Том 1 (1129330), страница 22
Текст из файла (страница 22)
з Определенная с помошью последних соотношений нормировочная постоянная Аыг, выражается формулой У27+1 т/(1+р+4)!(У+р — 4)! 2 (2р)! [г (з' — р+4) ! (l — р — 4) ! ' С математической точки зрения эти функции примечательны тем, что матрица Я с элементал1и Ямк реализует(2/+1)мерное представление группызмерг ных вращений. В этой связи см.
также задачу 55. !36 П. Задачи бее учета саина. В. Момент количества деикенин Г' (г') 7" (г) — — (е е.) 1"'(г), (47.5) где через е обозначен вектор с компонентами е„, е„е,. Так как последний член в выражении (47.5) есть величина бесконечно малая, то здесь мы можем пренебречь различием между )'(г) и 7'(г'), поэтому выражению (47.5) можно придать иную форму: 7' (г) = ~1+ — ' (е х,)1 7' (г'), й До сих пор мы не пользовались тем, что функция 7 (г) является скаляром, т. е.
инвариантна по отношению к вращениям: 7"' (г') = 7 (г). (47.7) Последнее равенство позволяет все величины, входящие в соотношение (47.6), выразить через старые координаты г, так что окон- (47.6) Фигурирующие здесь бесконечно малые величины е представляют собой углы поворота относительно трех осей х, у, г. Заметим, что обратное преобразование можно получить, либо изменяя знак всех трех величин е, либо переходя к транспонированной матрице А. Следовательно, А =- — А.
(47. 1в) В результате преобразования (47.1а) — (47.1в) функция 7(г) перейдет в функцию 7'(г') от новых координат. Эту функцию можно выразить через старые координаты г, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора: 7' (г') = 7' (г) + (Ьг ч1) 7' (г), (47. 2) где бг= — г' — г= Аг; в (47.2) все члены, содержащие более вы- сокие производные, отброшены. Как следует из фтермулы (47.1б), е,у — еег Аг= — е х +е„г (47.3) е„х — екд поэтому равенство (47.2) можно записать в виде Г(г')=Г (г)+ ~(е,у — вез)д +( — е,к+е„г)д — + + (еех — е„У) — 1 7" (г). д1 Собирая здесь члены с одинаковыми еу и вводя операторы мо- мента количества движения $/ д дт Е = —.
~у — — г — ~ и т. д. (циклические перестановки) (47.4) е ( де дуУ получаем Вд. Мимансе коливесгпва двивсеник в с4ериискик координаеиак 137 чательно оно принимает вид ~'(г) = ~1+ — (е Е)~ 7(г). Й (47.8) г' = г соз б' = г (соз 6 — 68 з)п б), а, с другой стороны, г' = г — е„у ч г (соз 8 — е„з1п б з 1п ер), то из сравнения этих выражений вытекает бб = ен з1п ~р. (48.3) Задача 48. Момент количества движения в сферических координатах Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, выразить компоненты оператора момента количества движения через сфе- рические координаты.
Решение. В равенстве (47.5) мы вместо 7"' будем писать ф, так что оно запишется в виде вг' (г') = ~1 — — (е Е)1 вр (г). й (48.1) Прежде всего произведем поворот вокруг оси г. Этому повороту соответствует преобразование с'=г, 6'=6, <р' =~р — е,. Отсюда с помощью разложения в ряд Тейлора получаем $(г') =-вр(г)+(~р' — ~р) д — — ~1 — е,—,~ Ф (г).
д~) 1 С другой стороны, в соответствии с формулой (48.1) имеем вг (г') =- ~1 — — (е,(-,)1 ф (г). Сравнение этих выражений дает 7.,= —.—. Й д (48.2) Рассмотрим теперь поворот системы координат на угол е„вокруг оси х. В этом случае по-прежнему будет г'=г, но оба сфери- ческих угла б и ф изменятся: б =б+бб, ~р =~р(бц. В прямоугольных координатах рассматриваемый поворот, соглас- но (47.1а) и (47.16), описывается формулами х=х', у'=у+е„г, г'=г — е„у.
