И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. оператор Р коммутнрует н с оператором ьх 367. РУ, (Э,ф)=У, (я — Э, гр-';гг)=О (и — Э)е' ы н=( — 1)' О, (Э) ( — 1)" х х е' ч=( — 1)' У,„(Э, гр). Отсюда Р=( — 1)'. Таким образом, функция У(Э, гр) прн операции инверсии просто умножается на ( — 1)'. Состояние с четным 1-- четные, с нечетным 1-- нечетные. 3.68. Имея в виду, что волновая функция системы взаимодействующих частиц может быть представлена в виде произведений волновых функций отдельных частиц, каждая из которых характеризуется своим значением 1е получаем РЧг(х,)= гР ( — х,)= П ф,( — х,)= П ( — 1)' ф,(х,)=( — 1)ьй Ч'(х,).
3.69. Это сразу видно, если записать гамнльтоииан в сферических координатах. з1 1 г +!()' 2гл(хьэг~ г бгу) 2тг' Преобразование инверсии оставляет без изменения все операторы, стоящие справа, поэтому [Р, зз']=О. 3.70. Представим функцию Чг в момент г+т в виде разложении по степенам ЭгЧг Ч' (1.1- т) = Ч' (Г)-1- т -, —, те -1- ... бг ' 2! Эгх Здесь ч'(г) — четная по условию; дч'1сзг — тоже четная, ибо удовлетворяет уравнению Шредингера с четным гамнльтоннаном ( — !йг2Чг)бг=г)Ч')г сЗ~Ч'1ьэг д тоже четная, поскольку может быть представлена как — (оЧ',!01) и т.
д. бг 371. Действительно, ЬР)М= — (!)Ь)[Р, Й]=0, следовательно, Р=сопзз. 3,72. В силу закона сохранения механического момента Е свободный электрон должен иметь 1=0, т. е. находиться в четном состоянии. Но при этом состояние системы электрон — ион оказывается нечетным. Так как четпость изолированной системы меняться не может, то такой процесс невозможен. 3.73. Нет, ибо, четность зависит от арифметической суммы орбитальных квантовых чисел 1, а механический момент системы - ог векторной суммы 1.
Оба закона сохранения в квантовой механике пало применять всегла вместе. 3,74. Четность не сохраняется только в случае переменного поля (см. рещение задачи 3.62, пункт г). 3.75. К,= — (Ь'12т) [д'/дг'з-(21г)(бгсг)] — это оператор кинетической энергии радиального движения. !31 3.76. а) Прссгавим гамивьтониан в уравнении Шредингера Йф=Еф в форме //=К„+Е~С2п«'+ !/, где К,--оператор кинетической энергии радиального движения !см.
ответ предыдущей задачи). Подстановка функции 9=КУ в уравнение Шредингера приводит к выражению УК Я ! (Я/2ргг) /-г У ! У//К УЕл Имея в виду, что Хг Убйг!(/+1) У, получим (К, ~Ь ~/(/+1)/2рг'ь !/) й=ЕК. Это уравнение определяет собственные значения энергии Е Его нетрудно привести к искомому виду; б) подставим в уравнение Хгу=!лу, где Е'= — Ьгргзр, функцию У в виде У= О (Э) Ф (Чг) и произведем разделение переменных Э н Ф Обозначив поссояннун> рос.селения т-, гсалучнлс уравнение лдх функции Ф(сг) й Ф/слср~= — лггФ, откуда Ф(ср)=Ае Из требования однозначности следует, что т=О, ~1.
+2, .„Таким образом, ф = Я (г) О (Э) е '"Р. 3.77. Функция ! 1;„! характеризует плотность вероятности нахождения частицы в состоянии с квантовыми числами / и гн, рассчитанную на елиницу телесного угла, вблизи Э: ! У!'=с!гр/ОП; а) /3/4я; б) / !13/Эя. 3.78. а) После подстановки в уравнение Шредингера получим т" С-/с'2=0, /с=лсЬтЕ/Н. Решение этого уравнения ищем в виде у=А яп(/сг+ч). Из требования конечности функции ф(г) в точке г=О еле!сует, что и=О.
Таким образом, ф(г)=(А/г) з!и/сг. Из граничного условия ф(го)=0 имеем Кто=ля, л=!„2, ..., откуда игах 1 з!п/сг г.'„р= —,пг, ф,(г)=— 2'лго '2кг о Коэффициент А найлен нз условия нормировки ( ф'Акг'с)г=1; о гг б) нз условна с!(ггфг)/с!г=О находим г р и/йй го/2 и ( ф~4иг'с!г='/г, о Графики функций фг и г'фг показаны на рис, 19, г'у 3,79. (г) = ) г!/'4кг'Ос= г /2, (г~) = — ~ 1 — —, ((г — сг)) ) = = (гг) — (г) =(гго/!2) (1 — б/кгл ).
