Том 1 (1129330), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ед.) получаем 1= 3,69 х 10-' см. Таким образом, условие х>)1, как правило, выполняется очень хорошо. Б. Задачи с двумя или тремя степенями свободы без сферической симметрии Задача 42. Круговой осциллятор Исследовать движение точечной частицы в двумерном потенциальном поле )с = — со' (х'+ у'). 2 (42.
1) Решить задачу в прямоугольных декартовых и полярных координатах с (42.2) г'=хе+у'. Полученные результаты сравнить. Решение а. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шре- дингера допускает разделение переменных: и(х, у) =1(х).д(у), причем каждый из сомножителей удовлетворяет уравнению для одномерного осциллятора (см. задачу 30): 1" + (й,' — Л'х') 1' = О, д" + (Й1 — Леус) д = О, где 2т' ф, Таким образом, для собственных значений имеем й.;=2Л(,+ —,'), й*,=2Л(п,+-,'), илн Е = Ьео (и, + п, + 1), п„пе = О, 1, 2, (42.
3) 42. Круаиоа ипцилллтор ыэ а соответствующие волновые функции имеют вид ип,п, (х, у) — ~п, (х) )п, (у) где посредством 7„, обозначены одномерные осцилляторные функции, определяемые выражением (30.10) с нормировочными постоянными (30.11).
Энергетические уровни в данном случае вырождены, потому что сумму п,+п,=п, (42.4) входящую в выражение для энергии, можно составить из двух целых чисел и + 1 различными способами, и, следовательно, общее решение имеет вид линейной комбинации ип(х, У) = ~~й А„г'„(х) 7, и (У), п,=о где ;Е ! Лп, ! ' = 1. б. В полярных координатах потенциал зависит только от г и здесь также допустимо разде.. ние переменныж и(г, <р)=о(г)е'мт. М=О, ~1, ~2, ....
(42.7) Это приводит к дифференциальному уравнению ( о" + — о' — —, о)+(йп — )ппгп)о=О, 1, Мп г гп первая скобка в левой части которого получилась из лапласиана. После подстановки о=г!и!е р(г) для функции В(г) получается дифференциальное уравнение р" +~'! !+' — 2);) р — (2),(~М!+ П вЂ” й)у=О, которое с помощью замены независимой переменной г иа ! == )пг' преобразуется в уравнение Куммера йпй аг 1г пи 1 ! — „+ ~(! м !+ 1) — т! — „, — —, ((~ м !+ 1) — зх ! Р = о Решением этого уравнения, регулярным прн 1=0, являезся вырожденный гипергеометрический ряд г" (!) =,г",(а, !М(+ 1, О, !20 т!. Задачи бев учета слила.
Б. Задачи с двумя или тремя стел. свабода где ! яе а= — () М(+1) — —. 2 4Л ' (42.В) При больших значениях ! этот ряд расходится как е', что делает нормировку решения невозможной. Только в том случае, если а= — п„где п,=О, 1, 2, (42.9) и, м(г, ~р)=Сл, мг~м1е,р,( — и„) М(+1; Лгч)е'мв (42. 10) Е= вась (! М 1+ 1+2и„). (42. 11) Так же, как и в случае равенства (42.4), можно положить ) М )+ 2пе = и и снова подсчитать кратность вырождении, для которой полу- чается то же самое значение, что и выше. в. Сравнение результатов.
Каждое решение (42.10), с одной стороны, есть собственная функция оператора проекции момента на ось, перпендикулярную плоскости движения, Й д Е = — —, д,у принадлежащая собственному значению ЙМ: (,,и„,, м=ЬМи, м (42. 12) С другой стороны, за исключением основного состояния, отдель- ные сомножители в волновой функции, полученные разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, не явля- ются собственными функциями оператора момента. Однако можно найти такие значения постоянных А, в формуле (42.5), чтобы получающаяся линейная комбинация вырожденных функций сво- дилась к выражению вида (42.10). Ниже приведено несколько примеров, относящихся к первым трем низшим состояниям; в правильности соответствующих формул можно убедиться не- посредственной проверкой.