Так как, с одной стороны, г = с соз (), у = г з(п д з1п ~р 188 ЕЕ Задачи боэ апета спина, В. Момент нолинестоа движгнин Аналогичным образом, сравнивая выражения у' г в)п д' в!п ф' г (в!п д 81п ф+ бд сов д в(п ф+ бф 81п д сов ф) у' = у+ е„г = г (в1п д в(п ф + е„сов д), полу чаем бд сов д 81п ф+ бф в! п д сов ф = е„сов д, что с учетом формулы (48.3) для бд дает бф= е„сов ф с1н д. (48. 4) Используя формулы (48.3) н (48.4), запишем разложение в ряд Тейлора в виде ф («') = ф («! + -х 6 д+ — бф д дф дд дф о 8 т = ф («) + е„( в 1п ф — + сов ф с1д д — ) ф («) . Из соотношения (48.1) следует ф («') = ф («) —.д- е„Е„ф (г); сравнение этих двух выражений дает й(. а д '1 Е = — —.
(8(пф — +созфс1дд — ). и 11 86 аф г' (48.5) Рассмотрим, наконец, поворот системы координат на угол е„ вокруг оси у. Снова обозначим приращения углов д и ф через бд и бф, которые теперь имеют иные значения, определяющиеся соотношениями х' = г в)п д' сов ф' = г (81п д соз ф -1- бд соз д сов ф — бф в|п д в! п ф) = = х — е„г = г (81п д сов ф — е„соз д) (48.6а) и г' = г сов д' = г (сов д — бд в1п д) = = г 4- е„х = г (сов д+ е„в1п д сов ф).
(48.66) Из формулы (48.66) получаем бд = — е„соз ф, (48.7) а из формулы (48.6а) следует бф = е„в)п ф с1н д (48. 8) Таким образом, ф(г') =ф(«)+е ( — сову — +шпфс1нд — ф(«), д т но последнее выражение должно согласовываться с соотношением ф(г') =ф(«) — — еиЕ„ф(«), 49. Момент количества движения и оператор Лапласа 139 вытекающим из формулы (48.1), поэтому Ге/ д д Х Е = — —. ! — соз !р — +з1п !р с1д б — ) . 1'! дд йг (48. 9) Вместо самих компонент (48.5) и (48.9) обычно удобнее пользоваться их комбинациями: Е+ =-Е„+!1,„= — —,. еив ~ — ! — +с19 б — ), (48.10а) д т Š— =- ń— !Е„=- — —,. е-'о( ! дз-+ с1д б — ~. (48.10б) Выражениями (48.2), (48.5) и (48.9) полностью исчерпывается решение поставленной задачи.
Задача 49. Момент количества движения и оператор Лапласа Записать оператор Е' в сферических координатах. Полученное выражение сравнить с оператором Лапласа и с оператором кинетической энергии. Решение. Используя операторы Е+ и Е , определенные формулами (48.10а) и (48.10б), можно написать з( + )+* (49.!) Произведение Е+Е равно Еч Е = — Фее!э ( — !' — + с!9 б — ! е- сэ ! ! — + с!н б — ). дд др! ! дд ар!. Учитывая перестановочное соотношение е-со =е-сч( !+ ) позволяющее исилючить экспоненту, и принимая во внимание, что — с1Кб= — . +С180— д ! д дд в!пед дд приходим к выражению / де деде.д! Е+Е = — Ь'( ., +с1д 0 — + с(йеб —,+! — ), (49 2) дч) Аналогичным образом можно найти и оператор Е Е+; от только что найденного соответствующее выражение отличается знаком последнего члена.
Таким образом, формула (49.1) теперь дает Г де д де З Е*= — й ~д — „+с(80 И+(1+с(9*0),—.~, дсое~ ' или 1 д l, д Х ! де! !40 П. Задачи без учета спина. В, Момент кояичества двиатния (49.5) Задача 50. Преобразоваиия в гильбертовом пространстве Показать, что любой кваитовомехаиический оператор Р при бесконечно малом повороте преобразуется в соответствии с фор- мулой г'= иют, (50.1) где унитарный оператор У имеет вид У=1 — — (в х.).