3.80. а) Преобразуем уравнение (3.14) для функции Лг(г) к виду Кс +(2/г) Я;+(/с'г' — 2) Аг =О, где /сг=2тЕ/йг. Записав аналогнчяое уравнение лля Но(г). пролифференцируем его по гг К'."+(2/г) д,"-Ь(й*гг — 2) КО=О. Из сравнения этих двух уравнений видно, что о в Я, (г) = НЭ (г'=(А/г') (ассов/сг — з!пйг), Рнс. 19 где А - нормировочный коэффициент; !32 6) нз граничного условия В, (гв)=О получим 18!его=!его. Корни этого уравнения находим подбором нли графически. Наименьшее значение йгс=4,5. Отсюда Е, -!ОАз!пшзо=2Е„ 1р 3.81.
а) Запишем решения уравнения Шредингера для двух областей для функции 2 (г): г < г, 2 = А з)п (7гг 4- и), 7г =ь72глЕ78, гезгс, уз=Ве 4-Се "', и= 72гн(и — Е))й. Из требования ограниченности функции ф (г) во всем пространстве следует, что и=О и В=О. Таким образом, ыпйг е "' ф=А ф=С вЂ”. г г Иг ус.и апя ьспр рывнгю~ь яг и чг н очке г —.гс ьо. учим !Олго= - )„к.
нли азпйгс= Л.гуйН2гиго!77ггс. Это уравнение, как показано в регпении задачи 2.74, определяет дискретный спектр собственных значений энергии Е; б) и 'й з,'Зги < газ !7о < 9 и зй з,'Вгн; в) в данном случае имеется единственный уровень; а!паг =(3 Г314л) йг, хг =2п)З, Е=2кзй~(9лггсз. Из условия д(г~фз)1г)г=О находим г,„=)г 74; 34%. г7'Я 2 дЯ !г 2У. 1(14-1)тк г Е 3.82. — 4 — — 4 а4- — —, В=О, р= —, с= —. озрз р г)р ( р рз / ' г ' Е 3.83, а) Пренебрегая малыми величинами, приведем уравнение Шредингера к виду у" — игу=О, и=.,~2ш(ЕЦ~Я. Его решение 2= Ае 4- Ве . Из условия ограниченности В (г) сггедует, что А =0 и М(г)со(17г)е б) преобразуем уравнение Шредингера к виду у -(!(1- !))гз) 2=0.
Решение его ищем в виде 2=Аг". В результате подстановки в уравнение накопим лва значения ц: 1-1-1 и — !. Функция В(г) будет ограниченной лишь при с:=1-1-1. Отсюда В(г)оог'. 384. а) А=!7 'пг',, г,=й'7Ь„глез! б) Е= — йз72тгзг= — Ьзте412йз, где Ь =1 (С) С) ияи 174 пас (СИ) 3.85. а) Подставив эту функцию в уравнение Шредингера, получим В(а, и, Е)-1-гС(а, и, Е) 1-г '77(и, и)=0, где В, С, 77 некоторые полиномы Эта уравнение выполняется при любых значениях г только в том случае, когда В=С=77=0, откуда а=и= — !12г,= Ь глез!20 и Е Ьз глг47М.
6) А=11 8пгз, где г,— -первый боровский радиус. 386. а) г,р г,— первый боровский радиус, Р=1 — 57е ю32,3%; б) радиус классической границы поля в данном состоянии г,=2г,, Р = 131е'ж 23,8%. 387. (г)=Зг,72, (гз)=Зггз, ((Лг) )=(г ) — (г)з=уг~74, где г, --пеРвый боровский радиус. 388. а) гЕ) =Ь„.2ез1гзб 6) (1/)= — Ь ез)гг 133 389. (К)=(фКфдуг=б~~лге~726г, о,=б ег)6=22 1Оо мус. 3.90. а) 4г, и 9г„б) 5гг и !5,75г,. Здесь г,— первый боровский радиус. 391.
Зго — — Б ((руг)4лг~бг= — Б еб,= — 27,2 В, гле р= — ефгы(г) — объемная плотность электрического заряда, г, — первый боровский радиус. 3.92. Напишем уравнеиие Пуассона в сферических координатах; 1 Вг — — (гйг )с а еф'„(г), еьО. г сг' Проинтегрировав это уравнение дважды.
