И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1/(х)= — ий',!тх, Е= — и!аз/2т 283. а) Е=йоэ/2, б) Е=з(г/гы 2.84. Е„=йы(л~- !/з) 285. а) Аа-— (и/ !я)нз, б) А!=и(2и/ 'я)нз, в) А,=(и,2 'я)'г! 2.86. х„= ~1,'и См и, на рис 15 287. х! „=О, х! р= ~./ ~гз/и См рис 15 288. а) х„,=1/ !/2и', б) (1х,') =2/,~~пи! 2.89. а) ха=1/и, б) н,=) ехр(-г,')с(с,') ехр( — 5')Она=0 049. о ! где г,=их Здесь ) =) — ). (см Приложения) а о 2.90. Уравнение Шредингера для этого поля в области х>0 такое же, как и в случае линейного осциллятора Поэтому его реше -ХО О 2'0,2' Рис 15 121 ния будут теми жс, что лля оспиллятора прн почетных значениях л, так как ф(0)=0.
Это жс относится и к собственным значениям эпархии, выражснне лля которой можно записать в форме Е=йю(2л'ч-з( ), гле л'=О, 1, 2, ... Видно, что при одном н том жс значснии т энергия основного состояния (л'=0) втрое превышасг энергию основного состояния,чинейного оспиллятора. 2.91. а) Решение ншем в виде ф=Х(х) У(у)Е(г). Посла подстановки в уравнение Шрслннгсра получим Х„"и-(2т!Ья)(Е,— й„. т(2)у=О и аналогичные уравнения для функдий у и у, причем Е„+Е„+Е,=Е.
Этн уравнения совпадают с уравнениями для одномерного осциллятора, собствснныс функции и собственные значения энергии которого нзвсстны. Поэтому можно сразу написать: фттт= фи (т) фт(у) ф ( ), Е„=Ью(лл-'/,), л=л,-~-лт-~-лз! б) кратность вырождсния уровня с онредслснным значением л — это по сушсству число различных комбинапий чисел л,, л,, и,, сумма которых равна и. Для определения этого чнсяа комбинаций подсчитасм сначала число возможных троек чисел л,, лз, лз при фиксированном значении л,. Оно равно числу возможных значений лз (нли лз), т.
е. равно и — л,-!-1. так как лз можсг мсняться от 0 ло л — л,. Тогла полное число комбинаций из и,, лз, лз прн заланном л сшь (и -1- 1)(и + 2) )У= 2. (л — и, т!)= —— 2 ,=с 2.92. Решение стационарного уравнения Шредингера в области х>0 (см. рис. 2.9) ямсет слсдуюший вид: ф(х)=ас'"'+Ье /г= /2тЕ,')ь Это выраженно соответствует супсрпозипии палающей н отраженной воли. Из условия непрерывности ф(0)=0 слслуст, что Ь= — а Тогда ж(х)=фф*=4ах х1пт )гт.
Максимумы н (х) в точках х„=пл(2(г=кйл,' /ОтЕ, л=1, 3, эй или х„=(л(4)л, гдс )с — лебройлсвская длина волны частицы (2и)(г). 2.93. Рсшсние уравнения Шредингера в области хПО (см. рис. 2.10) имеет внл ф = ос '+ Ь с "", к = У 2т (По — Е)!". Из требования конечности ф-функцнн слслуст, что а=О. Значит, и*(х)с.с Отсюда т,в- — !12и. Для электрона х, жО,! нм. 2.94. я) В данном случае регпснис уравнения Шредингера имеет вил. х<0, ф,=а,еи"-1-Ь,с "", !г= 12тЕ('Ь, . =,~~ !Г ,—г, ~ х 122 О Рис. !7 Рис.
!б и, РЬ, =Ьз, а, — Ь, =!(и/К)Ьз. Отсгода находим Ь, и затем — коэффициент отражения: Я = ! Ь г/а, ) з = ((Ь вЂ” ! к)/(Ь+ ! н) ! з = !. б) Если Е=(/е/2, то !г=н и ж (л < 0) = ф, ф 7 = 2 а ' ( ! — а!п 2 Ьх ), ж(х>0)=фзфзе=2азе г График функиии н (х) показан на рис. !б. 2,95. Запишем решения уравнения Шрелингера: ф,(х<0)=а,ехр(!Ь,х)+Ь! ехр( — !Ь,х), Ьг= г 2глЕ/Ь, фз (л >0) =аз елр(!Ьзх), Ь,= lггл(Š— П,)/Ь. Пусть падающая волна характеризуется вещественной амплитудой и,, Из условия непрерывности ф и ф' в точке х=О нахолим Ь, =а! (/г, -/гз )/(Ь! -!-Ьз).
