Том 1 (1129330), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Штарк-эффект у пространственного ротатора Во втором порядке теории возмущений рассчитать штаркэффект у пространственного ротатора с электрическим дипольиым моментом р. Решение. Невозму1ценному уравнению Шредингера удовлетворяют сферические гармоники: е 7 е'г' Е,)', как это и должно быть согласно общей теории (см. формулу (76.11)). 216 П. Задачи без учета спина. Г, Сферичесни симметричные потенциалы причем для собственных значений имеет место формула йз( (1+1) (79.2) 26 Энергия возмущения при наличии произвольно направленного электрического поля Фо равна У = — р (~„з!и 6 соз ф + 8и з(п () 3 !и ф + 8 соз ()) . (79. 3) Чтобы определить матричные элементы энергии возмущения У, <1', т'(У(1, т>=9)Угб У(6, гр)У! г(й, (79.4) воспользуемся соотношениями" 3!пбе'еУ! =а, Угчт „— а,, „,У,, созбУ! =Ь, Уг, „+Ь,, „У,, „, где (! (- т+ 1) (! + т+ 2) а! = (2!+ !) (21+3) " См., например, Ве(не П.
А., Яа!ре!ег Е. Е. в книге: Епсус!арейа о1 РЬуа(сз, чо1. 35, зрмпдсг, нег!)п — Согппдеп — Нс!де!Ьегя, 1957, р. 432. (Имеется перевод: Бепм Г., Солпитер 3., Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгнз, 1960, стр. 542. — Прим. перез.) (1+ т + 1)( ! — т+ 1) (21+ 1) (21+ 3) (79.6) Если теперь учесть свойство ортонормированности сферических гармоник, то окажется, что для каждой данной пары квантовых чисел 1 и гл отличными от нуля будут следующие шесть матрич- ных элементов: 1 +" + ( (' 2(ыч тя)~ <1 — 1, т+ ! !У(1, т>=+ — (Ф.„— 1Е„) ра,, <1+1, т — 1~У!1, т>=+ 2 Ы.+~В„) рао „, <1 — ! — ! (У(1 т>= — 2 (т +18„) р <1+1, т!У/1„т>=- — 4',рЬ! <1 — 1, т!У/1, т>= — 4'грЬ! г Среди них нет ни одного диагонального матричного элемента (1=1').
Это означает, что поправка первого порядка теории воз- мущений равна нулю: Л,Ее=<1, т)У)1, т>=0, (79.8) т. е. в рассматриваемом случае линейный эффект Штарка отсут- ствует. Это же утверждение сохраняет силу и для матричных 80. Интерференция падающей и рассеянной воли 217 ч ч 1<!', т' ( у !1, т>)е 2 Ь и Е! — Ер (79.9) В этой сумме, согласно (79.7), содержатся шесть слагаемых, а их знаменатели находятся с помощью формулы (79.2), поэтому тйю 1 а1, т , а!, 2 л в ~а~!,т=Р ь ~4 Ял+8и) 1! !б ! 1) (! ! 'ц(! ! 2)+ г 2 + и! Ь-т-тти~ Ьт-~~+ 1(!+ — (! — ц ! Ь1,„ Ь! т,т + ф1 ~! (!+ ц — (!+1) (!+2)+ ! (!+1) — (! — 1) Д ~ .
(79.10) Подставляя в последнее выражение значения коэффициентов а, и Ь! из (79.6), мы окончательно получаем р'6 2 а т, !(!<и ц — Зт' ~~еЕ!, — 2й,е ( ю''в — ю. — юи) (2!+з) (2! ц 1(!+ ц. (79.!1) Найденная формула не применима к случаю (=О. Зто нетрудно понять, если принять во внимание, что в состоянии У,, нет никакого выделенного направления, поэтому возмущение должно быть просто пропорционально б".*. Вычисления, аналогичные выполненным выше, показывают, что в этом случае из шести матричных элементов (79.7) отличны от нуля только три матричных элемента <1, т'1 У ! О, О> с т' = + 1, О, — 1.
