Том 1 (1129330), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть нам задано значение величины а, тогда величину а мы 75. Модель деагарока с центральным взаимодедсамивм 207 можем найти по формуле (75.10). Затем из уравнения (75.9) находим величину с и, наконец, снова с помотцью формулы (75.10) определяем соответствующее значение глубины потенциальной ямы А. Следует подчеркнуть, что нужно брать наименьший корень уравнения (75.9), так как именно в этом случае получается наименьшее значение А, что соответствует потенциальной яме с одним-единственным связанным состоянием. Результаты численных расчетов значений величин А и а приводятся в нижеследующей таблице ".
б. Приближенное решение. Волновая функции и (в за е а) в точке г=О имеет конечное значение, и(0)=С 4 и убывает экспоненциально на больших расстояниях г, причем коэффициент спадания имеет правильное значение: " (-")-- (- р'""') Нормировочная постоянная С получается из условия 4п ~ г'и'(г)с(г =1, о которое дает (75.12) " Решения уравнения (75.9) можно взять из таблиц Янке и Эмде. (Имеется перевод; Ямке Е., Заде Ф,, вуеш Ф„Специальные функции. изд-во „Наука", 5)., 1968.— Прим. аерев.) 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,4 0,436 0,873 1,310 1,747 1,963 2,180 2,40 2,62 3,05 2,707 2,999 3,283 3,560 3,696 3,832 3,966 4,099 4,363 409 125 67,0 44,5 37,5 32,7 28,1 26,1 21,7 208 П. Задачи без учета спина.
Г. Сферичесни симметричные пстеняиапы Теперь с помощью этой волновой функции мы определим сред- нее значение энергии, для которого имеет место формула Е=4п ') г'( —,( — „) — Ае-оаи'~3г. (75.13) о Если в подынтегральное выражение (75.13) подставить точную волновую функцию (75.8), то в результате мы получили бы точное собственное значение Е. Используя же приближенную функцию и (75.1!), мы получаем приближенное собственное значенне Е, которое, согласно вариационному принципу Шредингера (см.
задачу 2), должно несколько превышать точное собственное значение Е. Интеграл (75,13) с функцией (75.11) вычисляется элементарно, и окончательный результат имеет вид ~ 1-1- — — -1- — 2+— ч 2 у у Если теперь подставить сюда значения а=2,!8 ферми и А = = 32,7 МэВ, найденные нами ранее, то для Е получится значение Е = — 2,18 МэВ.
Если же, с другой стороны, потребовать, чтобы формула (75.14) давала правильное значение энергии, Е= — 2,23 МэВ, при д=1 и а=2,18, то для этого придется глубину ямы А взять равной А =33,5 МэВ. Таким образом, при правильном значении глубины потенциальной ямы у нас получается значение энергии, завышенное примерно на 2,5е4, для получения же правильного значения энергии требуется потенциальная яма несколько большей глубины А. в. Метод Ритца. В качестве пробных функций возьмем нормированные функции вида Г з а' (75. 15) и определим значение параметра а из условия минимальности выражения (75.13) для среднего значения энергии Е.
Подставив выражение (75.15) в формулу (75.13), после элементарных вычислений получаем — Ле , а' (75.18а) и дЕ йе ЗА (75.15б) ае 1-!— уд. Модель дейтрона с центральтлм взаимодействием 209 или (м+ Вь 12т"аьА (75. 17) Для значений а = 2,!8 ферми и А = 32,7 МэВ правая часть равенства (75.17) будет равна 22,3, откуда следует, что а = 1,34.
Учитывая, что йя1(8тпьаь) =2,21 МэВ, мы в соответствии с формулой (75.1ба) получаем для энергии значение Е=3,97 Мэ — 6,15 МэВ.= — 2,18 МэВ. Мы видим, что приближенное значение снова больше точного. На фиг. 42 представлены графики всех трех волновых функций и (точная), и, и с учетом правильной нормировки (правиль- ~ цг Ц1 1 г г/и Ф и г. 42 Точная и две приближенные волновые функции для модели дейтрона с центральным взаимодействием. ную нормировку для функции и можно найти лишь численным методом), Обе приближенные функции при малых г принимают слишком большие значения, что, однако, не играет особой роли, так как благодаря множителю гь в элементе объема практически не сказывается ни на нормировке, ни на величине интеграла (?5.13).
Кроме того, это отклонение компенсируется тем, что при больших г обе функции принимают заниженные значения. В асимптотнческом поведении всех трех кривых не наблюдается сколько- 2~0 П. Задачи бее учета саина. Г. Сферичесни симметричные нотенциами нибудь существенного различия: иач ж иан 0,308 — ' е-х иач» — 0,346— где х=г/2а. Задача 76. Импульсное представление для волновых функций в поле центральных сил В обычном пространстве волновая функция разбивается на радиальную и угловую части, причем последняя представляет собой сферическую гармонику. Показать, что в импульсном пространстве волновая функция допускает точно такую же факторизацию.
