Том 1 (1129330), страница 18
Текст из файла (страница 18)
25 показана зависимость коэффициента отражения от глубины потенциальной ямы для двух энергий, соответствующих значениям й|2ге= 0,1 и )е!2а = 0,2. Эта же картина повторяется и в лю- йа бом другом интервале и < г ( л+ 1, где и †цел число. Связанные состояния. При от- йгта й! рнцательных энергиях существуют ш ца дискретные собственные значения. В этом случае можно положить й = !и, так что энергия будет равна ~/г -йг Лзнз Е= —— 2т (39 23) ш уа а параметры (39.6) Ф и г. 25.
Зависимость нозфя Т финиента отражения от глубины а= 2 ~)ь + — / потенциальной ямм лля двух (39.24) значений энергии. или — =) — 1 — 2п, Х и а в случае нечетных состояний и н 1 — — + — — — л, 2 2а будут действительными величинами. Снова можно воспользоваться аснмптотическими формулами (39.11а) и (39.1!б), однако теперь в этих формулах первое и второе слагаемые ведут себя соответственно как е"!'! и е-"1*!. При к) 0 существование нормируемых решений возможно лишь в том случае, когда фигурирующий в первом слагаемом множитель обращается в нуль. Теперь все аргументы Г-функций действительны, а их полюсы расположены в точках, соответствующих целым отрицательным числам — п(и=О, 1, 2, ...), поэтому собственные значения находятся из соотношений: в случае четных состояний ! — !г и — + — = — и 2 2и 112 О.
Задачи дет учеага спина. А. Одномерные задачи или — = Х вЂ” 2 — 2л. и И л 0 Задача40. Свободное падение вблизи земной поверхности Частица движется в однородном гравитационном поле над повер хи остью земли, которая предполагается абсолютно упругой (например, стальной шарик, танцующий на стеклянной горизонтальной пластине). Проанализировать эту классическую задачу с точки зрения квантовой теории, Решение. В квантовой теории скачкам стального шарика соответствует стационарное состояние.
Для отыскания этого состояния необходимо решить уравнение Шредингера йт гни — — — + (гпйх — Е) и = 0 2лг длт (40.1) в области х) О. Выше через х обозначена высота над поверх- ностью земли, а гравитационный потенциал взят, как обычно, в виде )г(х)=-пуйх. Предположение об абсолютно упругом харак- тере отражения при х=О приводит к граничному условию и(0) =О. (40.2а) Кроме того, сюда следует добавить естественное условие и (оо) — О. (40.2б) Отсюда после очевидных изменений Х вЂ” н 1 2 3 Е з и е ад Ф и г. 26. Зависимость ввергни связанных состояний от размера молифииированных потенциальных ям Певгля †Теллера.
Пунктнрнал лнннн харлктерньутт глубину нотенннзльноа «ив. в обозначениях для уравнений энергии получаем п(Х вЂ” 1. (39.25) При четных л эта формула дает уровни четных состояний, а при нечетных и — уровни нечетных состояний. На фнг. 26 показана зависимость энергии связанных состояний от размера потенциальной ямы. Следует отметить, что при целом Х всерда имеется один связанный уровень (и = =-)ь — 1) с нулевой энергией. тд.
Свободное падение вблизи земной наеерхнаааш Нз — ", — си = 0 (40.5) и ( — )ь) = 0; и (оо) — О. (40.6) Ф и г. 2?. Первые десять зкергетических уровней в гравитапионном поле над поверхностью земли. Фиг. 28. Функция Эйри. Классически разрешенная область движения заключена между классическими точками поворота $= — Х и 3=0 (фиг. 27), т.е. ей соответствуют исключительно отрицательные значения переменной 9. Решения дифференциального уравнения (40.5) выражаются через функции Бесселя порядка 1/3.
Решение же, удовлетворяющее граничному условию и (оо) = О, представляет собой функцию Эйри (см. фиг. 28) ы и(9) =С А19. (40.7) Для положительных значений 9, т.е. правее точки поворота $=-0(х=Х() на фиг. 27, зту функцию можно выразить через модифицированную функцию Хаикеля: у 37чч (3йч*)' 9)О. (408) м В настоящее время имеются хорошие таблицы функции Эйри и ее нулей. См., например, Абгаааха!1з М., ЕГеаин Е Е., Напйьоой о! Маьйешаиса1 РипсПопз, Ыете Уогй, !!очес Рцы., 1965 Приводимая ниже таблица нулей взята из указанного источника. (См. также Яковлев Г. Д., Таблицы функций Эйри, изд.во „Наука", М., 1969.— Прим. Ред.) Если ввести обозначения 2глзд 1 2гнЕ Х йе 1а йз 1з (40.3) и безразмерную переменную 9=- — Х, (40.4) где ! — характерная длина„то уравнение (40.1) и граничные условия (40.2а) и (40.2б) примут соответственно вид 1!5 40.
Свободное падение эблизи земной поверхности воспользоваться асимптотическими формулами / 2 / 5пд тг2 г пт ,/ ь(г) эг — соз ~~г — — ), У ч,(г) — !гг — сов(г — — ~, Р пз (, !2 )' пз (, 12) ' из которых следует, что при больших отрицательных значениях $ и ($) — — /$ ( и соз ( — (сь)ч — — ) . (40.12) Отсюда в дополнение к приведенной таблице при а>)1 получается соотношение (40.13) — Л '=~2и — — ) —. 3 " ~ 2)2' Последнее после очевидных преобразований принимает вид Е» = — ~ 4 ! 2п — )~ при л)~1.