Тогда коэффициенты отражения А и прозрачности Гл определяются как Я=(Ь /а )з=(( Ьг) /(/г +йз) ° (З= ! — Я=4Ь,/с„'(Ь, Ч-Ьз)"-. 296. н,(х)='е/ аз(! — з/аз(пзй,х), жз(х)='ь/ из, где и,"-амплитуда падающей волны, Ь, = "(,тбе(Ь. См. рис. !7. 297. а) Аж ! — 4 ' Е/Пе. Чем г сильнее неравенство Е« Пе, тем ближе значение Я к единипе; б) Еж((/е/4Е)'. 2.98. в) Запишем решения уравнения Шредингера для трех областей; ф,=а,е!'.з-Ь е я', /с=, /2глЕ/Ь, фа=азе' ыьбзе '""" Ье= г2щ(Е+(/а)/Ь, й* фз =азе х<0 0<х<( Эти выражения написаны для случая, когда падающая волна характеризуется е, позтому в волновой функции фз оставлен только опии член, !23 Пусть падающая волна характеризуется вещественной амплитудой а,. Из требования конечности ф-фуикции слелусц что аз=О.
Из условия непрерывности ф и ф' в точке х=О имеем соотвезствуюший проходящей волне. Из условия непрерывности ф и ф' на границах ямы находим 4акее' *' аз (1с91со)'е "-(1с — кс)зе " б) 1зис0.95. 2.99. Из условия Р=1 следует. что япйо1=0. Отсюда йе1=ил, нлн Е=л~йзлз12т1т- Рм Соотношение 1сс)=нсс можно сзрелшавигь в виде 21=и).
слс ). — деоройлевская дзснна волны частицы еиутри ямы. Заметим, что в оптике подобное явление, в основе ко~араго лежит чиста интерференционный эффект погашения вола, отраженных от лвух гранин раздела, называют лрогеетлепием оптики. Е„„,=14 эВ (и=2). 2.100. Так как А=! — )у, то максимум Е будет наблюдаться при минимуме 1У, т е.
при ,'з!п)с 1(=1. Отсюда )се1=(2пЗ-1)л12, и=б, 1, 2, ..., и 1=(2п з-1)лй1 ч1 8т(ЕЗ- Уо) =(2и+ 1) )14, где 2 — дебройлевская данна волны частицы енутри яыы. 2.101. в) Решение аналогично привеленному в задаче 2.98, пункт а. в, ~ « - ° гю,, ° ь=~Т'! -с.зс: 4Е(Š— и,) При Е Юе пронииаемоссь )У=(1З-т1з!1 !21сз) б) 0=1 пРи Е=(лзйз12т)з)л +1!ив - 11,5 и 16 эВ, где и=! и 2 (лФО, поскольку при л=О энергия Е=Ус и 1У<1, см прелыдуший пункт). 2.102. а) В этом случае характер решения уравнения Шредингера будет отличаться от случая Е~ !то (см.
решение залачи 2.98) только в обяасти О<к<!с 'т и — оо Поэтому коэффициент прозрачности можно найти, заменив в ныраженни для азс'а, !см решение залачи 2.98, пункт а) )сс на зн: 4!к)се а, (1с+!к)зеы — ()с — !н)зе '"" =('-'Г=' (-'" — ")'"'"Г- 4Е(Ео — Е) где айк1=(е~-е "')12; Рис 18 10)г б) Рчп) при и1ж 1. В этом случае з)ба!=ем!2 и Вге — е , з)з Е з' Е'з =16 —.~ 1 — — ~ехр( — 21,„/2лл(Ре — Е),'Ь); Р,(, Р„э) в) для электронов Вж0,27, для протонов В 10 2.103.
а) См. рис. 18; бб б= б, к~1 !б -Е)бб. и(0) фф*(0) (14-а/Ь)(1+аз/Ь*)е ™ . (1) фф*(1) (а,Ь+е-'"')(а, Ь*+.-'"') Из условия непрерывности ф и ф' в точке х=у находим и б 1 — = — с После подстановки в предыдущее выражение получим ж(0)(н(1)=(е™~ре ™)12. 2104.