Решение. Будем предполагать, что в формулах, осуществляющих связь между координатным н импульсным представлениями, и (г) = - — сГ- ~ есо'~ (й) с(ой (76.1) Г (й) = —, Ге м'и (г) с(зх (76.2) (2я) 0,1 функция и имеет вид произведения: и(г) = — „)(с (Г) 1'ь „(О, ср). (76.3) Чтобы найти фурье-образ этой функции, разложим экспоненту, фигурирующую в формуле (76.2), по сферическим гармоникам, которые, очевидно, будут функциями угла у, образованного вектором г и вектором й (см. задачу 81).
Это разложение имеет вид » е-'"'= ') )' 4п(2Л+ 1) Е "Г»„ур,, о(сову). (76,4) х=о С помощью теоремы сложения сферических гармоник функцию Ух о(сазу) можно выразить через сферические углы 6, у вектора г и сферические углы О, 0З вектора Ф 1'цо(сову)= ф 2Л.( 1 е~~» )х,и('А аз))'х,и(0, <р). (76.5) Подставляя теперь формулу (76.5) в правую часть формулы (76.4), а затем полученный результат и выражение (76.3) в интеграл (76.2), получаем (й) Он ~ »ф~Х~~» . х ц(lсс) Хс о ми х т'с, „(6, р) У,, „(В, сР) (а„. 7а. Омпвльснае представление длл валновмл функций 211 где 03 й (й) = )/ — „' ')1 (й )Х ()с(г. (76. 7) о Мы видим, что радиальные части волновых функций д,(у) и 1-')(1(г) связаны между собой преобразованием Ханкеля.
Преобразование, обратное преобразованию (76.7), записывается в виде Ш (.) ~/ ~ 1~ (ьг)а (ь),(ь о Если в координатном пространстве волновая функция и нормирована так, что допускается ее обычная вероятностная интерпретация, т. е. О ~) ~1(г) )вв(г=1, (76.9) о то подстановка выражения (76.8) в формулу (76.9) даст 0 и 2 ~г(г~ й~(,(йг)д,(а)1',(йг)п,"(й')с(й'=1, о о о (76.8) Выполняя здесь сначала интегрирование по г и учитывая, что ) 1, (йг) 1', (й'г) ог = — б (А — А'), (76.
10) а получаем (76. 1! ) Интегрирование по направлениям вектора г можно выполнить с помошью формулы ~)'х и (б, 1р) )'1,„(б, 1р) в((), = бб,бтп. В результате от двойной суммы у нас останется только один член с индексами 1 и пг и мы получаем Ю Ц (гс) = )/ — „1 ' ') 1, (пг) 71 (г) . Уп „(В, Ф) с(г. о Таким образом, волновая функция 1(А) в пространстве импульсов может быть представлена в виде произведения 1(Ю= у й,(й) )'ьм(В, Ф), 2! а П. Задачи беа учета спина. Г.
Сферичеаси симметричньи патенаиапа Задача 77. Уравнение Шредингера в импульсном представлении в поле центральных сил В задаче !4 было получено интегральное уравнение, которому в обшем случае должны удовлетворять волновые функции импульсного представления. Показать, что в поле центральных сил решения этого уравнения можно представить в виде произведения 1 (й) =- — , 'И, (й) 1', . (В, бв). (77.1) В частном случае атома водорода получить интегральное урав- нение для функции д,(й). Решение.
Интегральное уравнение (14.6), записанное в атомных единицах, имеет вид ( ~ ле — Е) 1(ее) = — ) (е' (й — ?е') ? (Й') с('"'/г', (?7.2) где ф' (?е) —, е-т е )/ (г) с(зх 1 г (77.3) В том случае, когда потенциал (Г(г) зависит только от модуля г радиус-вектора г, оно сводится к интегральному уравнению для функции д,(/г).
Действительно, в этом случае в формуле (77.3) можно произвести интегрирование по телесному углу, так что в результате получится ядро, зависягцее только от модуля вектора ?е: (77.4) о Но тогда ядро интегрального уравнения (77,2) будет функцией переменной (Ф вЂ” А')' = — й'+ й" — 2И' соз у, (7?.5) где у — угол, образованный векторами й и А', и ядро )Р' можно будет разложить в ряд по полиномам Лежандра. Это разложепяе имеет вид Я ))? ()й — й' () =~а„(А, й') Р„(сову), (77.6) п=а Таким образом, в пространстве импульсов правомерна та же самая вероятностная интерпретация: в рассматриваемом квантовом состоянии абсолютное значение импульса частицы будет обнаружено в интервале между Й и а+ ей с вероятностью ~д,(й) ) ~й.
