Том 1 (1129330), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пеякжиркоя линия настроена на основании первого варнавского при. блкжевия. Ревонансы )максимумы амплитуды) отмечены кружкамн, минимумы аминя. туды — крести«амн. заметно отличается от наклона фазовой кривой в случае рассеяния на жесткой сфере. Это является характерной особенностью квантовой механики, согласно которой частицы могут проникать внутрь потенциальной сферы даже тогда, когда их энергия не превышает порогового значения, причем глубина проникновения зависит от высоты потенциального барьера. В классической механике, где такое проникновение попросту невозможно, высота потенциального барьера не может сказаться на рассеянии частиц, энергия которых меньше пороговой. Если энергия Е (или параметр М), увеличиваясь, начинает превышать высоту потенциального барьера, то фазовая кривая 2 сначала достигает минимума, а затем начинает приближаться к нулю, имея при этом отчетливо выраженный ступенчатый характер.
В предельном случае очень больших энергий (М- оо), разумеется, снова Ь, = О, так как при Е ) ))го потенциальный барьер не является для частиц существенным препятствием. Причину ступенчатого характера фазовой кривой можно понять, вычислив по формуле (84.5) амплитуду А' волновой функции во 230 П. Задачи без учета саина. Г. Сферичеаси симметричные аотенаиальг внутренней области. Для случая Кеес=4 результаты этих расчетов показаны на фиг. 44, а.
Мы видим, что имеются такие значения н)с, т. е. такие длины волн стационарного пучка частиц, на которых происходит возбуждение колебаний внутренней части потенциальной сферы и возникают максимумы амплитуды А'. Следовательно, существуют такие полосы частот, при йб ~ 4о" Ге и ~йг йг гл 40 б -у Ф и г. 44. а — амплитуда А' волновой функции внутри области, занятой барьером (КеГт=4), в знвисимости от энергии. Кривая имеет резонансный характер. б †логарифмическ производная волновой функции ке. Сянгуяярноств соответствуют ревонавсным вначенням энергии.
которых колебания внутренней области попадают в резонанс с колебаниями, воздействующими на нее извне. Между каждой парой резонансов имеются минимумы амплитуды А', где А'=-=1; это происходит всякий раз, когда сози'0=0 или к'Я=(п+'/,) и. Каждому такому минимуму амплитуды соответствует нуль логарифмической производной Е, (она показана на фиг. 44, б), поэтому при г= )с волновая функция имеет горизонтальную касательную и одну и ту же амплитуду внутри и вне рассеивающей сферы.
Между этими значениями энергии вблизи точек и'гс=лп, т. е. вблизи сингучярностей величины Ь„располагаются резонансные энергии. В самих же этих точках. волновая функция при г=Л обращается в нуль, но ее касательная при переходе через точку г=-Я не меняет своего наклона, благодаря чему амплитуда во внутренней области с ее более высокими зиа- бб. Уогселниа ма сфелически симметричном барьере от параметра мЯ. Результаты этих расчетов представлены на фиг, 45.
В ниэкоэнергетическом пределе, когда угЯ вЂ . О, фаза цбб цаб цоб йог аш Об бл о Ог о дг а г 4 б в тб гг ьх Фнг. 45. Зависимость сечения з-рассепннп о, от М (в двух различных масштабах). Внладсм выеепэх эначеннй момента ! можно пренебречь толвно прн йй (( Ь Резонансный максимум вблизи Вя=а в вкспернменте будет выражен пс втой прнчнне менее атчетлнво.
б„согласно равенству (84.б), становится малой величиной, так что в формуле (84.7) з!и б, можно заменить его аргументом: о, (О) = 4па,', а, = Я ~1 — " ) . (84,8) Ксэт / Величина а„определенная равенством (84.8), называется длиной рассеяния потенциала. Для нашего числового примера а,= 0,75)7.
(О роли длины рассеяния см. задачу 88.) По мере роста энергии на виде кривой сечения рассеяния начинают сказываться резонансы, но в нашем примере только первый из них, расположенный вблизи м)7=5,1, приводит к отчетливо выраженному эффекту, Высшие резонансы почти не заметны на кривой сечения рассеянии. Экспериментальная ситуация в этом отношении еще менее благоприятна, так как здесь приходится иметь дело со все возрастающими вкладами в сечение а от волн с 1~0. Таким образом, кривая сечения рассеяния содержит не очень много информации. чениями длин волн достигает наибольшего возможного значения. Далее, мы знаем общую закономерность всех резонансных явлений — при прохождении через резонанс фаза (в идеальном случае) скачком изменяется на и.
Этой закономерностью и объясняется резкий рост фазы между точками, соответствующими минимумам амплитуды (на кривой 2 фиг. 43 они отмечены крестиками, а резонансы — кружками). Зная фазовую кривую, нетрудно рассчитать зависимость парцнального сечения рассеяния а,=- —, з!пеб, (84.7) 232 П. Задачи без учета слила. Г. Сферически симметричны потенциалы 2т ! Г Ье —— — хь" ' й ) з)пзйгр(г)дг, е откуда для частного вида потенциала, рассматривавшегося выше, получаем Я Кз у~2 бз= — — е ~ з)пэйгдг = — — е (2М вЂ” з)п 2М).
е — ), 4й' о Рассчитанная по этой формуле фаза рассеяния показана на фиг. 43 пунктирной линией. Для представленной там энергетической области значения фазы рассеяния еше довольно велики, поэтому от борновского приближения не следует ожидать результатов, удовлетворительных в количественном отношении. Замечательно уже то, что даже для этих энергий борковская формула, если отвлечься от смешения резонансов, правильно передает ход фазозой кривой, включая ее ступенеобразиый характер; последнее, конечно, обьясняется наличием члена с синусом в формуле (84.9).
