Том 1 (1129330), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В классической механике импульс р„сопряженный радиусу г, определяется как проекция вектора р на направление радиус-вектора г: р„= — (рг). (59.1) В квантовой механике это определение из-за некоммутативности компонент р и г становится двусмысленным; классическому выражению (59.1) априори могла бы соответствовать любая линейная комбинация вида р,= йр — +(1 — )) — р, г г Оператор р, должен быть эрмитов, т.
е. р„=-р~. Это дает Х= 1 — Х или Х=- '/, и, следовательно, ! г г р = 'р —,+ грьг=( ° г (59.3) Чтобы показать, что это симметричное выражение действительно является оператором, канонически сопряженным с радиусом г, мы должны проверить справедливость перестаповочного соотно- шения =Ф Ргг грг= г (59.4) Зпмечание. Действительные комбинапик типа (58.2) играют роль в квантовой химии, где предпочтительнее рассматривать не момент количества движения, а избранные направления, определяемые местоположением соседних атомов в молекуле. бб. Решения, бкиекие к тбппеенным функциям 161 Эрмитовость этого оператора легко показать, непосредственно проверив справедливость соотношения <и ) Рео> = <Реп ) о> для любой пары комплексных функций и и о, для которых эти интегралы имеют смысл.
Мы находим ° Абдо ! <Р "1о>=5 [1 (б + н)3 о'(т=~ ~ Т~бе+ " )1~~~ Эти два интеграла будут равны в том случае, если —. ~ ( иа — + и' — с + — о+ и' — п ) е(т = О, .3~ 'б. ' ° а. или Еао), (а нн~.~ — ',) а,-а. Внутренний интеграл можно преобразовать к виду б, (и'~~') а) =-1ее' «'),", о так что он действительно обращается в нуль, если функции и' и о конечны в точке г=О и исчезают на бесконечности. Следует, однако, заметить, что нормировочные интегралы <и ~и> и <о)о> существуют и в том случае, когда функции и и о имеют в начале координат особенность вида Пг. Таким образом, одного условия нормировки не всегда бывает достаточно для исключения не имеющих физического смысла решений, например в случае сфе- рнчески симметричной ямы при е'=О.
Задача 60. Решения, близкие к собственным функциям Дана потенциальная яма радиусом а с характеристическим безразмерным параметром В" = — У а'=9, «» а где У,— глубина ямы. Построить графики волновых функций для 1 = 0 и йа = 2,20; 2,28; 2,36 (й †волнов число внутри ямы). Этн значения произведения йа выбраны таким образом, что онн лежат довольно близко к паиннзшему собственному значению. Решение. Обозначим посредством (ка)а = Ж" — (/га)* (60 !) 6 на ~ооо 162 П Задачи без ичепю спина. Г.
Сфзрически симметричные потепяиальг энергетический. параметр вне ямы, тогда волновая функция внутри и вне ямы будет соответственно иметь вид и, = —, з! и (йах) 1 (60.2а) и, = з)г [ха (х — 1)1 + й с!т (ма (х — 1)1, (60.26) где .х=— (60.3) — безразмерная радиальная координата с радиусом ямы в каче-. стве единицы длины. Нормировка волновой функции выбрана йч йг -дг -йэ аа- Ф нг 34.
Волновые функции лля энергетических уровней, блнзкнх к собст- венному значению гвмнльтоннзнв. таким образом, чтобы выполнялись начальные условия и=-0 и с(и/г(х= 1 при х=О, а коэффициенты функции и,(х) определены из условия непрерывности и и и' на границе ямы в точке х:=-1. Для получения собственных значений необходимо потребовать, чтобы коэффициенты при гиперболических функциях в формуле (60.26) удовлетворяли соотношению соз йа в!н йа ха йа которое с учетом равенства (60.1) можно записать в виде 1н йа 1 йа )/И г (йа)т (60.4) (ср. задачу 25).
Для случая Ярз=9 решение равно йа = 2,2789. (60.5) Волновые функции (60,2а) и (60.26) изображены на фиг. 34, здесь же схематически показаны потенциальная яма и соответ- бд Каадрупоаьяый момеит ствующие энергетические уровни. Если выбранное значение энергии (да=2,20) меньше собственного значения, то длина волны внутри ямы оказывается слишком большой, и уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы недостаточно для того, чтобы заставить ее асимптотически стремиться к нулю — на больших расстояниях волновая функция вновь возрастает.
С другой стороны, если выбранное значение энергии (да=-2„36) слишком велико, а следовательно, длина волны внутри ямы слишком мала, то уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы оказывается чрезмерным и она обращается в нуль уже на конечном расстоянии, но в дальнейшем, будучи отрицательной, вновь возрастает по абсолютной величине. Промежуточное значение энергии (да=-2,28) настолько близко расположено к собственному значению (60.5), что волновая функция вне ямы почти точно стремится к нулю. Так как тем не менее эта энергия всетаки немного больше энергии основного уровня, то амплитуда волновой функции иа большом расстоянии от ямы становится отрицательной и растет по абсолютной величине — это возрастание отсутствует лишь для того значения произведения йа, которое определяется формулой (60.5).
Задача 61. Квадрупольный момент Для частицы в сферически симметричном поле вычислить квадрупольный момент в случае состояния с определенными значениями квадрата момента и его проекции на ось г. Решение. Волновая функция, описывающая интересующее нас состояние, имеет вид и= — ~,(г) У, „(О„~р), ! (61.1) а тензор квадрупольного момента, согласно определению задачи 54, равен 9м —— Зх,х,— г'б, . (61.2) Мы должны вычислить квантовомеханические средние Ю <ф„> = ~дг (ц,(г) ~'$Ям( 1', !'НЙ.