77. Ураенение 1Нредингера е инлулеенои лредслгаелении 213 причем коэффициенты разложения а„зависят только от абсолютных значений )е и й'. Именно это обстоятельство позволяе~ представить волновую функцию в виде произведения (77.1) Подставляя в интегральное уравнение (77.2) вместо функции 1'(л) ее выражение (77.1), получаем ~ —,' йе — Е') — „' л, (А) У, „(6, Ф) = Ю = — ~) ~е(йХ'ан ()е, й') —,д,(й') ф Р„(созУ) У, (6', Ф') е(о', н 0 Интеграл по углам можно вычислить с помощью теоремы сложения: н Р„(сов у) — — ~~' У„„(0, Ф ) 1'„„(О, Ф). и=-« В результате от суммы остается только член с индексами л =! н р=-= и, и мы получаем — д,(ге) У, (6, Ф) = —, ) !г'а,(и, А')д,(й') У, (6, Ф)е()г'.
о По угловым переменным последнее равенство является тождествоч, что подтверждает корректность представления (77.1). Что же касается функции д,(А), то для нее мы имеем интегральное уравнение ( 2 и Е) кг (л) = — 21л ! ) й ог (А й') й (л') ей'. (77.7) е В частном случае атома водорода У(г) =-- — —, 1 (77.8) и интеграл (77.4) с помощью предельного перехода М 1!т '! е " в!пх е( х = 1 можно вычислить до конца, в результате получаем (77.9) Отсюда, согласно формуле (77.5), )й (ее — )е')— н'/Й-е'е 4 иет — е 214 71.
Задачи без учета спина. Г. Оферически симметричные ааамнциалы н 1 а г= 2ай (77.10) (77. 12) и интегральное уравнение окончательно принимает вид ( )е' Е) дс (й) = — ~ Яс( 2й )8'с ()е') сй'. (77.14) о Замечание. Интегральное уравнение (77.!4) было решено В. Фоком (см. 2з. Рйуз., 99, 145 (1935)]. При таком подходе волновые функции в импульсном представлении находятся без помощи собственных функций в координатном представлении. Однако в случае кулоновского поля второй способ оказывается более простым, и мы рассмотрим его в следующей задаче. Задача 78. Водородные волновые функции в импульсном пространстве Найти импульсное представление волновых функций, принадлежащих низшим уровням (1з, 2з, 2р) атома водорода. Решение.
В задаче 78 мы уже показали, что в поле центральных сил волновой функции в координатном представлении и (г) = — )(с (г) Ус (4), ср) (78.1) в импульсном представлении соответствует функция ) ()е) = — дс (А) )ес „(81, Ф), (78 2) поэтому нам остается определить лишь „радиальную" функцию дс (й), связанную с функцией )(с (г) преобразованием Ханкеля: Ю 81 (й)»» )à — „' ' ) 1с (йг) Хс (г) бг (78.3) о Полагая сову = с, замечаем, что в рассматриваемом случае равенство (77.6) представляет собой хорошо известное разложение Ю ~'. (2 -( 1) 4.
( ) Р. (() (77.11) »=о коэффициентами которого служат так называемые функции Лежандра второго рода 1 Р„(11 дс 2) а — С -1 Следовательно, в нашем случае а» (Й, Й') = 44нзйй' (2п+1) (с» ~ 2йй' д (77.13) 79. Штарк-444ект у проетранотоенною ротатора 215 Для трех заданных состояний, используя атомные единицы, можно написать Ви )(„(г) = 2ге ", Ф /2 Р и„= "à — 2 ) г з!п йге 'е(г) о 29: )( (Г) =- ( à — 2 Ге Е-Пг Ю д, = — ( à — — Г') З!П МГЕ-е7' Е(Г1 1 2р1 Х„( ) = — 'е-", )/24 О у — 1= г'( — — созйг)е-т'Ь. 1 Г Гяндже Вычисление этих интегралов элементарно, хотя громоздко. Результаты вычислений дают .,/2 4к й1о( ) )~ (1 ! 1е)ее 32 )е (1 — 4уе) 1' хс (1+4йе)е ' . 12З Ье 8'„(и) = — 1— 1' зп (Г+И')т Непосредственной проверкой можно убедиться, что чаях выполняется условие нормировки ~ ) д„, (й) (' й = 1, о и несколько (78.4а) (78 4б) (78.4в) во всех слу- (78.5) Задача 70.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