(84.9) Задача 85. Аномальное рассеяние Изменим потенциал предыдущей задачи таким образом, чтобы центр сферы был окружен потенциальной ямой: ~ — К'„0(г < г„ 2тр (г) О, й(г. Вычислить изменение фазы б„определенной в предыдущей задаче, и проанализировать случай Кз)4=4 (прежнее значение), К,г, = 1,5 и гт = т/,)т'. Решение. Рассматриваемый потенциал схематически изображен на фиг. 46. Введем обозначения х'= К,'— й', Кз =К;+Аз, (85.
2) смысл которых для энергий, не превышающих порогового значения (й'< К'„х — действительная величина), разъяснен на той же фигуре, В этих обозначениях радиальная волновая функция )(е(г) записывается в виде В 81п Кг, 0(г <г„ д, (г) = А (зй хг+ у с)т хг), г, ( г ( Р, (85.8) 3!п(лг+8,), г))с. Для энергий, превышающих пороговое значение, величина х будет чисто мнимой, х = гх' (х' — действительная величина), Замечание.
Каким образом фаза рассеяния Ьз стремится к нулю при очень больших энергиях, можно выяснить, воспользовавшись первым борновским приближением (см. задачу !Об). При ! О имеем ао. Аномальное рассеяние 238 однако формулы (85.2) и (85.3) после указанной формальной зал~ены можно использовать и в этом случае. Рассматриваемая задача отличается от предыдущей наличием дополнительного граничного условия при г=-г,. Следовательно, при г,=О она точно переходит в задачу, рассмотренную ранее: формально в этом можно убедиться, положив в формуле (85.3) 7=0. Ф и г.
48. Рассеивающий потенциал задачи 88. Теперь в нашем распоряжении имеется два условия непрерывности логарифмической производной функции (85.3): одно в точке г = г„ другое в точке г = )с. Зги условия гласят: О ( 1) =Кгтс~акгт — — ягт 18 (85.4а) пхгь+т У.а(Р)=хЯ „к =Мс(8(И~-(-6,). (85.4б) Из соотношения (85.4а) мы находим величину у, х — 1я Кг,— Ш кгт у К (85.5) к 1- — 1а Кг, 18 кг, К а затем из условия (85.4б) — величину 6„ 6 = — М+агс18 а ха+у 1 ь 1 к 1+т18хй~' (85.8) Выражение (85.5) показывает, что при г„= О, действительно, 7=0, на что мы уже обращали внимание выше, С точки зрения числовых расчетов выражение (85.5) для у удобнее сразу же подставить в формулу (85.5).
Такая подстановка после элемен- тарных преобразований дает с,К., Ш х (1т — гД+хг,— 6, = — М -1- ага(8 — ° ' . (85.7) 1+ кг, — ' Ш к (тс — г,) Кг, Зависимость фазы рассеяния б„вычисленной по формуле (85.7) для значений параметров К„гт = 1,5, Ка ()с — г,) 2, 234 11 Задачи без учета спина. Г. Сферичегни симмесчричные носченциалы КеЯ=4, от йгча показана на фиг. 47.
Там же для сравнения изображены результаты, полученные в предыдущей задаче (кривая 6,), и результаты для случая рассеяния на жесткой сфере радиуса ах (прямая линия). Между кривыми б, и б, мы не видим существенного различия при энергиях, меньших ЙЯ = 2, 04 ог 0 -02 -ОМ -00 -ов -1 4 0 1 г г 4 г ы 7 йг — м. Фиг, 47. зависимость фазы йа от 012 для случая 1=0 при аномальном рассеянии, которое вызвано потенциальной ямой внутри рассеивающей сферы.
Дла саавненна пРиведена Фаза Рассеанна аа в отсУтствне потенцнальнаа Ямы, опРеделенная в предыдумеа задаче. Прямая линяя йолучена для рассеянна на жесткое сФере. Из этого можно сделать вывод, что волна не проникает глубоко внутрь рассеивающей сферы и поэтому потенциальная яма, окружающая ее центр, не оказывает заметного влияния на характер рассеяния. Однако положение дел в корне меняется в интервале энергий 3 < яЯ < 6, где поведение фазовых кривых носит существенно различный характер. Резкий подъем кривой б, в окрестности точки 72)4=-3 указывает на наличие резонанса при этой энергии.
Следующие рассуждения позволяют понять причину аномального поведения фазовой кривой б,. Предположим, что значение гг бесконечно велико. В этом случае мы имели бы дело просто с потенциальной ямой глубиной Д а + 7(оо в которой были бы принадлежащие связанным состояниям знер- Вб, Рассеяние на Резонансных рргммях гетические уровни, определяемые уравнением 1цК.,= —, К )'К вЂ” К В рассматриваемом числовом примере этому уравнению удовлетворяет значение Кг, =2,125, которому, если вернуться к первоначальной величине )с, будет соответствовать значение М = 3,14, т.
е. как раз точка фазовой кривой на фиг. 47, указывающая на наличие резонансного уровня. Задача 86. Рассеяние на резонансных уровнях С'1ерическая полость радиуса )с окружена тонкой потенциальной стенкой, непроницаемость которой характеризуется безразмерным коэффициентом ьа, так что потенциал имеет внд )7 (г) = ,2 о б (г — )с). йэ (86.1) Исследовать расссяние парцнальной волны с 1=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