(61.3) о Недиагональные компоненты тензора (!м зависят от угла ~р соот- ветственно как соз~рз!п~р, соз~р и з!п~р, в то время как ~)г, от угла ~р не зависит, поэтому соответствующие' интегралы обра. щаются в нуль. Для диагональных компонент Я„„= г*(3 з!п'б сов'~р — !), 9„э — — г' (3 з(п' д з (п' ~р — 1), Я„= г' (3 соз' б — 1) 164 1). Задачи без учета спина. Г. С4ерически симметричные потенциалы интегрирование по вз дает множитель '/я, и так как — 3!изб — ! = — — (3 созе 4) — 1), 3 . 1 2 то интегралы <()„„> и <Дее> можно свести к интегралу <1',)„>: <(сея> '(сее> 2 <(чсс> (61.4) Вводя сокращенное обозначение Ф <">=)")х ()~'(, а мы, таким образом, имеем <(')„> = <сз> ф (3 соз' б — 1) ! )с, !асс: Интеграл в (61.6) легко вычислить, если воспользоваться соотношением соз Ь)с, (б, ер) =-а, )с,т, +а,, У'.
ими (61.7) (61.5) где (1+т+1) (1 — т+1) (21+ 1) (21+ 3) Учитывая ортогональность сферических функций, получаем <я„> = <Гз> (а', + а,', „) " Квадрупольный момент исчезает также прн 1=3, т=2, однако зто является единственным исключением нз правила по крайней мере вплоть до значений ! = 16. н элементарное вычисление теперь дает 21 (1+ 1) — бте (21 — 1)(21+3) ' (61.8) Мы видим, что квадрупольный момент отсутствует только у Я-состояний (и = 1 = 0), что является следствием сферической симметрии " Лля Р-состояний мы, например, имеем 4 Г 3 <Я > = <Гз>.— ( 1 — — лчз) .
5 (, 2 Состояние с не=О, соответствующее распределению вытянутой формы, характеризуется положительным значением <9„>. У состояний с аз=~-1 компонента <9„> в 2 раза меньше по величине и отрицательна, что, очевидно, соответствует распределению сплюснутой формы. Это представляется вполне разумным, так как суперпозиция всех трех состояний приводит к сферически симметричной конфигурации (конфигурация замкнутой оболочки). На самом деле эффект замкнутой оболочки имеет место для любых значений 1, Суммируя по всем состояниям, относящимся 1бб 11.
Задачи беэ учета слона. Г. Еферически симметричные потенциалы с асимптотикой (иц г !их 1г(г) з(п (г — — 1, и, (г) — соз ( г — ) (62.5) при больших положительных значениям г. Вблизи начала координат, когда (г(<~1+!1„эти функции аппроксимируются первыми членами соответствующих степенных рядов: 201 г ы (2!11 (62.6) ' (И+ 1) 1 201 Второе слагаемое в решении (62.3) при г — 0 дает вклад в )(х-г ' и в и г ' '. Следовательно, чтобы обеспечить существование нормировочного интеграла ~ ( и ~х х(т = ) ( )( (х с(г = 1 (62.7) о необходимо положить в формуле (62.3) С,= О. Эти соображения, однако, не применимы к случаю 1=-О, когда сингулярность функции и слишком слабо выражена и не может привести к расходимости интеграла в точке г=О.
Но и в этом случае мы должны исключить сингулярное решение, так как оно приводит к расходимости в точке г=О интеграла для среднего значения энергии": Е =- — ) (уи)а с(т йх !' (62.8) (см. также задачу 65). Таким образом, в качестве нормируемого решения мы должны взять )(! (г) = С1, (юг). (62.9) Из этого набора решений собственные функции отбираются путем наложения условия (62.10а) 1х(И)=0, или ,7!+хт,(м) = О. (62.106) Для каждого фиксированного значения величины 1+а/х функция Бесселя обладает бесконечным числом нулей, поэтому мы получаем бесконечное число значений й„,,! и бесконечное число энергетических уровней Ьа Ечг,! 2 йлг, ! (62.1! ) для каждого значения величины 1(п,=1, 2, 3 ...— радиальное квантовое число, определяющее число нулей). х! Дли 1=0 и малых г ато решение принимает аид и — !/г, а интеграл для кинетической энергии эаписыааетсн как Е !)дг,(ге.
б2. Частица внутри ненрониновмой сферы !бт Для низших значений 1 сферические функции Весселя имеют вид в1п г 1о (2) = З1П 2 )т (2) СОЗ2 (62:12) 1,(г)= — 3 о '+( —,— 1) з!пг, а для более высоких значений 1 явный вид этих функций легко находится с помощью рекуррентного соотношения 1, (г) = — 1,, (г) — Д, (г). ! (62.13) гбу гбо гбп в С й 7ЦО гу пг-! п,.-г пг-Ю п„б Лсе термы фи г. 35 Энергетические уровни частицы внутри непроницаемой сферы. з(пг=.О или г=ип„ (цг=г, зг 1Я2= — в и т. Д. (62. 14) Все они стремятся либо к пи в случае четных 1, либо к (и+в(е)л в случае нечетных 1, На фнг.
35 показаны нижние энергетические уровни (в единицах Ь(2гп)се), а значения пара- Их нули можно определить, уравнения: 1, (г) = О, если 1, (г) = О, если )е (2) = О, ЕСЛН решая несложные трансцендентные !68 ll. Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы метра "„с=й „!)ч не превышающие 16, приведены в таблице (62.16) !2,666 14,066 9,425 10,904 12,323 13,698 Замечание. Зтз задача тесно связана с более простой одномерной проблемой, рассмотренной нами в задаче 18. Решения при ! =0 точно соответствукн антисимметричным залповым функциям для одномерного случая, Задача 63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