Й (50.2) Пользуясь этим преобразованием, найти коммутаторы Е с хя, р„1.я и Ее. Решеиие. На основании соотношения (47.8) мы знаем, что всякие скалярные волновые функции ф и !р преобразуются при поворотах по закону ф'=(гчр и !р'=-У~у, где оператор У определяется равенством (50.2). Всякая измеримая величииа (т. е. всякий матричный элемент, получаемый из оператора Р) должна быть инвариантна по отношению к выбору системы координат, В этой последней записи выражение, стоящее в квадратных скобках, совпадает с выражением для угловой части оператора Лапласа, поэтому можно написать де зд ! (49.4) дге г дг йеге Как известно из классической механики, кинетическую эиер- гию частицы можно представить в виде Так как ей соответствует кваитовомехаиический оператор ( — гое!2т) уе, то равенство (49.4) приводит к соотношению р,= — Ьу* — = — й*( — + — — ~, г ~дге г дг)' которое показывает, что оператор р,' с точностью до множителя совпадает с радиальной частью оператора Лапласа.
Оператор же, соответствующий классическому радиальному импульсу р„теперь получается из выражения (49.5) путем факторизации: (49. 6) В самом деле, последнее выражение, будучи применено дважды, дает правую часть равенства (49.5). Можио показать, что опе- ратор р, эрмитов (см. задачу 59) и что ои и координата г удо- влетворяют каноническим перестаиовочиым соотношениям, бб. Пргобраговаяия в гияьбертовом пространстве нн поэтому <)') Р') ч'> = <И р) ~> (50.3) Заменяя здесь ф' и ф', получаем <ф' (Р' ~ т'> = <(7ф ) Р' ~ ()гР> = <ф ) (74 Р'(7 ) р>. (50.4) Сравнивая последнее выражение с правой частью равенства (50.3), находим искомый закон преобразования (50,1). Подставляя в равенство (50.1) выражение (50.2) и учитывая, что рассматриваемое преобразование является бесконечно малым, получаем Г'=Р— е [Е, Р], (50.5) где [а, Ь] означает, как обычно, квантовую скобку Пуассона: [а, Ь] = — '(аЬ вЂ” Ьа).
Ф х'=х — е [Е, х] у'=у — е [Е, у] г'=г — е [Е, г] (50.6) а с другой стороны, как мы знаем, в соответствии с формулой (47.3) должно быть х' = х+ е,у — е„г, у'=у — е,х+е„г, г' = г+ е„х — е„у. Сравнивая соотношения (50.6) и (50.7), находим (50.7) [Е„х]=0, [Е„, х] [Е. у]=- .
[Е,. у] [Е„, г]=у, [Е„, г] Е„х] Е„у] 1,. г] =г, =О, = — у =х, = О. (50.8) = — х Компоненты всякого вектора преобразуются по формулам, имеющим такую же структуру, как и формулы (50.7), отсюда с необходимостью следует, что и перестановочные соотношения с компонентами оператора момента количества движения должны иметь тот же самый вид, например, [Е„, р„]=0, [Е„, р„] =р„[Е„р„]= — ро и т. д. (50,9) Поскольку момент количества движения сам является вектором, то вышеприведенные соображения относятся и к его собственным компонентам, поэтому [Е„, Е„]=0, [Е„, Е„] =Е„[Е„Е„]= — Еи и т.
д. (50.!0) Если теперь в качестве оператора Г взять прямоугольные коор- динаты х, у, г, то. с одной стороны, должны выполняться соот- ношения 142 //. Задачи бее учета енина. В. Момент количества движения Скалярный же оператор при вращениях не изменяется, и, следовательно, в силу соотношения (50,5) он коммутирует с компонентами оператора момента количества движения. В частности, ((.е)' = 1.е, поэтому [е 1е1 0 (50. 11) н аналогично [е., г'1=0, [е., р'1=0 и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
