Том 1 (1129330), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Только в пределе больших квантовых чисел ! можно дать классическую интерпретацию отдельной пррциальной волне. Дело в том, что высоние сферические гармоники быстро осниллируют, поэтому усреднение даже ио небольшому интервалу углов приводит к выпадению интерференциониых членов. Замечание 2, Для т=о проекция момента количества движения на ось г равна нулю, Ь,=О, две другие проекции. й„ и ую ие имеют определенного значения. Это йаходит отражение и в классической картине, когда пучок па. дающих частиц расслаивают на тонкие пилнндрические слои радиуса р.
Для каждого такого слоя, имеющего ось г в качестве оси симметрии, величина ь имеет определенное значение (и=тор), но при этом все еше допустимы всевозможные способы разбиения вектора ь иа компоненты !а и йю Бесхитростное ивантование, ь Л1, прнводит к соотношению Гс! Х р — =! —, то 2п' 82. Разложение амплижуды рассеяния па парииальным волнам 223 Зама»ание 8.
Пусть плоская волна распространяется не в направлении осв а, а в направлении вектора а со сферическими углами т» и П». Если посредством б' обозначить угол между векторами а и г, то в соответствии с форл»улой (81.13) будем иметь »' у ГТ~(~~~»й»»гс,»»». 1 — йг 2м »=в Применяя к этому выражени»о теорему сложения сферичесиик гармоник 2!+ 1 4 1».в(б)= ~» Уст(ет. б»)» им(б, Ф), (81.15) м=-! получаем разложение более общего вида и е'"'= — „~~»' ~~»' 1'й(дг)У7,ы(6, б»)уды(б. Ф) (8!.16) Задача 82. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам Пусть внутри сферы радиуса )с имеется потенциал (г (г) и пусть вне этой сферы потенциал равен нулю. В этом потенциальном поле рассеивается пучок частиц, описываемый плоской волной, Воспользовавшись разложением в ряд по парциальным волнам, вычислить амплитуду рассеяния и выразить ее затем через значения логарифмических производных парциальных волн на сфере г = )т.
Решение. В области г < )с волновую функцию можно записать в виде и= — ~~ Р(21+1)К,(й, г) Р,(созО), (82,1) где Кг" + 1Г(еа —, — — „)г(г)1 К, =- О, К,(0) = О. (82.2) Г (О+1) 2га Граничные условия определяют функции К, с точностью до постоянной амплитуды, но логарифмические производные, ' =(й'-'),, (82.3) от этой постоянной амплитуды не зависят. Ниже предполагается, что величины Сг известны. Вне сферы г=)с можно написать ы и = — ~~»' 1' (21+ 1) ~/г(йг)+ — ссгйн' (Иг)) Р, (соз О). (82А) » а 224 П.
Задачи без учета саима. Г. Сферичееии симметричные аотеициаеи Если бы все а,==О, это выражение совпадало бы с разложением плоской волны из задачи 81; члены, пропорциональные сферическим функциям Ханкеля первого рода, соответствуют наличию дополнительных расходящихся сферических волн, Действительно, 6) и (Аг) =- (, (лг) +!п, (лг) е' " не'е'. (82.5а) Вспомнив далее асимптотическое поведение функций (, ) (Ь) з(п Ь.— — '~, !ах 2 (82. 5б) находим, что на больших расстояниях разложение (82.4) для и ведет себя как и 2,.а ~~' (21+1) 1(1+а,) ееэи — ( — 1)'е ™) Р,(созб). (82.6) е=о Основываясь на законе сохранения числа частиц при упругом рассеянии, можно заключить, что квадраты модулей амплитуд сходящихся и расходящихся волн должны совпадать, а именно ~ 1+ «е!' =-1.
(82.7) где величины би как очевидно, представляют собой аснмптотический сдвиг фаз решения уравнения (82.2) по отношению к решению (82.55) уравнения Шредингера для свободного движения. Лмплиепуда рассеяния ) (б) связана с рассеянной волной и, соотношением ееее — еее* г (б) поэтому 1 (чт) = 2 у ~' (21+ 1) и, Р, (соз и), (82.11а) е=о С учетом равенства (82.8) эту формулу можно записать несколько иначе: ( (б) =- —, ~~~' (21+!) (е*еое — 1) Р, (сов 6). (82.11б) е о Другими словами, должно выполняться равенство м еееое (82.8) с учетом которого разложение (82.5) можно записать в более компактной форме и — — ~" (21+ 1) ('емез(п ()ег — — + бе) Р, (сов б), (82.9) е=о Ю.
