Том 1 (1129330), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ач' —" — 2„нч " .~]. (64.~8) При а — 0 сумма, стоящая в квадратных скобках, обращается в нуль, и мы возвращаемся к уравнению для уровней энергии в простой потенциальной яме: й!! и!7 — = — (ц й)7. " Это разложение можно легко вывести из станаартиых формул, которые собраны в обычных математических справочниках, например у Янке — Эмле— Леша нлн Магнуса — Обергеттингера. 17В Я.
Иэотропный оечиллятор Производя в (64.!8) разложение в ряд по степеням малого параметра а=— Х* (64. 19) окончательно находим — —" =1п ~х — 2а'х ~~(2) у — аь(3) (х'+у') + Д -)- а'~ (4) (у' — х'у) — аэг, (5) (у' — 2х'у' — Зх') + +а4Г (6) (у' — — х'уз +х'у ) — а'~ (7)(у' — 5х'у'+Зх'у'+9хз)... ~ ~, где в целях сокращения мы положили (ей=х и хй=у. Задача 65. Изотропный осциллятор Путем разделения переменных в сферических координатах решить уравнение Шредингера для осцилляторного потенциала е' (г) = — пио'г'.
1 2 (65.1) Решение. Обычная процедура разделения переменных и (г, О. р) = —, Х (г) Уь. (О, р), 1 (65.2) (65.4) можно записать уравнение (65.3) в стандартном виде ~Хи+ ~77' — )'г' — 1(1,' 1) 1 7(, = О. (65.5) Анализ поведения решения при г=О и г оо, которое определяется соответственно центробежным и осцилляторным членами, наводит на мысль искать решение в виде ь )1, = г'+'е ' о (г) (65.6) и по аналогии с одномерным случаем ввести вместо г новую приводит к радиальному уравнению Ух~+ (2 е Реъ'г 1(1+!)1 Х О (65.3) Йг' ~ ~~ фз г" При 1=0 оно оказывается идентичным уравнению одномерного осциллятора (см.
задачу 30). Когда же 1ФО, центробежные силы отбрасывают частицу от центра, что ведет к существенно иным решениям. Вводя обозначения ЪпЕ, тв )г' Е ~з ' $ ' 22х фд 176 П. Задачи без учета спина. Г. Сферичесли симметричные потенциалы переменную с' = )сге. В результате получаем уравнение Куммера (65.7) ' —.+ Е'+-.)-'] —.-Г-('+-) — 1"=' общее решение которого имеет вид о=С,,Рз ( 2 (1+ 2 — р), 1+ —, Ь') + +Са,Р, ( — ( — 1+ — — (с), — 1+ —; Хг')г """ (65.8) Наличие второго слагаемого в этом выражении несовместимо при г= 0 с условием нормировки", поэтому С,— -О, Зто существенно отличается от задачи об одномерном осцилляторе, где нет никаких граничных условий в начале координат.
Вырожденная гипергеометрическая функция при больших положительных значениях ее аргумента ведет себя,как г г (с) . . . что с учетом равенств (65.6) и (65.8) приводит и экспоненциально возрастающему решению 1 з —, -(еч — +и) )О г" 'е ' е"*г ( +2)' п=2п,+С (65. 10) где (65,! 1) и При 1 О второе слагаемое также норынруемо, однако его присутствие приводит к расладимости интеграла, соответствующего среднему значению кинетической энергии (см. также задачу 62).
Зтого возрастания можно избежать лишь тогда, когда а= — и, (п,=О, 1, 2, ...), т. е. в том случае, когда гипергеометрический ряд вырождается в полипом степени п,. Таким образом, имеем —,(1+-2 — Р) = — и„ 1 / 3 (65.9а) так что с учетом выражений (65.4) уровни энергии будут равны Е=йсо(2п,+1+ — ), п,=О, 1, 2, .... (65.96) Число и, можно назвать радиальным квантовым числом. Система энергетических уровней начинается с нулевой энергии а/,Йо (это соответствует наличию трех степеней свободы в нашей задаче) и так же, как в случае одномерного осциллятора, все уровни располагаются эквидистантно: 66. Вырожденное соетолнин изотронного ссциллнтора Пу Собрав вместе результаты, содержащиеся в формулах (65.6), (65.8) и (65.9а), приведем окончательное выражение для собственных функций — — 'Г и(г, б, <р) = Сг'е а,г",( — и„1-1- —; Хгз) Уь (б, ~р), (65.12) где постоянную С следует определять с помощью условия нормировки.
За исключением основного состояния, для которого и = О, все энергетические уровни вырождены, так как, согласно формуле (65.11), четные и можно получить з(,и + 1 различными способами, а нечетные и можно получить 'уа(и+ 1) способами. Кроме того, следует учесть, что для каждого значения ! имеется 21+1 различных значений ти, заключенных между — ! и +1, что приводит к дополнительному увеличению кратности вырождения. Замечание. Полученные здесь результаты целесообразно сразнить с результатами задачи 42, где выл рассмотрен нзотропныа оспнллнтор на плосности.
