Том 1 (1129330), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Начиная со значений х=! и выше становится существенным вклад волны с 1= 1, а со значений х= 2 — и волны с ! =2. На кривых парцнальных сечений для 1=-0 и 1=! заметны небольшие резонансные пики (фиг. 50, б), однако на плавно меняющейся суммарной кривой о=о„+а,+о, они проявляются лишь в виде небольших возвышений. (Резкий спад этой кривой справа от точки х=4 обманчив: на самом деле здесь уже велик вклад от неучтенной нами волны с 1=-3.) Задача 88. Приближение, не зависящее от формы потенциала Показать, что при низких энергиях имеет место разложение в ряд по степеням ал, начало которого имеет вид 1, 1 й с!й б, = — — -1- — гаА, где длина рассеяния а и эффективный радиус г,— единственные параметры, зависящие от потенциала.
Из сушествоваиия подобного разложения следует, что в области энергий, достаточно низких, чтобы можно было ограничиться двумя первыми членами (т. е. там, где еше не наблюдаются эффекты, связанные с 1=!), любая экспериментальная кривая о (Е) содержкт информацию, достаточную лишь для определения двух констант. Это означает, что таким путем нельзя определить фзгму потенциала.
Последнее обстоятельство особенно важно в ядерной физике низких энергий, где опо является одной из причин нашего незнания количественных законов для ядерных сил. Решение. В этой низкознергетическои области мы будем иметь дело только со случаем ! = О. Обозначим посредством )( (г) радиальную волновую функцию состояния с энергией Ьй'!2т, а посредством )(а(г) †волнов функцию состояния с нулевой энергией. Эти две функции подчиняются дифференциальным уравнениям 1( — У(г)1( =О (88.1а) )(й+1йа — У(гЦ ун =О, (88.1б) где (у (г) = йт р (г), а также граничным условиям 2,(о) = о, х, (о) = о. (88,2) Поведение этих функций в области г ) Я„где потенциал считается равным нулю, определяется формулами )(а = С (г — а), у„= з!и (йг+ б,), (88.3) причем постоянная а может быть любого знака.
242 П. Задачи без учета спина. Г. Сферически сиииетричные потенциала Умножая уравнение (88.!а) иа Х„, а уравнение (88.1б) иа хо и вычитая одио из другого, получаем Хохо Хохо = й Х,хо. Проинтегрируем это уравнение от О до г и воспользуемся условиями (88.2): Х (г) Хо(г) Х (г) Х»(г) й'~Хохойг о или Х Ход/ Хо Хо ~о 0 — — — =и Хо ХО Хо (с) ХО (с) Если в качестве верхнего предела интегрирования взять какое- либо значение радиуса )с > )г„то в левой части последнего равенства мы сможем воспользоваться выражениями (88.3) и в результате получим и Х (с) Хо( ) д' — й с1и (й)с+ бо) =-А" ( . (88.4) Хо (~) Хо Я) Теперь мы можем заменить здесь котаигеис суммы по формуле с(а(йК+Ь,) =, о Д В результате уравнение (88.4) превратится в линейное уравиеиие относительно с1пб„и его решение будет иметь вид (88.5) ( — ()— (аул ' и где Хо (с) Хо (с) "с (1,, о — Х ((с) Х Ф) (88.8) До сих пор мы ие делали никаких приближений.
Разложим теперь наши выражения в ряды по степеням й'. Для этого сначала заменим тангенс его разложением: йс188„= )+, +"' ! — я)1 — — яде~10+... 3 а затем заменим величину Я, определяемую формулой (88.6), более простым выражением: (88. 7) аа. Приближение, ие зависящее оиз фориоз пвтеиииала 243 где (88.9) или '.П ='-.— ' (88. 12) поэтому, подставляя (88.12) в уравнение (88.11), сразу же получаем — ( — г,) =О, каково бы ни было значение )с, лишь бы оно превосходило Ро. Следовательно, постоянная г, не зависит от выбора )с.
Чтобы ответить на второй вопрос, предположим, что )г >(а(, тогда первый член в правой части (88.10) будет положительным, второй же член в силу неравенства 2(' > 0 — отрицательным. Таким образом, эффективный радиус будет положительной вели- чиной, если первый член рассматриваемого выражения больше я ) Х.з(е) ае 0 Хо (и) (88.8) В результате этих преобразований в числителе н знаменателе дроби (88.5) получаются выражения, верные с точностью до членов Й' включительно, так что после соответствующей перегруппировки мы приходим к формуле искомого вида: А С(8 бо —— + 2 Гол з где эффективный радиус определяется соотношением ! я а)з + аз Г я а ,з (88.10) Нам осталось разобраться в двух вопросах. 1.
Величина )4, удовлетворяющая неравенству )с > )з'„ в остальном совершенно произвольна, поэтому необходимо убедиться, что эффективный радиус (88.10) от нее не зависит. 2. Если величина г, действительно имеет смысл эффективного радиуса, то следует проверить, всегда ли эта постоянная должна быть положительной. В первый вопрос легко внести ясность, рассмотрев изменение выражения (88.!0) при переходе от )з к й+е(К. Мы имеем ив ( 2 'о) = ( ) г ( ') — 2ЗЬ аз (88.11) Из определения (88.81 следует (, +„, ) оя (П) Хо(П)-(-Хо'(П) и ок (Р~+ П ХОЯ)+ 2ХО (И) Хо (Й) сЯ 1+ Я вЂ” а 244 !д Задачи без учета спина, Г. Сферически силметричньы потенциала второго, т. е (я — а)э+аз УС"- З(д-а)* .