В=ехр[ — (41.„~ 2глбб3Ь Рс)(са Е) '). 2 1Об. В ехр [ — (ц1,'Ьз) Г 2тз' Ре (1зе — Е)]. 3,1. Указание Учесть, что А зф=А(Аф). 3.2. а) (2 — х')созх — 4хяпх; (1 — хз)созх — Зх япх; б) (2-1-4х-1-хз)е"; (1-1-3х-1-хз)е". 3.3, а) А = 4; б) А = 1; в) А = — и '. 34. а) ф=Се'з", 2=2нп1а, л=О, Х1б 4-2, ...; б) ф=сяп( Ъх), Х=(ля!1)з, л= ~1, ь2, ... 36. а) А(8-1 С) — (Вяс)А=[А, В)+[А, с); б) А(вс)-(вс)А=Авс — всА+вАс — вАс=[А, в)со+в[А, с].
38. [В, А ') =[В, А',]+[В, А ',) =О, ибо [В, А,') =[Вб А,) А,+А, [В, А,]=0. Ззв а) Умножив равенство А — ВА = ! на оператор В сначала слева, затем справа, получим ВА — В А=в и Ав — ВАВ=В. Теперь сложим эти равенства: А В ' — В з А = 2В. 3.12. В общем случае нет. Например, оператор р, коммутирует с операторами х и у„, которые межлу собой не коммузируют. 3.13. а) Если* ф общая собственная функция операторов А и В, то АВф=АВф=ВАф=ВАф; ВАф=ВАф=АВф=АВф Следовательно, АВф=-ВАф и [А, В]=0; б) пусть ф"-собственная функпия оператора А, принадлежащая собственному значению А. Из коммутативности операторов А и В следует, что АВф=вАф=ВАф=АВф, т, е, Аф'=Аф', где ф'=Вф' Таким образом, собственное значение А принадлежит и функции ф и ф', которые, следовательно, опнсывабот одно и то же состояние.
Это может быть только в том 'случае, если зти функции отличаются лишь постоянным множителем, например, В: ф'=Вф Но ф'=Вф, поэтому Вф=Вф, т, е. ф — общая собственная функция операторов А и В. 3.14. а) у(х, з)ехр(!!гзу); б) А ехр [1(а„хэ-)г уэ-)г,з)]; 125 в) г" (у, г)ехр[+1)г,х). Здес~ Ь„=р,/Ь, у=х, у, г, 1 — произвольная функция. 3.15. Имеет только в том сяучае, когда функция Ф„одновременно и собсгвенная функции оператора В.
В обгцем случае нет. Например, в случае вырождения (в одномерной прямоугольной потенциальной яме каждому энергетическому уровню соответствуют лва значения проекции импульса, р„и -р„, несмотря на то, что операторы Й и р„коммутируют). ЗЛб. Пусть ф †произвольн собственная функпия оператора А, отвечающая его собственному значению А. Тогда вслелствие самосопряженносги этого оператора ) Ф*АФ И)'=) ФА 'ф*бр и А) ф'фб)'= А *) фф" би, откуда А =А ". Но последнее возможно только при вещественном А 3.17. а) ~ Ф1р.фгбх= — 1Ь ~ ф)(дф„'сх)г)х= — 1Ь~ Ф1фг — Фг — г)х = дх ф, )Ь вЂ” ф',г)х= фгр„*федя. 3,19. Из условия эрмитовости опера~оров А и В следует, что ) Ф*,А(ВФ,)бр=(ВФ,(А ф;)б)=)А*Ф*,(ВФ,) ИУ =(Ф,Л*(А*Ф",)М.
Поскольку операторы А и В коммутируют, то В*А *=А *Й* и )ф(АВФ ДР=)ф А*В*ИДИ 3.20. Каждый оператор коммутнрует сам с собой, значит, если оператор А эрмитов, то эрмитовыми будут операторы А э=АА и А". 3 23. а) Уравнение Е„.ф=),ф имеет решение Ф=А ехр()Л,Чг!Ь), Из требования однозначности, ф(гр) = ф (гр р 2п), следует, что г., =щйг, гле лг= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