(40.14) Замечание 1. Аснмптотнческне формулы (40.9) н (40.!2) полностью согла. суются с формулами, которые получаются с помощью метода ВКБ (см. за. дачу 115, где рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении волновой функции за классическую точку поворота без использования функции Эйри). Замечание 2. Характерную длину 1, фигурирующую в данной задаче, можно вычислить для любого значения массы т. Для электрона мы находим 1=0,088 см, для частиц с большей массой получаются меньшие значения м (1 — т Ь), Фундаментальная энергетическая постоянная данной задачи, согласно равенству (40.!4), имеет вид лз е= —, 2тм ' что в случае электрона составляет 1,03К10-зз эрго.
Порядки приведенных величин дают наглядное представление о крайней малости квантовых эффектов в случае макроскопических тел. Для таких тел длина волны, отвечающая функции (40.12), будет чрезвычайно мала и, следовательно, лишь усредненное по многим периодам выражение из будет иметь непосредственный физический смысл: — Сз эм Се 1 У Л вЂ” —" Обозначая через 6=Л! высоту в классической области, мы. таким образом, нл~еем 1' 5 — х что в точности соответствует предсказаниям классической теории.
В самом деле, издх есть вероятность обнаружить частицу (танцующую в стационарном состоянии!) в интервале дл. Тах как эта же вероятность пропорциональна " Приведенные значения прежде всего следует сравнить со значениями соответствующих величин з задачах атомной физики. Так, радиус первой боровской орбиты равен 5,29Х 10-з см, а энергия ионизацни атома водорода составляет 2,18х !О-ы эрг. Это сравнение показывает, что в задачах атомной физики влияние силы тяжести можно не учитывать.— Прим, дед. ыб П. Зидичи без Ечеша глина, А. Одномерные задачи времени Ж, в течение которого частица находится в уквзвнном интервале, то и' дх — Ш, и для скорости частицы получаем и=дх~дг — УЬ вЂ” х, что, очевидно, согласуется с классическим выражением о= У 2Е(а — х).
в/1 Е ~ — йзшка=е.— Задача 41. Ускоряющее алектрическое поле Пусть металлическая пластина испускает в положительном направлении оси х поток электронов с начальной энергией Е, которые потом ускоряются электрическим полем 8, приложенным в том же направлении. Сопоставить классическую формулу для скорости электронов на расстоянии х от поверхности излучающей пластины, — лгоа = Е+ е8х, (41.1) ! с результатами квантовомеханического ана- лиза данной задачи. Ф н г. 29. Ускорение электронов однородным злектрическим полем.
Решение. Так как )г (х) = — е8х, то необходимо решить уравнение Шредингера — — — ", — ерохи = Еи (41.2) в области х > 0 (фиг. 29), причем нужные нам решения этого уравнения должны представлять собой волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х. Как и в предыдущей задаче, введем характерную длину 1 и безразмерный энергетический параметр Х, определенные соотношениями 2амю. 2тЕ Д йа — 1з ~ йз Р (41.3) Любопытно отметить значительные математические трудности, возникающие при решении рассматриваемой задачи, которая в классической механике является одной из самых простейших, домашние 3. В данной задаче нулевая знергня, Е, зхь по порядку величины равна в. Этот результат легко получается с помощью соотношения неопределенности, Ьр Ьх=л. Действительно, Ьр га У 2тЕ, а размеры классической области равны ах= Е/тй. Таким образом, имеем Ьр ах= ГгйтЕ ° — =а, Е ше что для энергии дает величину ожидаемого порядка: !!7 4д угкоряюи(ее электрическое поле а также безразмерную переменную $= х +Х.
(41.4) В результате получаем дифференциальное уравнение — е+Ци=О, (41.5) которое требуется решить в области $ ) )ь. Решение, соответствующее расходящимся волнам, имеет вид и($) С !l 'зН)7-,! ( з $ч ) ' (41'8) Как следует из формулы НЦ~ ~г/ — -ехр ~! (г — — Я, оно имеет аснмптотикуо зем 2! Ч и ($) — Се " 5 — ч е ' (41.7) Чтобы сопоставить выражение (41.1) с нашими результатами, сравним теперь плотность потока частиц (41.8) с плотностью частиц р=йи; (41.9) отношение этих плотностей даст нам скорость частицы о.
Из формулы (41.7) иолучаем г(х ! ( 4$+ ) ч) так что соотношение (41.8) теперь дает или х. — ь ух+и о= — = — 'р 5=в р т! ! т !зге " Заметьте, что асимптотика (41.7) совпадает с асимптотикой, получаемой методом ВКБ. Здесь, как и в предыдущей задаче, мы не пользуемся функцией Эйри, поскольку в данном случае никаких трудностей с аналитическим продолжением не возникает. Более того, нужное нам решение представляет собой линейную комбинацию функций Эйри первого н второго рода; гл и=С )гне з (А!( — В) — (В1( — й)1. 118 П. Задачи бев учета слила. Б.
Задачи с двумя или тремя стел. свободы что с помощью равенств (41.3) можно записать в виде = г'с'е ( ~~.) — Г' — ~' е <-е в полном согласии с формулой (41.1). В наших рассуждениях мы пользовались аснмптотикой волновой функции, т. е. считали, что ~)) 1 или х))Е Характерную длину 1 можно вычислить по формуле (41.3). В случае электрона н для вполне разумного значения напряженности поля е.=300 В/см (или 1 эл. стат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
