Том 1 (1129330), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Замечание. В области очень малых энергий (й — + О), когда взаимодействие имеет характер притяжения, в рассеянии участвует только з-волнз (! =О). Как было показано в задаче 88, в этом случае мы можем ввести длину рассеяния 1 с/ч = — — !я бч. й Эб, Паеледаеательные приближения для фааи раааеяния 263 Задача 96. Последовательные приближения для фазы рассеяния Радиальное уравнение Шредингера для э-волны формально можно рассматривать как неоднородное дифференциальное уравнение, считая неоднородностью член, содержащий потенциальную энергию.
„Решение" этого уравнения представляет собой интегральное уравнение для функции К„и его можно решать методом последовательных приближений. Используя указанную процедуру, найти интегральное выражение для второго приближения к функции 1п 6,. Решение. Радиальное уравнение Шредингера при 1=0 запишем в виде К" +й'К=иК, (У=фР(). (96.1) Здесь и далее ма! опускаем индекс О у функций К„б, и т. д.
Рассматривая в этом уравнении правую часть как неоднородность, мы можем выразить его решение через функцию Грина О(», «'), которая является решением уравнений дед е, де 6 д, +ней=6(» — ') = ~,,+й'6. Таким образом, имеем К(«) = А з1п й»+ В сов й»+ ) б («, »') У (»') К (»') е(«', (96.3) а Функцию Грина в (96.3) можно выбирать различными способами, для дальнейшего ее удобно взять в виде О, »')», так как при этом мы сможем удовлетворить граничному условию К(0) =О, просто положив В =О.
Выбирая далее в качестве условна нормировки, которая не является существенной для определения фаз, условие А=1, мы приходим к интегральному уравнению Вольтер ра К (») =- з(п й» вЂ” — „! з! и й (»' — «) У (е ') К (»') е(»'. (96.5) ! г а Расписав з1пй(»' — »), мы можем представить наше решение К(») в виде К(«) =С(») э(пй»+8(») созя», (96.6а) 2З4 П, Задачи дее учета саина. Г. С4ерически симметричные латенциаеы где е С(г) = 1+ — ~ соз йг' У (г') Х (г') йг', о (95.66) 166=~( С(еч) ' (96.7) Выражения (96.66) совместно с соотношением (96.7) дают строгое решение задачи.
Интересующие нас последовательные (бор новские) приближения строятся в предположении, что потенциал У (г) является величиной первого порядка малости. Для удобства выкладок будем временно писать ХУ вместо У и разложим функцию Х в ряд по степеням „параметра порядка" Х; Х=Хч+)чХч+Х Хе+ ° ° ° (96.6) где индексы, очевидно, означают порядковые номера приближений. Уравнение (96.5) во втором приближении записывается следующим образом: Хч(г)+ХХ,(г)+Х*Х,(г)+... = = з(п й~ — — з!и й (г' — г) У (г') (Х (г') -1- ХХ, (г')-1-... ) дг', Отсюда, приравнивая члены одинакового порядка малости, получаем Х,(г) = з)пЬ, (96.9а) ! Х,(г) = — — ~з!п)е(г' — г) У(г')з1пЬ'й', (96.9б) о 7,, (г) = —, ~ й' э!и й (г ' — г) У (г') Х ! Р о х ~ з!М (г" — ) и (г-) з!и йг",(г".
(96.9в) 8 (г) = — — ) з) п Ь' У (г') Х (г') й'. о Обе амплитудные функции С(г) и о(г) при г- оа стремятся к конечным пределам при условии, что потенциал ведет себя как г-о, где д) 1, в этом предельном случае из (96,6а) следует: Х (г) з1п (Йг+ 6). Таким образом, фазу рассеяния 6 мы можем определить нз соот- ношения Уб. Последовательные ириблиасения для фазы рассеяния 2266 Здесь ть представляет собой вклад от невозмущенной плоской волны. В первом порядке имеем т=т,+уа, и, расписывая снова з!пй(г' — «) так, как это было сделано прй получении соотноше- ний (96.6), находим С(г) = 1+ — ) У (г') сов Ь' з!пЬ'с(г', 1 Г о е 5 (г) = — — У (г') з!п' й»' с)г'.
(96. 1О) которая, действительно, совпадает с формулой первого борновского приближения (см. задачу 106). Во втором порядке к приведенным выражениям мы должны добавить функцию )(,. Это даст Г С (г) = 1 + — ) с(г' У (г') соз йг' Х 1 Г о и и (и ь' — —,! ив')е ьв" — ').