а=О (основное состояние, невырожденное); а, = О, М = О, а=О, Е=йса, и„ , (г, ~р) = 1/ — е * = и„(х) и„ (у). вырожденный гипергеометрический ряд обрывается, превращаясь в полинам, н волновую функцию можно нормировать. В таком случае имеем 121 вз. Эффект Шогарка двя двумерного роногнора п=1 (дважды вырожденные состояния); и,= О, М = ь. 1, п = 1, Е = 2ггво, л и, ~,(г, ~р)= ге ' е+ав==[и,(х)и,(у) ~(ио(х)и,(р)1. п = 2 (трижды вырожденные состояния); и, = 1, М = О и п,=О, М=~2, Е=ЗФнз, ух — гг и,,(г, ~р)= ~/ — (1 — )ьгз) е = — [и,(х) и,(у)+и,(х) и,(у)), )Г 2 ,г» ",г ио,~з(г <р)= ~г — )гзе в ее»ге — Уя = — [и, (х) и,(у) — и,(х) и, (р) ~ 1 )г 2 и, (х) и, (у)1.
Замечание. Полученные здесь результвты следует срввннть с результатами звдвч 65 и 66, тле рвссмотреи трехмерный изотропный оспиллнтор. Задача 43. Эффект Штарка для двумерного ротатора В плоскости вращается жесткий ротатор с моментом инерции В и электрическим дипольным моментом р. Исследовать влияние однородного электрического поля в)з, направленного по оси х, на уровни энергии ротатора. Решение. Невозмущенный ротатор описывается уравнением Шредингера ге»з аза — — — = Еи.
2В воз= (43.1) Собственные функции и собственные значения соответственно имеют вид ~т>=- е' е, т=О, ~1, ~2, ... (43.2) )Гзи Взтз Е и (43.3) Возмущающий потенциал (г (<р) = — рзу соз <р (43.4) достигает минимума ( — рег) при ~р=О и максимума (+рег) прн гр=-и. В первом порядке сдвиг невозмущенных уровней (43.3) определяется формулой А,Ем= <т ~У)т> = — р~~ ') е-' осокоре' егйр.
о <22 П. Задачи бев учета спича. Б. Задачи с двумя ияи тремя степ. свободы Так как интеграл в последнем выражении обращается в нуль, то <я,Е„= О. (43.3) Эффект Штарка второго порядка, пропорциональный еуч, вычисляется по формуле (43.6) м т Фигурирующие и этой сумме недиагональные матричные элементы У равны <т'~У(т>= — ~ ( е'<"-"'<исоа<ребр 2п,) о ! = — 2 РЯ (Бт те<+ б„,,). (43.7) Таким образом, сумма (43.б) состоит всего-навсего из двух слагаемых с т'=т~1: Л Е = — чауч! 2и( ! ! 4 Р Ея ( тч — (т — !)ч +те — (т+ !)ч~ ' или (43.8) Собственные функции в этом приближении определяются по общей формуле и„=!т>+ )т'> (43.9) Х~в Ем Е где сумма опять-тани содержит только два слагаемых: и = — (е<тч+ — р<Б ~ — е« "<ч — — е'< -<<ч~ ) (43 10) г ! '" у'2а ( 2 12т+ ! 2п< — ! В том же приближении для относительной вероятности различных ориентаций диполя получаем ~! 4тч — ! (43.1!) В случае, когда т = О, имеем ( и„! е = 1+ 2Р8 соз <р, т.
е. вероятность обнаружить диполь, ориентированный по полю (<р=О), максимальна, а против поля (<р=п) минимальна. Этот результат, как очевидно, соответствует статической ориентации диполя в классической теории. Если же тчьО, то у дополнительного слагаемого в формуле (43,11) изменится вне<э и поведение диполя будет иметь противоположный характер. Этот результат также можно уяснить с помощью классических модельных представлений: при своем вращении диполь проходит поло- 123 44. Ион лслгкулы водорода жение ф= 0, где потенциал минимален, с большей скоростью, чем противоположное положение.
Следовательно, если сделать большую серию статистически независимых моментальных снимков, то на ннх диполь чаше будет обнаружен вблизи положения ф =-и, чем вблизи положения ф= 0. Замечание ) Состояния ) ш > и ) — т> вырождены, однако нет никаиой необходимости использовать вместо самих волновых функций ~ т> и ~ — т> их линейную комбинацию ) $, ) ш )>=гав ~,„1)т>+31 1,„~ ) — ш>, $=1, 2.
Это обьясняется тем, что матричный элемент энергии возмущения < — т )(г ) т> равен нулю, и, следовательно, возмущение не смешивает указанные пары вырожденных состояний. Замечание 2. Если задать магнитное поле 2Е, направленное перпендику. лярно плоскости движения ротатора, то в гамильтониане появится дополнительный член, обусловленный энергией взаимодействия 1 маг= еФ вй где едй — магнитный момент ротатора, связанный с его моментом количества движения соотношением егхв = — Е, е 2Мс а М и е — масса и заряд ротатора соответственно.