Зто неравенство эквивалентно условию ~)[',(г)с(г ( ~~С(г — а)1эс[ = — Сэ(()с — а)'+аз), о о в чем нетрудно убедиться с помощью определения (88.8). В случае а < О (фиг. 51, а) справедливость нашего неравенства следует а у асд Фиг. б!. Волновая функция ул(г) состояния с нулевой энергией иееасимптотнческое поведение при различных знаках длины рассеяния а а1 а с о; б> а > о. из того, что график функции )[, всюду располагается под прямой С(г — а).
Оно справедливо и в случае а > О (фиг. 51, б), если только точка г 4 а распололсена не слишком далеко от нуля функции )[,(г). Замечание. С помощью равенства л [С [г — а)]э дг= — Сэ ((!г — а)э+аз) 1 3 о формулу для эффективного радиуса [Яо.!0) можно привести к виду гч ~((! а) эСэХе[г)~дг о Обычно в литературе используют такую нормировну, при которой асил~птотически уэ 1 — гга и, следовательно, С= — 1/а. Кроме того, в рассьютрение вводат Разность этой асимптотнки и фУнкции 1!э г Ч' [г) =1 — — — Хэ [г) а что позволяет записать формулу для эффективного радиуса в виде т ф(э[2(~ —.')-,К))чы.
89. Рассеяние на се>еричесни симметричной прямоусольной ялм 245 В качестве верхнего предела интегрирования здесь взята бесконечность, но функция Ч>(г), конечно, равна нулю правее точки г= йо. Задача 89. Низкоэнергетическое рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме Исследовать низкоэнергетическое разложение й с(п б, = — — + — г,й' 1 1 (89.1) в случае сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса гс и глубины 1'о —— й'Ко/2гп (фиг. 52): а) получить формулу (89.1) я непосредственно из граничных условий при г =-)т; б) использовать общую формулу для г„полученную в преды- ,' Л' дущей задаче, применительно к потенциалу рассматриваемого частного вила.
Ф и т. 52. Потенциальная яма с обозначениями, используеммми в тексте. Общий множитель Зтлм ие уиозои. Решение. Для заданного потенциала имеем, если г с. )с, ~й = Ай згп Кг уо =- Ао з1п Кот (89. 2) и, если г) Я, )(н = з1 п (нг + б,), >(, = С (г — а). (89.3) Логарифмическая производная л,, волновой функции состояния с нулевой энергией в точке г =-)с будет равна а.
Запишем логарифмическую производную функции в точке г=)с: Ея=КЯ с1пКИ =-йй с1п(М+6,). (89.5) Так как с1и Ьо — 1п ЯР с(8 (й)с+ 6.) =1 + с ' й 1 л..., то, решая это уравнение относительно с(пб„получаем 1-я+ЛР 1к И с1п 6,= (89.6) Разложение в ряд по степеням я проще всего сделать в два этапа. Сначала, воспользовавшись тем, что яй((1, разложим 90. Рассеяние и связанные соссяояния 247 Теперь нам осталось с помощью равенства (89.4) записать окончательное выражение для длины рассеяния.
Оно имеет вид а=)г(1 — — в — "). (89. 14) Формулы (89.13) и (89.14) совместно с равенством (89.1) дают полное решение нашей задачи, б. Общий метод предыдущей задачи не дает никакого иного пути определения длины рассеяния, кроме пути, основанного на использовании равенства (89.4), что приводит непосредственно к формуле (89.14).
Однако для вычисления эффективного радиуса уже нет необходимости вводить )(з или Т.я, если мы с самого начала пользуемся общим выражением (88.10), которое в обозначениях (89.11) принимает вид ((! и)в !, з (), )з) (89.15) где я ) Хз (с) ас о з Хз (й) Постоянная 9(' получается элементарным интегрированием, если учесть, что функция уз(г) в нашем случае определяется равенством (89.2).
Мы имеем Ю= ., (Х,— зшХ,созХ,)= — (1 — — +с1д Х,), ~в и так как (д Х, = Х, (1 — а), то выражение для УС можно преобразовать к виду М= — )4( 1+ 2 ( Х (! — )Ч' Подставляя выражение (89.16) в (89.15), легко получаем для эффективного радиуса формулу (89.13).
Исследовать поведение функции стд б, в окрестности точки и= 0 на комплексной плоскости А. Рассмотреть вопрос о существовании связанного состояния (й' < О) в той области значений й, где еще можно пользоваться разложением для стп 8,. Решение. Если для малых значений й существует разложение вида ! ! /г с!и б, = — — + — г (с'+ 2 в (90,1) Задача 90. Низкоэнергетическое рассеяние и связанные состояния 248 !Д Задачи Веч учета спина. Г. Сферически симметричные потенциалы то сто 6, будет аналитической функцией комплексной переменной й с полюсом в точке н=О. Связанным состояниям отвечают значения переменной и, лежащие на положительной мнимой полуоси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
