И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.38. а) При тепловом равновесии отношение числа атомов К»г на верхаем уровне к числу атомов КГ» на нижнем уровне равно в соответствии с распределением Больцмана. Уг/19» е-ьх»гг /У Р//(1 / еье,зг) где 01=0»г+/Уг — полное число атомов Внутренняя энергия системы Та= й»г/5Е, откуда г акиг С, = —. = »5//г Т ~КТ( ~(14."'")г ' 6) обозначим /гТ//5Е=.т Из условия »3С,/»3т=О получим уравнение (1 — 2х) х х с»м=1+2х. Его корень находим графически или подбором: хеге0,42; н) С /Ср 044/234.10-з 2,10з 6.39. В интервале импульсов (р, рпдр) число состояний 4яргг)р дог= — = — /» г) о, г /зр ь ь р 2кгй» Поскольку в каждой фазоаой ячейке обьемом /зр„Лр»ур, мнут находиться лва электрона с антипараллельными спинами, число электронов в этом интервале импульсов равно 2пл Переходя к кинетическим энергиям, получаем /г/(К)ОК=(и Г2 '/ягйз),/КОК.
640 К (/гг/2гл)(3ягл) ' =5 5 эВ 6.41. а) (К)=з/ К„»„; 6) 31,3 краж/см», 642. 0=1 — 1/ ~8=0,65 6.43. Т 3 10з К. гйз 6А4. ЛЕ= =1,8 10 г' эВ. щТ(3ягл)" 6.45. На 0.1ев. 646, п(о)до=я(гл»кй)зогбо; а) (о)=3о»4; 6) (1/о)=3/2о 647. о.,о=о„,„,=!,6.10ь м/с; (е)=1,2 1Оь м,'с. 6А9. л().)»32=8яХ зОР..
146 6.50. Число падающих ежесекундно на ! см' поверхности металла свободных электронов со скоростями в интервале (о, о+Ос), направления которых составляют углы (9, 9+о)9) с нормалью к поверхности, равно 2я ь!и 909 Оч=п(о)бо осоь9. 4я Умножив это выражение на импульс, перелаваемый стенке при падении каждого электрона (тосоь9), и интегрируя. получим р=2)тосоьбдч= (Знал)"'=5 ГПа(5 10 агм), 15язт тле интегрирование проводится по 9 от 0 до я/2 и по о от 0 до о„,„,. Двойка перед интегралом учитывает, чта такое же давление стенка будет испытывать н при отражении электронов (в силу полной хаотичности их движения).
6.51. т=26 фс, (Л)=(Зл/4рлез)(Зязл) ' =3! нм, Ь= !!елр=46 см'/(В.с); (Л)/гго!35, где г — среднее расстояние между атомами (г )угт,~ро, т.— масса атома, ро — Плотность). 652. л= г! Ь !'!К=!,02, где К=К„,+А, А --работа выхода. 6.53. Так как тх= — еЕ, тле Е=н,лгх, то ю = гполе~рп=!,б. !О'о с е=бюож)! эй Злесь а,=яя (СГС) или !(со (СИ). 6.54. Поскольку тх=еЕо=еЕосоьюг, то х= — (оберто~)соотг. Имея в виду, что поляризованность Р=лет получим а=1+и„Р(Е= ! — а„оез)таз= ! — (о>о/ю), где ио=4к (СГС) или 1(ео (СИ), юо — плазменная частота электронов Металл прозрачен для электромагнитного излучения, если показатель преломления л= гСа веществен (в противном случае будет наблюдаться отражение излучения и его поглощение).
Отсюла Л<2яс ~т~а,ле'=0,21 мкм. 6.55. Рассмотрим единицу объема металла. При переходе на свободные уровни ч электронов (ч значительно меньше полного числа свободных электронов) их кинетическая энергия увеличится на чз !зЕ, где ЕŠ†интерв между соседними уровнями (см.
ответ задачи 6А4). При переходе слелуюшего электрона кннетическан энергия увеличивается на 2чЬЕ, а магнитная энергия умеаьшится на 2рВ, где р — магнитный момент электрона, равный магнетону Бора. Из равенства 2чЬЕ=2рВ находим затем суммарный магнитный момент непарных электронов 3=2чр и парамаг- ннтную восприимчивость 2р (ЕГг=б,б !О (СГС) 7,5 !О (СИ). Здесь у„= ! (СГС) или ро (СИ) 656. а) С„,=(к')2)й(гТ/Его, 'С,.„'С„,„,=(л','б)ЛТ,'Его — — 76 !О'з. Здесь уч- тено, что данная температура больше дебаевской, поэтому С, =ЗА (закон Дюлонга и Пти), б) из характера зависимости теплоемкости решетки от температуры Т следует, что равенство указанных теплаемкостей наступает в области низких температур.
Воспользовавшись формулой (6.4), получим Т=, '5ЙО /24к Его=1,7 К. 6.57. а) Рассмотрим пространство скоростей с осями о„о„о,. Тогда приведенное в условии выражение означает, что число свободных электронов, проекции скоростей которых находятся в заданных интервалах, пропорционально обьему г)о„догдо.. В то же время число свободных электронов, модули скорости которых лежат в интервале (о, о+о)и), пропорционально объему сферического слоя в этом же пространстве, т. е. величине 4козйо.
