Том 1 (1129330), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Положим й (х, (90,2) где х — действительная и положительная величина. Подставляя выражение для 1е в формулу (90.1), получаем сгиб, — с( — + —.хг, ), (90.3) 1 1 т. е. стц6, на мнимой оси становится чисто мнимой величиной. Мы знаем, что фаза рассеяния б„играет важную физическую роль по той причине, что асимптотика радиальной волновой функции в-состояния имеет вид Хе С з!п (Аг+ бе) Основываясь на аналитичности функции у„мы можем для отрицательных энергий с учетом соотношения (90.3) написать (емче-ие е- рм еи ) С о ос' Функция с таким поведением будет волновой функцией связанного состояния только в том случае, если при х > 0 будет выполняться равенство е-ме = 0 (90.4) так как только при таком условии функция 11е будет иормируема. Условие (90.4) можно записать по-иному: сов 6 — (з1п 6 = О, или стц 6е =1 (90.5) Подставляя равенство (90.5) в формулу (90,3), получаем (90.6) это соотношение связывает характеристическую величину х с параметрами рассеяния а и гт Этой связью можно воспользоваться двояким образом.
1. Определение энергии связи из данных по рассеянию. Предположим, что в соотношении (90.6) второе слагаемое в правой части играет роль малой поправки. В этом случае соотношение (90.6), рассматриваемое в качестве уравнения относительно х, имеет решение (90.7) ха=1+ —— 1 91. Дейтронный потенциал с жесткой серйцееиной и йее нее 249 поэтому энергия связанного состояния будет равна Е= хо= (1+ 0).
(90.8) 2т 2та'(, а )' Так как здесь фигурирует только х*, то необходимо подчеркнуть, что, согласно равенству (90.7), связанное состояние в рамках нашего приближения может существовать только при положи- тельных длинах рассеяния. 2. Определение сечения рассеяния по энергии связи. Данная задача не допускает столь полного решения, так как при этом требуется найти значение двух параметров, а в нашем распоря- жении имеется лишь один (энергия связи). Запишем выражение для сечения рассеяния о,= —,з!и* б,= —, 4я . 4я 1 (90.
9) !+с!К'оо и в том же приближении, в котором получено равенство (90.7), разрешим уравнение (90.6) относительно а; 1 а= — + — г. о Далее из формулы (90.1) следует 1 1 Х' 1 г, хо стн 6 =! + нг 1 —.. — — ж — (1 — хг ) — хг йа 2 о) йоао а йо о о и поэтому хо т 1+сто до = (1+ —,, ) (1 — хг,).
Таким образом, мы приходим к знаменитой формуле Бете — Пай. ерлса из ядерной физики: (90.10) Она справедлива при малых энергиях и условии хг, ~ 1, Литература ВеНи Н. А., Регег!е Д„ргос. Коу. нос., А148, 146 (!935). Задача 91. Дейтронный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее Используя условие существования связанного состояния стдб,=1, так подобрать глубину сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса Я (фиг. 53), чтобы у дейтрона было одно связанное состояние с энергией Ер —— = — 2,23МэВ.
Радиус ямы взять равным Я = 1,2 ферми (1 ферми=- =1О "см). Чему будет равна глубина потенциальной ямы, если вблизи центра имеется жесткая сердцевина радиуса а=0,2фермиг 250 П. Задами бев учета спина. Г. Сферичесни симметричные попюнциаль~ рещение. При положительных энергиях волновая функция, а-состояния, удовлетворяющая граничному условию )(, (а) = О, имеет вид )(, = С з)п К (г — а), а ( г ( )с, )(,=з)п (йг+6,), )с ( г; требование непрерывности логарифмической производной в точке г=)с дает Х стп 6 Х = х сгд (х+ бо), (91.!) У(г) г (91.2) Для связанного состояния с отрицательной энергией следует положить Й=(х, хььЦ, ~=-кЯ, (91.3) тогда энергия будет равна й' Еп= — — ь 2лтьгсз (91.4) где т* — приведенная масса пары нуклонов (т*=-т(2, см, задачу 150).