Окончательный результат имеет вид (79. 12) Литература Меуелл К., Еа. Рйуа., 231, !54 (1970). В работе рассмотрен случай сильных полей, а также устаиовлейы гранины применимости второго порядка теории возмущений, б. Упругое рассеяние Задача 80. Интерференция падающей и рассеянной волн В задачах рассеяния на волновую функцию необходимо наложить асимптотическое граничное условие (так называемое элементов вида <1, гп')У((, пг), поэтому возмущение не приводит к смешиванию вырожденных состояний, принадлежащих одному н тому же значению ! и разным значениям т. Следовательно, мы можем воспользоваться более простыми формулами теории возмущений без вырождения.
Таким образом, для расчета квадратичного эффекта Штарка мы будем иметь 218 гг'. Задачи деа учета саина. Г. Сферичесни симметричнне потенциала условие излучения Зоммерфельда) е1"г и — е'"' + "( (()) —, )ее — оа, (80.1) Показать, что на больших расстояниях от рассеивателя оно приводит к суперпозиции падающего и рассеянного потоков без заметной интерференции между ними, и установить соотношение между амплитудой рассеяния и сечением рассеяния. Решение.
К волновой функции, имеющей вид (80.1), можно применить формулу для плотности тока в = —. Ф (и*11и — итги*), й (80.2) в которой нормировочная постоянная М характеризует интен- сивность потока частиц. В сферических координатах оператор градиента имеет компоненты: д 1 д 1 д аг' в г дд' а ге1пб дгу ' (80.3а) Так как функция и не зависит от угла ф, то, очевидно, з„= О. Для двух других компонент вектора а с помощью формулы (80.2) после несложных вычислений получаются выражения Йу l ег" '"-" е,= — Ф ( соз()+ — е )+ — Ж~~(йг(1+сов О)+1) —,, + Еае "-О1 +г [~г (1 +с~~э б) е ге йь Е 1, ей~г аа = — — У з1п б + —.
чч' ~(1" — ейг з1п 61) —— т 2т1 ге ЕМ ~е-с~1 Й вЂ” У +~~"щ 1) —,. )+2 т.ге (1~ — И ), здесь штрих означает производную по О. Полученные формулы должны выполняться лишь асимптотически (нг — со), поэтому мы можем пренебречь последним членом, который пропорциона- лен г-', по сравнению с плотностью потока рассеянной волны, пропорциональной г '.
Что касается интерференционных членов, стоящих в фигурных скобках, то мы оставим только те из них, которые содержат в качестве множителя величину нг. Таким образом, для дальнейшего анализа у аеас остаются значительно более простые выражения з = — ~лс !соз()+ ~~~ + +сан'ч(1ее<г е)-~-)неге<а-г))~ т 2г за = — М е — з1п б — — "" ()е'е '"-"+ ~неге "-") ) .
т ( 2г В этих формулах первые слагаемые не зависят от г. Они представляют собой г- и 0-компоненты направленного вдоль Е0. Интерференция ьадаюжей и рыселннод еалн 2ш оси г вектора плотности тока з,=МУ!т, порожденного плоской волной. Так как Ь(т=о есть скорость частицы, то величину'Ж следует понимать как плотность падающих частиц. Второе слагаемое в выражении для эе представляет собой радиальный поток, который мы можем отождествить с плотностью потока рассеянных частиц. При любого рода наблюдениях для получения конечной интенсивности мы должны по необходимости использовать какой-то детектор, который виден из рассеивателя под малым, но обязательно конечным телесным углом 6(1.
Если детектор находится на расстоянии г ат рассеивателя, то в каждую секунду через его поверхность, равную г'6(), пройдет и будет зарегистрировано 68 = ~~ — М 1~,„~ )г'д()= — У~(~('Ж2 (80.4) ьп ьп рассеянных частиц. Разделив этот поток на плотность потока (М!га) Л' падающих частиц, получим величину бо= ~ (7(0) 1'Й() ж17" (6) ('бй, (80.5) не зависящую от первичной интенсивности и являющуюся, таким образом, характеристикой рассеивающих свойств взаимодействия, вызывающего рассеяние. Это отношение имеет размерность площади и носит название дифференциального сечения рассеяния в телесный угол 60.