Рассеяние ари нивких внереиях 225 Теперь нам осталось выразить коэффициенты ас через логарифмические производные Е„определенные посредством формулы (82.3). Последняя задача решается с помощью условий непрерывности функций )(с и с()(е/с(г на поверхности сферы в= К, Мы имеем Здесь штрих означает производную не по г, а по )ег.
Деля второе из приведенных соотношений на первое, имеем +2 7и = х,, х= М, (82, 12а) )с (х)+ — сс!)ес (х) 2 и отсюда находим Ее)е (х) — х(е (х) а =— (на("(х) — хьео (х) (82.12б) Разумеется, полученное выражение опять удовлетворяет закону сохранения числа частиц (82.7). В этом нетрудно убедиться, введя сферические функции Ханкеля второго рода и исключив функции /,(х) с помощью соотношения )с(Х)= 2 (Ь! '(Х)+Ь) (х)3 (82. 13) если учесть, что при действительных значениях аргумента функции л)е'(х) комплексно сопряжены с функциями й',о (х).
Действительно, в соотношении 1 + е еь) ~(х) ха)и (х) (82.14) ~А" (х) — ")и'" (х) числитель дроби комплексно сопряжен с ее знаменателем, поэтому 11+а,~ = 1 в полном согласии с равенством (82.7). Задача 83. Рассеяние при низких энергиях В М 1Обб Разложение амплитуды рассеяния по сферическим гармоникам сходится тем лучше, чем меньше параметр х = )б)с. Убедиться в справедливости этого утверждения прямым вычислением коэф. фицнентов ссс при х (( 1 и получить разложение коэффициентов а„ и сб, по степенЯм х, считаЯ, что коэффициент ае мал н им можно пренебречь. 22б Л. Задачи бее ичета спина, Г. Гферичссхи симметричные аатеняиаеы Решение.
Мы начнем с формулы (82.12б) предыдущей задачи: 1 е1е (х) — х1! (х) (83. 1) (.е1е)о (х) — ха !~! (х) Воспользуемся определениями 11,'о (х) = 1! (х) + !а, (х), )!!ее! (х) =1, (х) — еп, (х) (83.2а) и заменим сферические функции Ханкеля функциями 1, и и„ для которых степенные разложения имеют вид ' =Ах+" 1— х' 2 (21+ 3) + 8 (21+ 3) (21+ 5) ' (83.2б) [ + 2 (21 — 1) + З (21 — 1) (21 — 3) ' ' ' ~ ' где (83.2в) Если х(( 1, то достаточно учесть только первыц член каждого ряда. В этом случае имеем 1! (< ~ п! 1 и Йен ж !пе, следовательно ~4! — х1! = (1 1 — 1 — 1) Аех"', К ((.1)ееп' — хйе!еп) ж — 1 (1,! -(- 1) В,х ', поэтому из формулы (83.1) с учетом соотношений (83.2в) вытекает 2е1! В этой формуле сохранен лишь основной член, а все более вы- сокие степени х отброшены.
Как мы знаем, для амплитуды рассеяния имеет место разло- жение ~ (6) = —., ~~ (21+ 1) иеРе (сов()). (83.4) е=о При х(с1 этот ряд очень хорошо сходится, так как в силу формулы (83.3) (21+3) аеч, ! 1еч,— (1+3) се+! (21+ !)а! (21+ !)' Це+, + (! + 1) Де — (1+ 1! Если характер сходимости ряда (83.4) позволяет пренебречь членом с 1 = 2, то, согласно равенству (83.3), это эквивалентно тому, что в амплитуде рассеяния мы пренебрегаем членами с х' и более высокими степенями х.