Вместо энергии Ео можно ввести характеристическую длину йг — — = 4,312 ферми, (91. 5а) ')' 2лье ! Еп1 и отсюда $ = — = 0,2783. (91.56) В задаче 90 мы показали, что для существования связанного состояния должно выполняться условие е-'б =О, или стп6,=1, то тогда, как очевидно, должно выполняться и условие Е-' ~Л+би = О, ИЛИ Стд (Х+ бь) =е (, поэтому равенство (91.1) дает Хстд~Х= — й. (91.6) Так как в правой части этого равенства стоит знак минус, то аргумент котангенса должен иметь значение в интервале между Ф и г. 53.
Гьейтроиный тюдельный иотеицивл с жесткой сердцевиной и бев нее. Вырезая жесткую сердцевину, мм должны сделать яму глубже, если намеренм сохранить знертию связи неизменной. где х=(с)с, Х = — К)т = )г Х,'+ ', Х,=-К,Р, йт — а й 9!.
Дейтронный нотенциал с жесткой сердцевиной и без нес 25! рХ = — + е, с1д рХ = — (о в, 2 (91.7) Нам нужно определить глубину потенциальной ямы, т. е. значение параметра Х,' в предположении, что величина 9 задана равенством (91.56). С этой пелью мы сначала вычислим величину е: подставим Х из (9!.7) в равенство (91.6) и произведем там разложение по степеням и и 9. В результате получим е= — 9(! — —,6+ ...) 2р / 4р (91.8) Подставив теперь полученное выражение в соотношение Хз Хз л еьз ~ л ( ! + 2а)1з+ьсз будем иметь 21 г 4т. 4 '+ +(, ')ь+'' (91 9) Обсудим полученный результат. Если жесткая сердцевина отсутствует, то (1= 1 и Х, должно быть чуть больше п72. Будь Х,=-п72, энергия связи была бы равна нулю (9=0), но так как связь несколько сильнее (9 > О), то и яма несколько глубже. При наличии жесткой сердцевины это предельное значение параметра Х, сдвигается и становится равным Х, =-и!2р > и!2: в этом случае, чтобы сохранить энергию связи неизменной, потенциальная яма должна быть глубже, чем в отсутствие жесткой сердцевины.
Для значения 9=0,278 мы в соответствии с формулой (9!.9) получаем з !ге !!а 2 467 О 557 Хе= ' ° — = — '. + — '+0,046+..., ) Ео! !а ра где !'„— глубина потенциальной ямы. Если жесткой сердцевины нет (6= !), то отсюда Х;=3,0?О и )ге=88,4 МэВ. При наличии жесткой сердцевины радиуса а=0,2 ферми (р=--0,8333) мы имеем Х,*=4,267 и !',=-122,9МэВ. На фиг. 53 оба потенциала изображены в соответствии с этими числовыми результатами.
и Это утверждение справедливо, если в потенциальной яме, как в случае дейтрона, имеется только одно связанное состояние. сын ямы с двумя связанными состояниями уравнение (9!.6) имело бы два корня и низшему знергетическому уровню соответствовал бы интервал н < рХ < 3/2 и, п72 и пт1. Если же принять во внимание, что величина 9 мала, то можно заключить, что оно довольно близко к п72. Таким образом, можно написать 252 11. Задачи без учета спина. Г. Сферически симметричньм потенциалы Задача 92. Ннзкознергетическое рассеяние при наличии жесткой сердцевины и без нее Для двух рассмотренных в предыдущей задаче дейтронных потенциалов рассчитать длину рассеяния и низкоэнергетический предел сечения рассеяния нейтронов на протонах.
