Том 1 (1129330), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(107. 10) 2! ! х,(! +4хаз) 4»', Левые части этих равенств можно записать в виде е'бг з!п бс, причем последнее выражение можно заменить на б„если фаза рассеяния мала. Зависимость фаз рассеяния 6, н б„измеренных в единицах Р, от величины х, показана на фиг. 58. На фигуре оуое о,от г б лр го багор еч= ив Фи г. 88. Борковские фазы рассеяния 8 и б, на зкспоненциальном потенциале.
Р— параметр, харантсрнзуюжнй размер ямы По осн абсннсс отлажен знсргатнчссннй параметр н логарнфмнчзсном масщтабс. отчетливо видно, что для небольших значений величины х, выполняется условие 6,((б„которое означает, что Р-рассеянием можно пренебречь по сравнению с е-рассеянием. Интересно, что эта типичная для области малых энергий особенность рассеяния правильно отражается борновским приближением, специально приспособленным к области высоких энергий. Если х,)) 1, то обе фазы рассеяния б, и 6, оказываются величинами одного порядка и преобладающйм становится рассеяние вперед.
Чтобы иметь представление о границах применимости первого борновского приближения, мы с помошью формулы (95.12а) вычис- 107. Рассеянии яи акснонеициольиом потенциоле 293 лим фазу рассеяния 6, во втором борновском приближении. Согласно (96.12а), имеем о Ф 1и 6, = — — ) г(г(7 (г) з!и' йг ( 1 — — ') (7 (г') з)п 2йг' а(г' ), (107. 11) о о где и (.) = †'", )у (.).
Для потенциала (107.1) с учетом равенств (107.3) отсюда получается о 1д 6, = — 1 о(х е " з(пз (хх) ( 1+ — 1 е х з! и 2ху с(у ~; хо Ф хо ) о выше мы воспользовались безразмерными величинами х=- г/го и у=г'(г, в качестве переменных интегрирования. Внутренний интеграл легко вычисляется: ,( е-х (г е г з!и 2хр с(у=, ( з!п 2хх+ 2х, соз 2хх ~ . 1+ 4хо с Чтобы найти оставшийся интеграл, тригонометрические функции удобно заменить экспонентами. Дальнейшие выкладки совершенно тривиальны, хотя н несколько громоздки. Окончательный результат имеет внд Р 2хо ( 1 р б — 4хо ~ (107 12) 1+4хо о8(1+ха) (1+4хо) 1 Первый член здесь идентичен выражению (107.9), и если второй член в фигурных скобках мал по сравнению с единицей, то можно рассчитывать на хорошую сходимость борновского метода.
Таким образом, границы его применимости определяются условием ! 6( о)! ( а)( а)(< График функции д(х,) изображен на фиг. 59, причем в левой и правой половинах фигуры для удобства использованы различные масштабы. Числовой пример. Пусть параметр Р, характеризующий размер потенпиальиой ямы, равен 3, и пусть ошибка в амплитуде не привышает 2 ого (для интенсивности зто составляет 4 ого).
Тогда условие применимости первого борновского приближеаия принимает вид ! Рд(хо) ! < 0,02 или (д(хо) ! < 0,0067. УМ П. Задачи без учета саина. Г. Сферически симметричныг потенциалы ыо Яо" ~од ар ца Фиг. 59. График функции п(хь). Чтобы первое борковское пркблкжепке было корешки, Фуккплл ~ Ре ! должке быть мала. Задача 108. Борковское приближение для рассеяния на сферически симметричном распределении заряда В первом бориовском приближении вычислить дифференциальное сечение рассеяния электронов на ядрах, считая, что плотность электрического заряда ядра р(г) сферически симметрична.