В этом случае с помощью рядов (83.2б) удается получить разложение коэффициентов, сс, н а, с точностью до х' включительно. Однако тот же самый результат можно получить значительно проще, рассмотрев непосредственно функции 84. Рассеяние на сферичесхи симмегаричном барьере йо' (х) = — (ес", Ь',о (х) =- — (1+ — ) егх (83.5а) х~ и л,'"(к) =л)и" (х) для действительных х. (83.5б) Если вместо равенства (83.1) воспользоваться эквивалентным ему равенством (82.14) предыдущей задачи, 1 + ьсье ( ) — 1и (х) (83.6) 1чйе ' (х) — хйгп (х) то для интересующих нас коэффициентов получатся следующие точные выражения: 1+с,,-оы +' 'о (83.7а) 1- 1х/4-о 1+ ом!+1х — хо/(Ь,+1) 1 — их — хо! (Ь, + 1) ' Разлагая эти выражения в ряд и ограничиваясь требуемой степенью точности, находим 2.
Е,— 2 сс = — — )х' ° ' 1 3 4~+1 (83.8б) Задача 84. Рассеяние на сфернчески симметричном прямоугольном потенциальном барьере Дан потенциал В=1', ) 0 при г < )т и )г=О при г > )4. Для случая 1=0 найти зависимость фазы рассеяния 6, и парциального сечения о, от энергии падающих частиц. Решение. Вводя обозначения (84.!) можно записать радиальную волновую функцию )(,(г) при 1=0 следующим образом: В разложении коэффициента а, член, пропорциональный х', отсутствует. В том случае, когда член с 1= 1 начинает только- только сказываться, мы должны для получения достаточной сте.
пени точности удерживать в разложении (83.8а) три или даже четыре члена, в связи с этим часто оказывается проще вместо формулы (83.8а) пользоваться точным соотношением (83,7а). 228 П. Задачи бее учета спина. Г. Сферичесни симиетричньее потенциалы ео д (84.8) можно получить двумя способами, беря для волновой функции выражения, соответственно справедливые либо в области г < (с, либо в области г > Й.
Таким образом, имеем ~, = М сто(М+бе) =-кР сй клч, Е ( У„(84.4а) 1., = астр(йй+ 6„) = к'Я стн к'й, Е > Уо. (84,46) Только в случае Е > У„решение во внутренней области оказывается периодическим н выражение для амплитуды А' представляет интерес: е (84.5) Бепо х Р+ — саоо х ес но Прежде всего обсудим полученные формулы для предельно низких энергий. Когда й- О, величину к следует заменить величиной К,. Кроме того, чтобы величина Ео была конечной, аргумент котангенса в правой части равенства (84.4а) должен стремиться к нулю как й. Таким образом, в этом предельном случае равенство (84.4а) принимает вид УГч+ о и, следовательно, 6 и)( ( 'ьнон () (84.6) Если высота потенциального барьера У, очень велика (т.
е. Ко в аа, жесткая сфера), то при всех энергиях мы можем пре- если энергия Е меньше порогового значения Ут то )' А зп кг, г < Р, ) з1п(Ь+6,), г>Я, если же энергия Е выше порогового значения Ут то ( А'зшк'г, г( Р, (84. 26) в последнем случае величина к оказывается чисто мнимой: к=си'. У волновой функции вне сферы нормировка во всех случаях одинакова, поэтому амплитуды А и А' характеризуют степень возбуждения области, заключенной внутри сферы.
Заме- тим, что приведенные выше выражения уже написаны с учетом граничного условия. Непрерывность функций у, и т,' в точке г = сс предполагает непрерывность логарифмической производной, значение которой при г= Л, т. е. 229 64. Рассеяние ни сферически симмен)ричном барьере небРечь величиной й' по сРавнению с Квв, поэтомУ соотношение и=К, и равенство (84.6) будут иметь место для всех энергий.
Это означает, что величина фазы б, растет линейно с ростом параметра М, как показано на фиг. 43 (прямая линия 1). Кривая 2 на этой же фигуре рассчитана по формулам (84.4а) и (84,4б) для численного значения параметра К,)4= 4. Мы видим, что даже на начальном участке, т. е. вблизи йЯ=О, наклон фазовой кривой для потенциального барьера конечной высоты "йу ао -с5 1 Х 6 4 Лоха 6 1 6 д 1О М Ф и г. 43, Зависимость фазы ба от йк, ПВЧМОЯ ЛИИН» 1 СаатнстСтВУЕт СЛУЧаЮ жсетиаи СФЕРЫ 1Кча=ю); «РиеаЯ 2 ПаетРОЕна ДНЯ случая Кап= 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
