Том 1 (1129330), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Сфернческн симметричная прямоугольная яма конечной глубины Для значений ! = О, 1, 2 определить энергетические уровни связанных состояний в сфернческн симметричной прямоугольной яме — г()т, )г (г) = (63. 1) Довести расчеты до численных результатов в том случае, когда характеристический параметр 2т)',есз/усе=100. Решение. Пусть 2пг ! Е) — =из $" — — ~ — ~~ = Й', (ее.е) йе 2т)е е — =- й, е тогда радиальное уравнение Шредингера для связанных состояний внутри и вне ямы соответственно будет иметь внд (63.3а) хг+( "' 1+ ~ )х =о (63.3б) 3, 142 4,493 5,764 6,988 8,183 9,356 10,513 11,657 !2,791 !3,9!6 6,283 7,725 9,095 10,417 11,705 12,967 14,207 бе.
Сферичегяи еимлитричноя ярямоугольноя ямо яонггнод глубина !69 Решением уравнения (63.35), убывающим при больших значениях г как е-"', является сферическая функция Ханкеля мнимого аргумента: )(г (г) Вф' ((кг), г ) !г. (63.46) фигурирующие здесь постоянные А и В следует определить, руководствуясь соображениями непрерывности и нормировки. Если записать условие непрерывности логарифмической производной на границе ямы (» = )т), то указанные постоянные взаимно сократятся: 7 Л) 1 ((н)1) „! й (Лгб (63.5) Л',о ((нн) Здесь штрих означает производную по соответствующим аргументам.
Так как уравнение (63.5) связывает между собой н и я, то оно тем самым фиксирует нам, согласно формулам (63.2), собственные значения энергии для каждой данной ямы. Для низших значений 1 функции, фигурирующие в уравнении (63.5), имеют следующий внд: ), (г) =- з(п г, йео(г)= 1е~, г )~ ' (63.6) ! (2)=(~ — — 1)з(пг — — созг, Ь (2)=( — — — — +!~ел.
/3 ~ . 3 о, / 3( 3 (,г' ) г ' ' (, г' г При ббльших значениях 1 можно воспользоваться рекуррентными формуламн !г+1(2) = г !с (2) — !е-г (г) 21+ 1 Ь)г+', (г) = ф' (г) — Йд (г). г (63.7) Если ввести сокращенные обозначения 'яК = х, )г,Я - х„— = $, нИ = х, у" 1 — $г, (63.6) о где х,'— указанный в условии характеристический параметр, то уравнение (63.5) после элементарных, но довольно длинных выкладок можно привести к виду 1ц (х„$) = 1, (х,Д) (63.9) Уравнение (63.3а) с очевидным граничным условием )(г(0) =0 имеет своим решением сферическую функцию Бесселя )(г (г) А), (йг), г ( )т'. (63.
4а) !70 !Д Задачи без учета слила. Г. Сферичес«и симметричные лотелииа«ы (,(х„й)=— (63.10а) (63.106) (+ «, )' ! — Р+ з «з Р (( — Р) (,(хт Я) =«за, . (63.!Ов) 1+ «„$» ( — Р [( — З «е В (( — Р)1 Значения переменной й, а тем самым и переменной «„ удовлетворяющие этим уравнениям, проще всего находятся графическим методом. Ф и г. 36, Графическое определение собстиенных значений и случае сферически симметричной прямоугольной ямы конечной глубины На фиг.
36 дана функция !ахай для физической области изменения переменной, 0($~(1, в случае «,=-10. Ее точки пересечения с функциями (Я) находятся сначала непосредственно по фигуре, а затем их положение уточняется вплоть до четвертого знака при помощи табулирования рассматриваемых функций в окрестностях точек пересечения. Окончательные результаты для случая х,= 10 приведены в нижеследующей таблице. Сюда же для сравнения помещены и соответствукхцие результаты, относящиеся к сферически симметричному ящику с бесконечными стенками, полученные нами в предыдущей задаче. бв. Потенциал Вуда — Синрена !7! Ямв вовечвоз глубвмм, зввченвв пврзметрв л Ллз Ящнв е бееновечнммв етенмзмв, значения нврвметрв в длв !=Е 4,070 5,226 6,958 8,!24 9,625 З,С42 6,283 9,425 4,493 7,725 !0,904 5,764 9, 095 2,853 5,679 8,422 Задача 64.