Таким образом, е $ д . д ета 1 маг= Я~ ° = врЯ р= 2Мс 1 дф дф ' 23(с и уравнение Шредингера (43.1) теперь заменится уравнением Ф* д'и . д~ — — — +(РЯ вЂ” = Еи. 2Е дфд др= Решениями последнего по-прежнему являются функции (43.2), однако приищи лежат оии другим собственным значениям: йз Е = — лга — РЯш.
2вт Эти собственные значения уже более ие вырождеиы по отношению к знаку ш (эффект Зеемана на плоскости). Задача 44. Ион молекулы водорода Получить приближенное значение энергии диссоциацни для реакции Н+, — Н + Н+, взяв электронные волновые функции в виде линейной комбинации функций в! ° вт )а>=т е та и )Ь>=1 е (44.!) ргп где г, и г, (фиг. 30) — расстояния между электроном и протонами, расположенными на фиксированном расстоянии Я друг от друга. Параметр у считать вариационным параметром Ритца. Определить 124 Н. Задачи Еев учета спина. Б. Задачи с двумя ияи тремя степ.
свабода Ни = — — 7*и — ( —, + — ) и = Е,и, (44.2) где Е,— энергия электрона. При этом энергия молекулы для фиксипованного положения ядер будет равна ! Е„,„= — + Е,. Мы будем пользоваться варнационным методом, согласно которому последнее выражение должно иметь минимально возможное значение: а ~? Ь Фнг. 30. Е„„= <и ~ Н(и>+ — =Минимум 1 при условии (44. 4) <и/и>=1. (44.5) Рассмотрим линейную комбинацию и = а!а>+ () ! Ь>, (44. 8) где функция !а> так же зависит от переменной г„как функция (Ь> от переменной гв.
С учетом нормировки наших функций имеем <а(а> = 1, <Ь1Ь> = 1, <а)Ь> = <Ь)а> = 5, (44.7) где через 3 обозначили так называемый иепеграл перекрытия. Теперь выражения (44.4) и (44.8) можно записать в более развернутом виде Е„= (ив+ ря) <а ! Н ~ а>+ 2ар <Ь ~ Н ) а>+ — =Минимум (44 8) а*+ р'+ 2аро = 1. (44.9) Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что имеется два решения — симметричное — е — ~ — — — ~-~ — (44. ~ Ю) 1' 2(1+З) 1+З и антисимметричное У2 (1 — З! равновесное расстояние К, между протонами и в дальнейшем учесть нулевую энергию их колебаний. Решение. Сначала будем считать, что положения двух протонов фиксированы и расстояние между ними равно )? (приближение Бориа — Оппенгеймера).
В этом случае уравнение Шредингера для электрона в атомных единицах принимает вид ЕЕ. Ион нолввули водорода 125 ! <Ь ! Н ) а> — — ' у'Я + (у — 2) ву, (44. 17) поэтому ! уь4 т(т — 1) — Ф+(т — 2)84 ! (44 13) ьоь 27 !+Я Нам осталось вычислить интегралы и", 6. н Я. Так называемый кулоиовский интеграл й характеризует нулоноееное притяжение между протоном Ь и „облаком" отрицательного заряда, которое окружает протон а и описывается волновой функцией ~а>, Этот интеграл можно вычислить, воспользовавшись разложением (см.
фиг. 30): —., ~Х' ® Р„(созб.) =о ~Ч~~ ( ) Р„(соз б,) ь прн г,( Я, гь при г,) Я. Из этого разложения только член с а=0 дает вклад в интеграл и, вычисление которого теперь тривиально: Ж = —,(1 — (1+7Н) е ьтн). 1 (44.19) Симметричное решение принадлежит более низкому энергетиче- скому уровню и, таким образом, соответствует основному со- стоянию молекулы, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рас- смотрен!(ем соотношений (44.10), Для нормированных функций 1а> и !Ь>, определенных соот- ношениями (44.1), непосредственное вычисление дает 1 т †! Н !а>=~ — — у'+ — — — ~(а>, га гь ! поэтому <а(Н~а>= — ) е-'в"! — — у + — — — ) ь(т, (44.12) тг,г н,) (, 2 г„гь ) <Ь ) Н ) а> = — д! е- т !' +'ь! ( — — У'+ "— — — — ) в(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