Решение. Длина рассеяния и связана с предельным значением логарифмической производной при А — 0 в точке г=)7 соотношением (89.10), так что мы имеем )ч~з 1 г )зх (гс) (92. 1) = х() С другой стороны, согласно равенству (91.1), для рассматриваемых потенциалов должно быть 7., = Х, сто ()Х,. (92.2) Низкоэнергетический предел сечения рассеяния при-А — 0 равен сг (0) = 4па'. (92.3) Так как значения параметров Х, и (3, полученные в предыдущей задаче, согласуются с правильным значением энергии связи дейтрона, то для вычисления величин и и о(0) мы можем просто воспользоваться формулами (92.1) — (92.3). Результаты числовых расчетов таковы: 1. Потенциальная яма без жесткой сердцевины (8 =- 1, Х3 = 3,070): У.е= — 0,3214, а=4,934 ферми, о=-3,059 бари. 2. Потенциальная яма с жесткой сердцевиной (Д = 0,8333, Хч= 4 267): Ез= — 0,3135, а=5,028 ферми, о=3,177 бари.
Эти результаты представляют определенный интерес, так как они показывают, что при заданных значениях радиуса потенциальной ямы и энергии связи дейтрона наличие жесткой сердцевины очень незначительно, всего на 3,8оге, изменяет низкоэнергетическое сечение нейтрон-протонного рассеяния. Таким образом, эксперименты при низких энергиях практически не позволяют решить вопрос о существовании жесткой сердцевины в нуклон-нуклонных взаимодействиях, Следует отметить, что благодаря спинозой зависимости ядерных сил и большого вклада в рассеяние зЗ-состояния экспериментальное сеченФе рассеяния фактически составляет примерно 21 бари. Полученные иге нз нашей модели числовые результаты хорошо согласуются с данными по рассеянию в зЗ-состоянии.
УЗ, Рассеяние на модифицироеонном потенциале 253 Задача 93. Низкознергетическое рассеяние на модифицированном потенциале Пешля — Теллера Используя сферически симметричный потенциал 2 Ье йеае Л (Л вЂ” !) (93. 1) являющийся результатом обобщения потенциала задачи 39 на трехмерный случай, получить сечение рассеяния в пределе малых энергий (1=0).
Решение. Найденные в задаче 39 одномерные решения при 1=0 можно использовать и в трехмерном случае, следует лишь учесть, что дополнительному граничному условию уи (О) =-0 удовлетворяют только нечетные решения, поэтому ниже нам понадобятся лишь соотношения (39.126), (39.136) н второе из равенств (39.14).
С учетом упомянутых формул имеем у„(г) ойп (йг + 6,), -с — |п 2 =и Г (Ь2~сс) е Дальнейшая, по существу чисто математическая, задача состоит в том, чтобы придать выражению (93.3) вид, удобный для числового расчета. Введя обозначения я л 2и ' 2 — =Ч, — +щц-а (93.4) перепишем (93.3) в более компактной форме: 6,— — "=агй Г (2(д) — 24!и 2 — агй Г (г-+ — )+ ага Г (1 — г).
(93.5) Из хорошо известных тождеств Г (22) = — е" '" ' Г (г) Г 1 г +— Г(г) Г(1 — г) = —. Мине вытекают следующие соотношения для фаз: агдГ(22) = 21п2 1гп а+ай Г(г)+агпГ ( г+ — ~ 1 Л ага Г (г)+ ага Г (1 — г) = — агйз)п пг. 254 П Задачи без унета спина. Г. Сферинесни симметричные лотенаиали — агиз!п и! — + !4 ) ! или б,=- ~-агйГ(2!!7) — агд Г(Л+2!д)— — агс12 ~ с1д —.1й и!7). (93.6) лЛ 2' Для аргументов, фигурирующих в последнем выражении Г-функций, имеют место следующие представления: агу Г (Л+ 21д) =- 2д 1 — С+ е ( — — — агс1д — — ) ~ Лм (, л 2Ч Л-(дл — 1! агНГ(2!ег)=24( — С+~ ( — — — агс1и — --)1, (а 2д л — ! )!' поэтому их разность запишется в виде агд Г (2!д) — агй Г (Л+ 2ц) =- О 2д 24 — ! агс(д Л+л — 1 — — агс(д — ! =- -1(— Ф л т'! 2д ау! =агс1и — — + г сагс1н — — агс1д — !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