Зная распределение электронов по модулям скоростей п(и)йи, запишем С8 Си бо„дог йо, л(т)йо„согде.=л(и)йо — . (*) 4яозйо Рис. 24 Остается учесть, что п(о)г)и=п(Е)г)Е. Е=гпоз,2 и пЕ!г)о= У2глЕ. Подставив эти соотношения н л(Е) из формулы (6.5) в правую часть (ч), получим искомое выражение; б) л(о„) бгб = 2(т!2яй)'йо,) йо, до,= 2я(т,'2яй)з(из — из) бо„. Здесь интегрирование удобно провести в полярных координатах: до~до,=рдрб9, где Р=чГгигво,, причем р меняется от О до р„= ~о„' — и„'.
6.58. Взяв ось х вдоль нормали к поверхности раздела металлов, запишем условия, которым должны удовлетворять электроны, переходящие из одного металла в другой: гло~, /24-У,=гпг~~г(24 ()з: ог, =игм о„=о=э, (1) где У,.—.потенциальная энергия свободных электронов. Число электронов, падающих ежесекундно на 1 смз поверхности раздела, равно йи,=и„,л(т,)био йи,=о„зл(из)отз. При динамическом равновесии йи, =ди„а так как согласно (1) дифференциал о„,г)и, =о„зйип то и п(т,)=л(т,). Отсюда слелует, что Е, — Ег,=И вЂ” Ееп Поскольку Е,+(1,=Ез-о бы получим Ег1+ (У~ = Егз+ Пз т.
е. уровни Ферми действительно находятся на одной высоте. 6.59. Верхние уровни в обоих металлах иахолятся на одинаковой высоте (рис. 24). Поэтому электроны, вырванные с верхнего уровня цезия, совершают работу А, +А„,„,=Аз, где А„„,— работа по преодолению внешней контактной разности потенциалов, а) 0,28 мкм; б) 6,4 !О' м,'с. 6.68. Взяв ось х по нормали к поверхности металла, запишем условия, которым должны удовлетворять электроны, вылетающие из металла. гпо'„з,'2=глох/24-(г, о,'=ол г.'.=о, (1) где штрихами отмечены компоненты скорости электрона внутри металла, С вЂ” -потенциальный барьер на границе металла (Ег;А).
Число электронов, вылетаюцзих ежесекундно с ! смз поверхности металла со скоростью в интервале (т тпдг), есть гп 13 и дг до=и'„п(гд)йч'=2 2яй/ 1+ехр!(Е' — Ег'у(гТ~) !48 =2(т)2кй)' ехр[ — (А г- Е)7)гт) с,дт. (2) Здесь учтено, что согласно (1) е'дт'=с„дч, а также что Е' — Ер=Е+А и уст«А. Запишем (2) в сферических координатах е =осок Э, дч=сгв!и Одйдсдгр и проинтегрируем по Хг от 0 до 2к и по Э от 0 до х)2. 66В а) <К>=2ЕТ; б) У=(, Ег)2кгйз)т',— а) А=4,! эВ. 6.62. Примем за начало отсчета энергий потолок валентной зоны. Пренебрегая единицей в знаменателе выражения (6.5), получаем для концентрации свободных электронов: п,=) п(Е) дЕ=2(т)гт)2л)гг)зггехр[(Ер — Е )г)ст~, где интегрирование проводится от Ер (уровня, соответствующего дну зоны проводимости) до оэ. В го же время концентрация дырок и = ( тхй, д Е= 2 (т Е Т) 2к)г ~) "г ех р ( — Ер ))г Т), Š— Ер '2тг тле ух= ! — Г,=ехр — и Х дЕ=Е„АЕ= и/ — ЕОЕ, причем интегрирование я г гйзч проводится по Е от — оэ до О.
Так как п,=п„, то Ер — Ег= Е, и Ее= Ерг'2 т. е. уровень Ферми находится посредине запрещенной зоны. Следовательно, и„= и„= 2 (пг)гт) 2кй г) ггг ехр ( — Ь Еа '2)гт) гле ЛЕ,— ширина запрещенной зоны. 6.6З. а) Приняв за начало отсчета энергии уровень донорных атомов, найдем концентрацию электронов проводимости: и =) п(Е)дЕ=2(пг)гт)2к)гг)з гехР[(Ер-Е )7)гт1, (') где интегрирование проводится от Ер (уровня, соответствующего дну зоны проводимости) до со.
В то же время, п,=п, [! — Т(О)) щехр(- Ер))гт). (2) Перемножив (!) и (2), получим пг=2гге(тлт,'2кй~)з гехр( — Ея,'Ет), откуда и следует формула, приведенная в тексте задачи. 6) Из сравнения (1) н (2) получим Ер= — ' — --1и Отсюда видно, что при Т 0 уровень Ферми Ер — Ер/2, т. е находится посредине между дном зоны проводимости н уровнем доноров. ! др ЕЕе к)гс. 6.64. и=- — = — -;= — — = — 0,047 К "', гле рс 'ехр(ЬЕе)26Т), р дт 2лтг Л)гтг ЬЕе — ширина запрещенной зоны.
2йтгта 6.65. Е= !пт)=0,34 эВ. т,— т, 149 6,66, 1,2 и 0,06 эВ соответственна, 667. Еа)а=( — ел(Ь,— Ь,)Р=О,!5; л=2(тЬТ)2пйт)з зехр( — 2ЬЕ)1|Т). 6.68. т=|Лп — =1О мс. (Рю — Р|) Р| (Рс — Рз)Р| 6.69. 0,10 эВ. 670. а) п=х 1еВ=1,0 10" см з, Ь=Ян)х р=3,7.!Оз смз)(В.с), где х„=!,'с (СГС) или 1 (СИ); б) из формулы для электроправодимости а=ле'т||п, где т=(!с)/(ю), получим ().)=(Ян(х ер)чУйтйТ(л=0,23 мкм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