Потенциал Вуда — Саксона Сферически симметричная потенциальная яма описывается потенциалом у у/ур У(г)= —, я (64 !) о С+е е гдеа(<)т. Требуется определить энергию связанных состояний с 1=0. -44 Замечание. Зтот потенциал испольэовался для описания взаимодействия нейтрона с тяжелым ядром. Параметр В интерпрети. руется квк радиус ядра, другой параметр а хзрактернзует толщину поверхностного слоя, внутри которого потенциал падает от знзчения т'= 0 снаружи ядра до значения !с= — )с внутри ядра(фиг.37).
Приа=о получается простая потенциальная ямз со скзчком потенциале на поверхности ядра. -ов -СО Ф и г. 31. Потенциал Вуда— Сзксоиа для случая аССт =0,2 но)ерически симмегричнзя прямоугольнвя ямв, соответствующая случаю аСС7=0 Решение, После введения обозна- чений 2т — а* = — бз и (г) =- †, Х (г), ! у равнение Ш реди игера дзи 2 ди 2т —. + — — + — (Š— У) и=О г дг 2снро — а' =у дз (64.2) Следует отметить, что в яме конечной глубины по.пожение всех уровней несколько смещено вниз, поэтому нужно ожидать, что в рассматриваемом примере возможно появление связанных состояний, по крайней мере, вплоть до значений ! = б, квк это видно из таблицы, приведенной в предыдущей задаче, где значения параметра х даны для ббльшнх значений П Зааечание.
Зтз задача тесно связана с более простой одномерной проблемой, рассмотренной нами в задаче 25. Наши решения при ! =О точно соответствуют внтисимметричным решениям для одномерного случая. 172 П. Задачи бее учета саина. Г. Сферичесни симметричные аатенциалы путем замены независимой переменной 1 У= 1+е (64.3) приводится к виду у(1 — у)д-!+(1 — 29)„— + „, Х=О.
"ех дХ вЂ” Р+ т'у К этому уравнению необходимо присоединить граничные условия Х=О при у=О (г=-ао), Я Х=О при уж 1 — е ' ж 1 Полагая далее (64. 4) (г = 0). К(у) =у'(1 — у) иУ(у) (64.6) получаем у (1 — у) (" -(- ~(2т -1- 1) — у (2т -1- 2р + 2) ~ )' + + ~т (ъ — 1) — + р (р — 1) — — 2рт+ 1 — у у 1 — у +ч — р — + ' ~).=0. 1 — 2у 1 — 2у — (!е+ т' И у 1 — у у(! — у) (64.6) Если параметры ч и р выбраны таким образом, что р*= ()' — у*, (64.7) то множитель при Г в уравнении (64.6) пе будет зависеть от д и оно перейдет в гипергеометрическое уравнение у (1 — у) ~ч+ ~(2т + 1) — у (2ъ + 2р + 2)Д )' — (ч + р) (т + р + 1) ~ = О. (64.8) Соответствующее (ненормированное) решение имеет вид Х =- у' (1 — у)и,Р, (р + т, р + т -(- 1, 2т + 1; у). (64.9) Хж у', у ехр ( — — 1, Х езя" ехр ( — !г — г).
г — Р! 1 l 2т!Е! — — 1, йе Таким образом, наше решение обладает правильным асимптотическим поведением. Другому граничному условию при (или вблизи) у= 1 удовлетворить не так просто. Чтобы выяснить поведение решения Другое независимое решение можно получить, заменяя т на — ч, однако оно не удовлетворяет первому из граничных условий (64.4). В случае больших значений г(у — 0) равенство (64.9) дает ЕЕ.