Полученные результаты применить к случаю, когда заряд распределен по объему ядра с постоянной плотностью. Решение. Если рассеиваемой частицей является электрон с зарядом — е, то уравнение Пуассона классической электростатики, связывающее потенциал )г (г) и плотность р (г), можно записать в виде рк)г= — —,, (г(г) = 4пер (г). (108. 1) Плотность заряда ядра положительна и нормирована в соответствии с условием 4п ~ г*р (г) с(г = Ле. (108.
2) о В первом борновском приближении амплитуда рассеяния ) (О) определяется формулой Ю 1(0) = — —" ~"Р() ""'" (~, о К = 2йз!н —. е 2 ' (108.3) Граничное значение достигается в точке хе= а, чель и определяется наимень- шее значение энергии, для которой мы анте можем пользоваться первым бор- новским приближением. С помогцью фиг. 58 нетрудно установить, что для этого значения энергии фаза рассеяния 6ь оказывается примерно равной 21'. !ОВ. Борнооеное ирибеижение Необходимо отметить, ето вне ядра еее (е(г) = — —, г и поэтому интеграл при бесконечном верхнем пределе, строго говоря, не имеет смысла.
Указанная трудность легко устраняется, если в подынтегральное выражение ввести обрезающий множитель е-"', а затем в окончательном результате положить «о=О; это впервые было показано Вентцелем". Физическим основанием этой несколько сомнительной математической процедуры может служить экранирующее действие атомных электронов. Рассмотрим тождество, полученное двукратным интегрированием по частям: (ге') !,екг г!г ~е!кг г)г (г)г)' ) ~ ~ (г)у)геекг е(г — — 'д — ~ = к '( ~ к,)). к',) о о !' (0) = — ° — ( гр (г) з)п Кг е)г.
(108. 4) о Здесь уже никаких трудностей с расходимостью не возникает. Если бы ядро можно было рассматривать как точечное, то вклад в интеграл происходил бы от малой окрестности точки г = 0 и мы могли бы воспользоваться непосредственно формулой (108.2), поэтому амплитуда рассеяния ! (0) в этом случае была бы равна (!08.5) 2ЬЧе е!пе— 2 Учитывая, что И=то и — Ение =- Е 1 о 'йееи!ге! П„хе. Рнуе., 40, 590 (!927).
Благодаря математическому трюку Вентцеля подстановка на верхнем пределе обращается в нуль. В окрестности точки г=О функция ег(г) должна иметь вид )е = )у, — )l,г'+..., поэтому г)у- 0 и (г)!)' — )е„. Следовательно, вклад от подстановки будет равен — )У,/Ке. Йо точно такой же вклад даст подстановка н в интеграл, комплексно сопряженный с только что рассмотренным, поэтому в разности этих интегралов, которая равна интегралу, фигурирующему в формуле (108.3), вклада от подстановки содержаться не будет. Что касается интегрального члена, то в нем производную (г)г)" можно заменить правой частью уравнения (108.1). Это даст 296 ГУ.
Эааачи бео учета спина. Г. Ссреричесни симметричные потенциалы последнее выражение можно записать в виде 1о (0) 48 Мпе -сгОтсюда для дифференциального сечения рассеяния известная формула Резерфорда !~ (0) ! ( ")' о|пч— 2 Выражению (108.4) можно придать иную форму: 1 (0) = ), (0) Р (К), получается (108.
6) (108.7) где формфактор аа (108.9) В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда заряд ядра распределен с постоянной плотностью внутри сферы радиусом )4. Для такого распределения условие нормировки (!08.2) и формфактор соответственно имеют вид — Р)4 -Ее 4п 3 Р= — о~ге '" ' с(г=- 1, (з)пКР.— ККсозКР), (108.10) о или Зй (2И4 о!и — ! (108.11) б 41%со!пав 2 При изменении угла в интервале 0(б(п аргумент сферической функции Бесселя меняется от 0 до 2Й)с.