° ь'вс!. о Г 5(г) = — я ') с!г' У (г') з!пЬ'х о к (и ь" — ~!и(с) иьи' —.') ! ьге ). о (96.12) Мы видим, что наше приближение представляет собой разложение по отрицательным степеням й в соответствии с тем, что борновский метод применим в области высоких энергий. Наряду с возрастающими отрицательными степенями величины й в высших приближениях появляются и все более высокие степени потенциала (l, Если теперь подставить выражения (96.12) в формулу (96.7) для !и б, то величину 1!С (аа) мы можем разложить аналогичным образом. Так как 5(ао) пропорционально 1/А, то амплитуду С(аа) можно взять в первом приближении, если нас интересует результат, верный лишь с точностью до членов 17йь включительно. Таким образом, в первом порядке амплитуду 5(г) можно отождествить с выражением (96.7), так что для фазы рассеяния мы имеем формулу О !я б = — — ( У (г') з!и' Ь'с(г', я „! (96.
11) с66 У. Задачи без учета саина. Г. Сфсричсски симметричные потенциалы Таким образом, имеем 196= 1( — — 1 У (г) в!пейсы+ 1 Г й.) ч Г ч- —.,',)ч сИ ьь) и( ) мчи — Оч.ч ч;) ч о Ф чч х 1 — — ~ У (г') сов йг'в1пйг'с)г' = — — У (г) в!пзlггй + о О О + —,) с!г У (г) в!п'Ь ) У (г') в!пЬ'сов лг'с(г'+ о о Г «-,)ч ч с Ч~ ч ч,) и ЧЧ на ч ~с — ~ ь ь чс. о После очевидной перегруппировки членов, имеющих порядок 14а, окончательному результату можно придать одну из следующих форм: 1д б = — — ~ й.
У (г) з1п'Ь. 1 — а д) У (г') з1п 2 Ь' й', (96.12 а) 1 Г ( с . или ~О I 196= — — пгУ(г)в!пЬ' з)пйг — — „сов Ь' У(г')в!п Ь'с)г' 1 Г (96.12б) Это есть приближение второго порядка для фазы рассеяния. Замечание. Данный метод можно применять к парциальным волнам с! > О. Единственное отличие состоит в том, что тригонометрические функции Мп Ь и сов йг придется заменить на сферические функции Бесселя й(йг) и — ас(йг).
Задача 97. Уравнение Калоджеро Для отношения 1(г) = —, С(г) ' (97. 1) где 8 (г) и с(г) — амплитудные функции, введенные в пре)птдущей задаче, вывести нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. Найти приближенное решение этого уравнения, соответствующее второму борновскому приближению. Зт. у равнение Каеодвееро Решение. Мы показали, что в выражении т (г) = С (г) з|п йг + 5 (г) соз Ь. (97.2) амплитудные функции н их производные определяются соотно- шениями С (г) = 1 + — ~ У (г') соз Ь'у, (г') й', о С' («) = — У (г) соз йг )( (г), 1 З(г) = — — „' ~У(г) з)пЬ')(( ) (г, о Я'(г) = — — У (г) з|пйгу(г).
(97.3) Дифференцируя равенство (97.1), получаем С5' — ЯС' Се где СЯ' — ЯС' = — — )((С а|п Ь. + 5 соз йг ) = — — 11' (г). и и й а Следовательно, ,1, — — — а У (г) (з1пЬ +1(г) сова«)е. Ш 1 (97.4) Ле( | Лв( (97.6) Приравнивая теперь в уравнении (97.4) члены одинакового порядка малости, находим 1; = — — „з|пе Ь, и (97.6а) и 1; = — — 1, з|п 2Л« й Ф (е'= — — „«1, з|п 2йг+ 1, соз'йг) и . (97.6в) (97.6б) и т.
д. Каждое последующее уравнение этой цепочки допускает решение в квадратурах. Это и есть искомое дифференциальное уравнение для 1(г), известное как уравнение Калоджеро. Последовательные борновские приближения нетрудно получить, заменив опять У на ЛУ и разложив затем функцию 1(г) в ряд по степеням Л. Мы имеем 268 П. Задачи беа учета спина. Г. Сферически симметаичнчм патеняиает Уравнение (97.6а) соответствует первому борновскому приближению, и его решение имеет вид е 1,(г) = — — „~(7(г) в1пч йг'с(г', (97. 7) о так что для фазы рассеяния в этом приближении получается формула 1!г 6 = 1, (~) = — — ~ (7 (г) в! п' йг с(г.