получим ф„(г)=(п 74л)(е7гг ьеуг) ехР( — 2г(г,)г-Аг-В,'г, тле г, — первый боровский радиус, А и  — постоянные интегрирования. Выберем эти посгоянаые так, чтобы 9,(со)=0. а ф,(0) было конечным. Отсюда А= О, Вс ж ег4л. Добавив к полученному выражению (е) потенпиал, создаваемый ядром, получим в результате 9(г)= (и 74л)(е)гг-~ е)г)ехР ( — 2г!гг). 4.1. 5,! и 2,! В.
4.2. 0,41, 0.04 и 0,00 4.3. Вычислив кванговый дефект В-термов, найдем Е„=5,4 эВ. 4.4. а) 6; б) 12. 4.5. 0,27 и 0,05 !77 им. 4.6. а=1,71, д=2. 4Л. 7,2 мэВ; 1,61 эВ. 4.8, г5са=1,045 10 ге с 410. В едииипах Ь:,3574, т1!574 и гГ33/4 (оР)! г720, гг!2. ггб, '2 и О (з23). 4.11. а) 'Р, и 'Р,,; б) г г 17г Рз Ро.г.г. 27г,г,з Рг,з,о в) гР гВ гр еР о27 згг. г з г, ггг' г ~э. згг. з, г' ггг, згг иг, ггг' згг.
згг, г'г . о 4.12. 20 (5 синглетиых 6 15 триплстиых) 4.13. 'Во. 'Р„,ууг, Бм Ро, г 73г г з. 4.14. а) 2, 4, 6, 8; б) соответственно 2 ! и 3; 2 и 4; 1, 3 и 5. 4.15. й '30. 4Л6. Соответственно,И,>Ь 2 и М,=Л '2. 4.17. а) 35,2'; б) 34,4". 4Л8. !О (это числа состояний с различными значениями гл ).
4.19. й 730; 'О,. 420. сова= — 1.' 73. гкуда и=125,3". 421. а) х (23. !)=(28+!)(26+!); б) э(27,4 !) 2(2! 4 !)=60; в) число состояиий с одинаковыми квантовыми числами и и 1 равно %=2(21+!) При размешеиии уг электронов по этим состояниям необходимо учесть принпип Паули. Слеловательио, залача сводится к нахождению числа сочетаний из 6! элементов по Ри с',=лг(лг — !)(лг — 2) ... (д — 66!)76 =!20. !34 4.22.
а) !5; б) 46. 4.23. а) 2(2!Ч 1); б) 2лг. 424. а) Агом С !зг2ззрг1зро)' атом бй 1зг2згрз(ь5з )! б) атом Б: 1лг2згрь3згрь)зр ): атом С1: 1зг2згрь3згрз )грз ) 4.25. а) 'Р',! б) Ри . 426 «5 згг 4.27. Основной терм '33ь Кратность вырождения 2/3-1=9. 4.2В. а) Два ь)-электрона; б) пять р-электронов; в) пять зйэззектронов. 4.29. Ро. 4.30. Составим таблицу возможных распределений электронов по квантовым состояниям (числам) с учетом принципа Паули )табл. 1 и 2).
При этом можно не выписывать тех распределений электроноя, которые дают отрицательные значения сумм проекций Мь и Мз: они не дают ничего нового, в чем можно убедиться непосредственно. Для наглядности проекцию спина лз, каждого электрона обозначим стРелкой, напРавленной ввеРх (если зи,= 4 '1г) или вниз (если з», = — з!г). а) См. табл. 1.
Наличие состояния с Мь=2 и Мз=О указывает на то, что имеется терм з)3; следовательно. должны быть еше два состояния: М„=! н Мь=О (у обоих Лез=О). Из оставзиихся расположений состояние с М„=1 и Мз=! указывает на наличие герма 'Р; поэтому должно быть еше одно состояние с Мь=О. Луг=1. Оставшееся состояние с Мз =О и Мз=О принадлежи~ зерму '5. Следовательно, заданной конфигурадии соответствуют три типа термов: '5, 'Р и 'Р; Таблица 2 Таблица 1 б) см. табл. 2. рассуждая аналогично, получим 'В, 'Р и 45; з13 збг зр „зр. 4.31. Обе конфигурации имеют следуюцгие одинаковые типы термов: а) гр, б) з9 з)9 и зр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