Отсюда для полного сечения рассеяния получаем о = у 17(6)1'е(й. (80.6) Нам осталось разобрать вопрос об интерференционных членах в формулах (80.3б), которые, будучи пропорциональными 1(г, на первый взгляд играют даже более важную роль, чем члены, отвечающие плотности потока рассеянных частиц. Во всех этих членах имеются сомножители, меняющиеся медленно, и сомножители, меняющиеся быстро при изменении телесного угла.
При интегрировании любого из них по малому, но конечному телесному углу бй медленно меняющиеся сомножители (такие, как з(пб) можно считать постоянными, так что остается лишь рассмотреть интегралы вида ~ созй(г — г) Ж3 или 1 з!пй(г — г) дР. (80.7) ев ьа Если Фг очень велико, то даже при интегрировании по сравнительно небольшому телесному углу 6Р изменения аргумента й(г — г) =йг(1 — сов О) вызовут большое число осцилляций периодических функций, стоящих под знаком интеграла в (80.7). Следовательно, эти 220 у!. Задачи без учета анина. Г.
Сфера'гески симметричные потенциалы интегралы практически будут равны нулю (во всяком случае, их вклад не будет пропорционален бьз), и поэтому в пределе очень больших утг мы вправе опустить интерференционные члены и рассматривать потоки от падающей н рассеянной волн как независимые. В этой связи стоит, пожалуй, отметить, что 2пг йг =- —, Х где Х вЂ” длина волны де Бройля, которая обычно имеет порядок атомных (или даже ядерных размеров, т. е., скажем, 1О-' см, Величина же г — это макроскопическое расстояние между частями экспериментальной установки, равное по крайней мере 10 слг. Таким образом, величина йг равна 6 1Оз и, действительно, очень велика.
Задача 81. Разложение плоской волны по парциальным волнам Решение. Плоская волна и Вгаг вгег соз о (81.1) является решением уравнения Шредингера для свободного движения: р'и+й'и=О, уз'= —. йз (81. 2) Общее решение этого уравнения, полученное путем разделения переменных в сферических координатах, имеет вид и =,— ~,), (А, уг (узг)+Вг тпг (утг)) Р7 (сов б) вгте, (8!.3) 1=0 зг=-Г где !г (Ь') = 1ггг — /г ы, 1ггг); пг (йг) = ( — 1)г" 1гг — ! и+ г,г(йг).
(81.4) Каждый член суммы (81.3) представляет собой вклад состояния, характеризующегося вполне определенным моментом количества движения, т. е. квантовыми числами ! и гп, Представляя плоскую волну (8!.1) в виде разложения (8!.3), сразу же можно добиться двух упрощений. 1.
Вклад в сумму лают только слагаемые с пт=О, так как выражение (81.1) не зависит от угла гр. Физически это связано с тем, что пучок частиц параллелен оси г, и поэтому проекция момента количества движения на ось г равна нулю. Разложить плоскую волну по парциальным волнам, соответствующим состояниям с определенным моментоьг количества движения. 222 Ы. Задачи без учета спина. Г. Сферически симметричные потенциалы Подстановка выражений (81.8) и (81.9) в равенство (8!.7) теперь дает А, = (21+ 1) (г, (81.
1О) так что окончательно разложение (81.5) принимает вид О ага' = — ~, (21 + 1) Р 1, ()гг) Р, (соз 8). 1 !=о (81. 11) Если воспользоваться нормированным выражением для сферических гармоник Г2! -(- 1 (81.12) то разложению (81.11) можно придать несколько иную форму: ег"'= — ~~~'1 4гт(2!+1) 1~(г()гг) 1'г о(0). (81.13) с=о Обоими разложениями (81.11) и (81.13) можно пользоваться с равным успехом. Замечание Д Из равенства (81.7) и соотношения (81.10) вытекает интегральное нредставлеиие для сферических функций Бесселя ! г (г(г) =1-г — ) егыр! (!)дг.
2 -1 Метод, использованный нами при решении этой специальной задачи, часто применяется для нахождения подобных интегральных представлений. где а — длина волны де Бройля, а р является грубой мерой расстояния, на котором частица с квантовым числом ! пролетает мимо начала координат. Такое выделение из полной суммы одного отдельного члена разложения, разумеется, некорректяо: наблюдаемые величины по необходиьюсти выражаются через билинейные комбинации и и и* (или их производные), что ведет к возникновению интерференциониых членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