(97,8) 0 Во втором борновском приближении ! = 1,+ („ поэтому с учетом уравнений (97.6а) и (97.66) имеем с ! (г) = — — ( с!г' (7 (г') в! п Иг' < в! п Иг' — — сов Ь' ( 0 (г ) з1п' Ь" с(г'1, (97.9) и, следовательно, Г 1й6= — — ~ Й (7 (г)в1пlгг ~в!пйг — — совЬ (7 (г') в(п'яг'с!г' ! с 2 (97.10) в полном согласии с формулой (96.12б) предыдущей задачи. Задача 98. Линеаризация уравнения Калоджеро Найти приближенное решение дифференциального уравнения Калоджеро (97.4) в предположении, что ~! (оо) !~(1. Решение. В правой части уравнения Калоджеро — „= — —, (7 (г) 1з(п Йг+1(г) сов Ь !е, Ю ! (98.1) или — = — — (в!па Ь + ! в1п 2Ь + (е сов' йг), ш и й последний член при малых 1(г) можно отбросить.
Таким образом, приближенное решение с должно удовлетворять линейному уравнению вида д7 и — — — (в(пч йг+ ! в1п 2йг). (98, 2) Сравнивая уравнение (98.2) с уравнением для второго борновского приближения Й вЂ” (1, +1,) = — — (в!п'Аг+Г,в!п 2Ь), и 269 99. Длина рассеяния потенциала которое легко получается из (97.6), мы находим, что второе борковское приближение несколько хуже, чем приближение (98.2). В правой части уравнения (98.2) вместо функции с, фигурирует сама функция 1, что эквивалентно включению в уравнение первого члена из третьего борновского приближения (97.6в).
Таким образом, линеаризация сразу же приводит к решению, которое в качественном отношении занимает промежуточное положение между вторым и третьим борновскими приближениями. Решение уравнения (98,2), удовлетворяющее граничному условию Е(О) =О, (98.3) находится стандартным методом и имеет вид Г ( (г) = — — ) й' у (г') з1пе Ь' Х ! Р о х ехр ~ — — ~ У (гл) з!п 2лГ'гсгн . (98.4) Разлагая здесь экспоненту по степеням 17й, мы можем вернуться ко второму борновскому приближению. Следует подчеркнуть, что приближение (98.4) значительно лучше борновского, так как даже при очень малых значениях й (или же при очень больших значениях У(г), как в случае сингулярных потенциалов1, когда формулы борновских приближений теряют смысл, мы все еще имеем вполне определенное решение по крайней мере для потенциалов, соответствующих силам отталкивания.
Задача 99. Длина рассеяния потенциала, имеющего вид степенной функции Определить длину рассеяния потенциала, описываемого формулой 2тР (г) = (7 (г) Ф ( 'о )" а) путем точного интегрирования уравнения Шредингера при А=О; б) путем решения линеаризованного уравнения Калоджеро. Решение а. Радиальное уравнение Шредингера для случая е 0 и й-0 имеет вид то — 8'х "т, = О„х =— (99.2) Го ' 270 )!. Задачи бее учета елина. Г. СЧ!ерически симметричньм латенииаем Решением этого уравнения, удовлетворяющим граничному усло- вию у,(0) = О, является функция 2 (99.3) где К,(г) означает модифицированную функцию Ханкеля К,(г) = „.„чи (7,(г) — 7,(г)) = — 'е ' Н,"'(!г), (99.4) асимптотика которой при ~г)- оо имеет вид К, (г) 1ее —, е- . (99.5) Когда значения переменной х очень малы, аргумент функции К в (99.3) становится большим и мы можем воспользоваться формулой (99.5). В результате имеем — хч1 е — е, ~ил )(чжС~/ — х' е 2г 1 25!П вЂ” ~ Г 1 —,— 2Х ~ ( 2Х ! 1 Последнее выражение представляет собой линейную функцию переменной х, и его можно записать в виде )(„(х) = А (1 — — ), (99.7) Функция )(„, очевидно, удовлетворяет граничному условию )(,(0) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
