. шести.
2.72. ОЖ=(пбст"з(хггэ- яхйз)чуЕг1Е. Вывод аначогичен приведенному в решении задачи 2.69. 2.73. Проинтегрируем уравнение Шредингера по узкой области, внутри которой имеется скачок Потенциальной энергии: К(4-б) — ф' ( — б)= ) (2щ1Ь'НЕ- У) фдх. Ввиду конечности скачка У интеграл при (б( 0 тоже стремится к нулю. Отсюда ф' (4-0)=ф'„( — 0). 2.74. а) Напишем уравнение Шредингера дяя двух областей: О<к<1, ф",+лзфг=О, л= '2шЕ1Ь, и- 'ч -х - '<с.:к~л.
Их общие решения: ф,(х)=ажп(йх+и), фз(х)=Ье "*+се' лолжны удовлетворять стандартным условиям. Из условия ф,(0)=0 следует, что ц=О. Чтобы ф-функция оставалась всюду конечной, необхолимо соблюдение условия с=О. Наконец, из условия непрерывности волновой функции и ее производной по координате в точке х=1 получим гйл1= — гг(и, или Х = ЬЭхР!~1 ЯгГ,Х!. Изобразив графически левую и правую части этого уравнения 1рис. 12), найпем координаты точек пересечения прямых с синусоидой.
Онн определяют корни уравнения, отвечающие собственным значениям энергии Е. Корни соответствуют тем точкам пересечения, для которых 15уг1<0, т. е. булут 119 О Хвцз / Ж Рис !3 Рис 12 находиться в четных четвертях окружности (эти участки осн абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками) Как вилис. корни уравнения [т е связанные состояния) существуют не всегда, б) и-й уровень появляется при условии й/=(2п — !)я/2, откуда /'1/о-— =(2и — 1)злзйз/йт Четыре уровня 2.75. а) Из уравнения, привеленного в условии прсдыдушей задачи, следует, что а!п(/ /шОс/Ь)= /2/2 Отсюда / тК/Ь=Зк!4 (другие значения отбрасываем, так как уровень единственный, поэтому аргумент синуса находится во втоРой четвеРти) и /з1/с=я/гак'Ь'/ш, б) из УсловиЯ с)фз/с)х=б.
где ф,осжл/гх, находим .тга — — к,'2/г=2//3 (Рис 13), в) пусть ю. и н,— вероятности иахожлеиия частицы вне и внутри ямы Тогда н /и,=) Ь'ехр! — 2нт)с)х/) а' пп'/гхс)к=2/(23-3я), 3 с где отношение Ь/а определено из условия ф, (/)=фа(/), а /с=и=За/4! Остаегся еше учесть, что ий4-ю,=1, и мы получим и = 2/(4-~- Эя) = 14,9% Возможность нахождения частицы в области, где ее энергия Е< //, прелставляет собой чисто квантовый эффект Он является следствием нолновых свойств частицы, исключающих одновременно точные значения коорлинаты и импульса, а следовательно, и точное разделение полной энергии частицы на потендиальную и кинетическую Последнее можно сделать ~олько в пределах точности, даваемой соотношением неопределенностей 277.
б) Соответственно /з//с<2,0бйз/т и 2,0бйз/т</з//с<12,1Ьз,'гл 2.78. Напишем решения уравнения Шредингера для трех областей к<0, ф, =а ехР/кл), н=,12гл(Пс — Е)/Ь, 0<к</, фз=Ьми(йх+и), /с= /г2тЕ/Ь, к>/, фз=сехр(-ил) Из непрерывности ф и ф' в точках х=б и х=/ получим 18п=/г/к, 18(й/4и)= — /г/н, откуда х (/г/+ц)= — Ьй/ /2ш//с яп и = /!/г/,( 2т Бс. Исключив из последних двух уравнений а, получим /г/=ик — 2 агами(ЬЬ/ ~ 2ш//с ), (в) 120 где и=1, 2, .
л Значения агснп берутся в первой четверти (от 0 до я(2) Поскольку аргумент у агснп не может быть больше единицы, то значения (о не могут превосходить к „„,= Г2т~lо !й Изобразим левую и правую части уравне ния (а) как функцию от /г (рис 14, тле у,, у, и уз — правая часть уравнения при и= 1, 2, 3) Точки пересечения прямой с кривыми З м У, и т д опРеделают коРни этого УРавнения, которые как видно иэ рисунка, дают лискретный спектр собственных значений Е При уменьшении Ео величина (г,„, перемешается влево — число точек пересечения будет уменьшаться (при заданном ! положение /(' Тг ~~9 прямой остается неизменным) Когда (г„„„ста- Рис 14 новится меныде й (см рис 14), яма будет иметь только один уровень энергии Таким образом, данная яма всегда содержит по крайней мере один уровень энергии 279.
а) Основному состоянию соответствует л=1 в формуле (*) решения предылушей задачи При Е=Го!2 величина /о/=к/2. откуда /з(/о —- я Ь,'дт б) из зой же формулы (*) и рис 14 следует, что при появлении второго, ~ретье~о,, и го уровней (г/=н, 2я,, (л — 1)к. и аргумент у агсзш в эгих случаях равен елинице т е йй= ~2т(Го Отсюда /'и,=( — 1)' зйз/гт, „=2, З, Число уровней определяется неравенством ,~'Ъ /з(/а/Яй>( — 1) В нашем случае л=4 2„80. Е,= зйз 18 281. (/(х)=2(и!Аз(т)хз, Е=ий','ги 282.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