Задача 66. Вырожденные состояния изотропного осцнллятора Показать, что собственную функцию изотропного осциллятора с квантовыми числами 1=-2, ит=-О, и,=1 можно сконструировать как линейную комбинацию вырожденных функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах. Решение. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шредингера для изотропного осциллятора можно записать в виде ~ —, + (й', — "г.зх') и1 + [ —., + (й, '— уу') и1 + (66. 1) где на + из+ нз = и а й' и Х обозначают те же величины, что и в предыдущей задаче. С помощью разделения переменных и(х, у, г) =) (х)д(у) Й(г) (66.2) для каждой из независимых переменных х, у и г мы получаем простые осцилляторные уравнения, первое из которых, например, имеет вид '~+(й, ). *)(=О.
(66.3) Соответствующие собственные значения равны йчн (и,+з~з), а и,— 178 П. Задачи бее ичета спина. Г. Сферичесни симметричнме мтенциалт (66.6) Мы имеем Л = е ' ' (1 — —,' Л") Я г — —,', ) = — — ЫаГЛ Л 2Л 2Л аа Л аа Л аа = е а ( — х' + — у' — га + — х'у' — — у'г' — — х'г'— ( 7 7 7 7 7 7 — — х' — — у'+ г') . (66.9) г г В каждом произведении (у)а присутствует один и тот же экспоненциальный множитель, который в дальнейшем, при сравнении функций, мы опустим. Так как па(4, то в формулах (66.4а) и (66.4б) первый параметр и вырожденной гипергеомеТрической функции не может превосходить 2.
Зти же соображения, разумеется, относятся и к гипергеометрическим функциям, через которые выражаются функции у(у) и Ь(г). Поэтому нам при- целое неотрицательное число. Как было показано в задаче 30, (ненормированная) собственная функция уравнения (66.3) при четных и, = 2п равна ссал(х) =е аРа ( — и, г , 'Лх'), (66.4а) а при нечетных п,=2п+1 равна - — Хва 1 3 ),„аа(х)=е ' х,Р,( — и, —; Лх'). (66.4б) То же самое имеет место и для функций д(у) и Ь(г) (соответст- вующие квантовые числа мы будем обозначать посредством п, и и„), поэтому полная энергия должна быть равна ЗЛ Ели л„л, — сача (Па+ Ив+ив+ 2 )- С другой стороны, при разделении переменных в сферических координатах, как мы видели, Ел, Ьт= Пап (2И + 1+ г ) (66.6) следовательно, в состоянии с квантовыми числами 1=2, па=О, п, = 1 мы имеем 2п +1= 4, а соответствующая собственная функ- ция, согласно формуле (66.12), равна и=г'е ' аРа ( — 1, —; Лс') Р,(созб).
(66.7) 2 ' Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать выраже- ние (66.7) в прямоугольных декартовых координатах и результат выразить в виде линейной комбинации функций 7(х) д(у).й(г), для которых и,+и„+п,=4. (66.8) бб. Выуохдениме сосьтояния изощролнрео ослиллял»ора 179 детси иметь дело лишь со следующими полиномами: (66. 10) Как показано н нижеследующей таблице, число 4 1см. формулу (66.6)! можно разбить на сумму трех целочисленных сла- Собственные фуикиии при рввделенин перемеинмх в при- моутольиык декартовых координатах (виспонеита опущена) Умномаетт» иа ковффи- виент », о и, 1 — 4!ав + -4- Лага 4 "'(' 3 '"') (1 — 2Лу') (1 — 2)ав) уг (! — Луа) ! — 4Лу'+ — Лтуа 3 004 — б/28Л 013 — 1/28Л 022 031 3/28Л 040 хг (1 — — Лгв) ху (1 — 2Лг') хг (! — 2Лу») .у(1 —,' Лу ) 103 !! 2 121 !30 (! — 2Лх») (1 — 2)аа) уг (1 — 2Лх') (1 — 2Лха) (1 — 2Лух) — 1/28Л 0 2/28Л 202 21 1 220 .,(1 'Лн) ху (1 — Лх') 30! 310 1 — 4Лхв+ — Лехе 4 3 3/28Л 400 тРт(0, —,, Л( — 1, —,'; 3 хайят(0, 2, 3, кР( — 1 2 ' Л )=1, Лх*) = 1 — 2Лх', Лх*) = 1 — 4Лх'+ 4 Л х', Лх') =х, ")- (' —."') )80 П.
Задачи без учета спина. Г. Оферически симметричные потенциала Задача 67. Проблема Кеплера Решить уравнение Шредингера для связанных состояний элект- рона в поле бесконечно тяжелого точечного ядра с зарядом Яе. (Прн Я=1 мы имеем дело с теорией атома водорода.) Решение. Введя обозначения 2тЕ з Лезт еа тс (67.1) йз = = тй = й. ~У 2б и используя обычный способ разделения переменных и= —,Х (г) Уь (б ф), мы приходим к радиальному уравнению Шредингера вида у;+~ — у+ —,—,. 1Ъ=-О.
2ти )(! + Ц) (67.3) Это уравнение имеет регулярную особую точку при г = О и существенно особую точку прн г=по. Вблизи точки г=О оно решается путем разложения в ряд, что приводит к решениям, которые пропорциональны либо г'+', либо г '. При г — оо его решения ведут себя как е~тг. Только те решения, которые при малых значениях г ведут себя как гс+х, а при больших значе- ниях г как е-т', можно нормировать в соответствии с условием" О ~ у,а(г) Ь =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