Если учесть, что для применимости борковского приближения должно выполняться неравенство М )) 1, то указанный интервал оказывается довольно большим и функция Бесселя должна в нем иметь несколько нулей. Таким образом, вместо монотонно убывающего с ростом угла резерфордовского сечения рассеяния мы теперь будем иметь последовательность дифракционных максимумов, так же как это бывает в аналогичных задачах классической оптики.
Число мак- г (К) =- е ') г'р (г) — '~,— ' с(г. (108.8) о Он характеризует отклонение сечения рассеяния от резерфордовского: 297 !ОВ. Борновское приближение симумов при условии, что все они разрешимы, позволяет полу- чить грубое представление о размере ядра. Замечание. Если считать, что потенциальная энергия нейтрона в поле, созданном другим нуклоном, приближенно описывается потенциалом Юкавы ,а )г (г) = — — е г (108.!2) Условие нормировки теперь имеет вид 4п ~ гзр (г) Ыг= А, о (! 08.! 4) где А — атомный вес ядра. В математическом трюке Вентцеля в данном, случае иет необходимости, и без него интегрирование по частям дает Ф О ! Г (гр) Мп Кгг(г= — — ~ (г)г)" ып Кгбг. Кз,~ в о Если воспользоваться уравнением (!08.13), то последнюю формулу можно записать в виде и О (г)г) з!и Кг г(г= — — ~ ~4пазрг+ха(г)г)) Мп Кг В о и, следовательно, М ч о (гр) з(п Кг г(г = —,, ( гр (г) жп Кг Ыг.
4пйе Г Кз!хз ) о В случае точечного ядра имеем 2тязА Вз(Кз !, з) ' (108.18) а для протяженного ядра должно быть ((0) =)з(0) Р(К), (108.16) где формфактор г" =-'- г'р (г) 4и ! 5!и КГ А~ Кг (108.17) по существу определяется тем же выражением, что и раньше. то для описания взаимодействия нейтрона с ядром, плотность частиц в котором равна р, можно написать дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению Пуассона: г(з —, (г)г) — хз (г(г) = 4пйзр (г) г. (108.13) 298 IД Задачи беэ учета саина.
Г. Сферичеени симметричные аотенциаеы Задача 109. Высокоэнергетическое рассеяние на жесткой сфере (109. 3) ж — „', ~, (2)ап!) з)п' ~ — — ') с=о (109. 6) Показать, что сечение рассеяния на жесткой сфере радиусом сс для очень больших энергий приближается к значению 2пссс. Решение. Борковское приближение, обычно применяемое в об- ласти высоких энергий, становится несостоятельным в случае сингулярных потенциалов, так как фигурирующий в нем инте- грал расходится.
По этой причине мы вынуждены использовать метод разложения по парциальным волнам, несмотря на то, что сходимость этого метода с ростом энергии ухудшается. Для любого значения 1 радиальная волновая функция вне жесткой сферы имеет вид )(с (г) =1, (йг) соз 6,— пс (lгг) з)п 6, — з!п (иг — — + бс) (109.1) Си и должна удовлетворять граничному условию Хс Ж) = 0. (109. 2) Таким образом, имеем ис(х) и, следовательно, сечение рассеяния будет равно о = †, ~ (21 + 1) з)по бс = †„ ~~' (21 -1- 1) „ С' ~ ), . (109.4) с=о с=о 11 (х) + ос (х) Если энергия столь велика, что х>)1, то бесконечную сумму (109,4) можно разбить на две части.
Члены суммы, для которых 1<х, описывают частицы, сталкивасощиеся со сферой (сс1<сссоЛ), и соответствУющие фУнкции 1, и пс можно заменить их асимпто- тическими выражениями: Си 'с ),(х) = сп (х — — ), 2) (109.5) и, (х) = — соз (х — 1, 2/' Членам же с 1> х в классической картине соответствуют части- цы, пролетающие мимо сферы, не сталкиваясь с ней (И ) спИ). В этом случае функции )с и п, можно заменить первыми членами нх разложения в степенной ряд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