Потенциал Вуда — Сикиона 173 Отсюда для собственных значений получается уравнение Х '! ехр [( (ф — 2!р — агс1а — )1 соз ~ — +-ф — 2ф — агс1а' — ) = О, р)= или 3Я вЂ” -(- ф — 2ф — агс1п — = (2п — 1) — ' Х Д !1 2 п=О, ~1, ~2, ... (64. 15) Это уравнение действительно устанавливает связь между () и л, а следовательно, и между Е и е', при данных значениях параметров )т и а. (64.9) вблизи точки у= 1. мы воспользуемся соотношением Г(2ч+1) Г( — 2и) ,Р,(р+ч, р+ч+1, 2ч+1! У) =,( +,, „) х х,Р,(ч+(е, ч+)!+1, 2р+1; 1 — у)+ + — (1 — у) г" (ч — )л, т — р + 1, — 2р + 1; 1 — у), Г(2н+1) Г(2р) Г( +а+ Чг(т+р) е 1 в силу которого Г(2т+1) Г( — 2а) 1 Г(2н+1) Г(2и) Г (и--И+1) Г(е — р) ( У) Г(т+р-1-1) Г(т+И) ( (64.!0) Чтобы проанализировать это выражение, прежде всего заметим, что 1 ) (), и поэтому величина р, согласно равенству (64.7), является чисто мнимой: $/ уе ияе (64.!!) Таким образом, можно написать Г (2Р -1- 1) Г ( — 2Й) Г(у+1 — Й) Г (!1 — Й) Г (2Й) Г (Р+ 1 — Й) Г(Д вЂ” Й) Х ((! — У)' + г ( — 2Й) г (()+1+ Й) г (!)+!!) (1 У)-'") .
(64.!2) Вблизи точки г=О экспонента в правой части равенства (64.3) очень мала, поэтому здесь мы можем приближенно положить 1 у ел1 (64. 13) Пусть далее по определению, ф=агдГ(()+й), ф=агдГ(211). (64. 14) Если теперь опустить множитель, стоящий перед квадратными скобками в выражении (64.12), что мы вполне можем сделать, так как наша функция не нормирована, и затем подставить туда вместо 1 — у выражение (64.13), то граничное условие нам даст . хи 7 ~„ '! . йл е ' +ехр (2еф — 4!ф — 2! агс(п р)е ' =О. !74 П. Задачи без учета спина. Г. Сгдеричесли симметричные потенциалы Формула (64.15) все еще мало пригодна для практического использования. Однако с помощью разложения" Г (х+ !у) = $егч, Р ччу! ! у т! = у — С+ ~~„( — — — агс!и ~ и р х+и — !г )' чэ' где С=0,6772...
— постоянная Эйлера, мы можем получить для аргументов ~р и чр 1"-функций удобные для практических целей явные выражения: чр= — — +2Л~ — С+та ( — — — агс!и — ) 2 [ Л (н 2Л и)]' ч=1 ср= — агс!ц — +Л ~ — С+ а, !ч — — — агс!и '— ) Подставляя эти выражения в уравнение (64.15), получаем — — ( агс!д — 2 агс1ц — у!+ агс!и — =оп.
(64,16) Л Л + Ру' Для дальнейшего анализа удобно ввести новые параметры: А= — = ~„— ((г,— !Е !)~ ', и= — = [ — ) Е!'] (64.17) й ! у — ~ ~2т ~'Ув Эти параметры не зависят от толщины поверхностного слоя а и поэтому сохраняют смысл в предельном случае простой потенциальной ямы, когда а — О. Используя введенные параметры, уравнение (64.!6) можно переписать в следующем виде: Р ч= — ~ч[чп — с (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
