Том 1 (1129330), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В обоих случаях приближенные значения энергий превышают точные. Значения Е, и Е, весьма близки друг к другу, согла- о ) игс/х= 1. -а Максимум функции и, при х=0 равен 1 (в единицах а-"), у функции и, максимум расположен в той же точке и равен (15/16)О*=О,970, что лишь на ЗоАг меньше. У функции и, экстремумы находятся в точках х= ~г/,а и равны ~1, в то время как экстремумы функции и, равны +-(35/36)не=~0,986 н располагаются в точках х= + (1/)/ 3) а=-~0,577а, так что согласие по величине здесь еще лучше, но имеется сдвиг в положении.
Энергия во всех рассматриваемых случаях определяется вы- ражением Ег. Потенциальная ступенька сне между Е, и Е, несколько хуже, но и здесь ошибка не пре- вышает бось. Задача 37. Потенциальная ступенька Определить коэффициент отражения в поле потенциальной ступеньки: 2 ь ( +1)! 2,е) (37.1) (37.5) 1 е ая а — = — — у (1 — у) —, ау ' 1+ !)! — „= 2(! — у), получаем леа ан Г н' Хя1 у(1 — у) — + (1 — 2у) — + ~ — "~ и = О.
(37.6) еуа ау !у(1 — у) у) Это дифференциальное уравнение имеет три особые точки у=О, 1, оо, н, следовательно, его решение выражается через гипергеометрическую функцию. С помощью подстановки и (у) = ун (1 у)н Г (у), (37.7) 4* Решение. Рассматриваемый потенциал монотонно возрастает от значения У=О при х= — оо до значения 1'=!'„прн х=+оо, при этом наиболее существенное возрастание потенциала проис- ходит на отрезке — 2а < х < 2а: У( — 2а)=0,119Уь и У(+2а)=0,88!Ус. Волновая функция, описывающая приходящую слева волну, должна иметь аснмптотическнй вид и = е'"я+ )7е '"' при х — — оо, Се-к", если Е < !', при х +со, (37 2) и= Се"'", если Е > У, при х + оо, Величина )Я)Я и есть искомый коэффициент отражения.
Чтобы решить уравнение Шредингера :" + Ъ вЂ” — У (х) 1 и = 0 (37,3) ,1„Я ( йь с потенциалом (37.!), введем вместо х новую переменную у (! +ее/а) 1 Используя далее обозначения 2таь 2тае к'=й'а'= —, Е йя=— й' ' Ф и учитывая, что 1ОО (С Задачи дн) чета спина. А.
Однамеанет задачи где Р— (х, — '" =. (й (37,13) а видим, что наше решение по форме будет совпадать с (37.2), если положить Г (» — и) Г (» — и+1) Г (2»+1) Г ( — 2Н) (37 14) »2=12 хе, ре=-хе, (37.8) уравнение (37.6) после несложных преобразований приводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса в стандартной форме: у (1 — у) 1" + [(2» +! ) — (2)с + 2» + 2) у| )'— Ос+») ((с+»+11~=0, (37. 9) Сейчас мы покажем, что частное решение этого уравнения Г" (у) =Сей'2((с+», р+»+1, 2»+1; у) (37.!О) при надлежащем выборе постоянной С как раз удовлетворяет граничным условиям (37.2). НаЧНЕМ С ПрЕдЕЛа Х вЂ” -(-ОО, КОГда у = Е-Г1а — О, И, СЛЕдОВательно, решение (37.10) стремится к 1'(О) =С, так что и (у) — Су" ж Се-™а.
(373 1) Теперь необходимо различать две возможности. а) Х ) х, » — действительное число и больше нуля. В этом случае выражение (37.11) экспоненциально убывает, как н должно быть при Е < )с,. Таким образом, получаем и- Се-к» и Ке = — = ~~ (Ъ; — Е). (37.12а) б) Х < х, »= — (й'а — чисто мнимое число. Тогда и — Се"'* и й" = — (Š— У ). йе 0 (37.12б) С другой стороны, при х — — оо, когда у- 1 и 1 — уж же'(а — О, можно применить хорошо известные правила преобразования гипергеометрической функции от аргумента у в гипергеометрическую функцию от аргумента 1 — у: ,РГ (р+», р+»+ 1, 2»+ 1; у) = -„-(( „)Г (,-=ф(),Г,(22., Г; (-1, 221.1; 1 — Г)Г Г(2»+1) Г( — 2 .)(1 — 2) "~.Г ( — Г, — 22-(.
— 222-): ) — Г). Г (2»+ 1) Г (2н) (и+») Г Ос+»+ 1) ' С учетом равенства 1 — у=е"!е это дает Г 2 -';1 Г( — 2 ) „) ~~2 +1 Г(2 ) и-С (, н)» „+1)е""у'+Г(„+,)г„+„+1) -" После подстановки 102 П. Задачи без рчеага саина. А. Одномерные задачи следовательно, с -ай+ а (37.хо) Заметим, что зги выражения удовлетворяют соотношению д (1 — мз) = й'Сз, (37.21) которое вытекает из непрерывности плотности тока вероятности в точке, где потенциал имеет разрыв. р=(1+с ж )-'. (37.4а) Замена переменных (37.4) была выбрана с таким расчетом, чтобы частное решение (37.10) удовлетворяло граничным условиям нашей весьма специальной задачи, что при замене переменных (37.4а) было бы невозможно.
Тем не менее весьма поучительно провести все расчеты, пользуясь ааменой переменных (37.4а). Задача 38. Потенциальная яма Пешая — Теллера Решить уравнение Шредингера с потенциалом и где и > 1 и )с > 1. Ограничиться рассмотрением интервала 0<х<п/2и, на границах котода рого потенциал Р (х) обращается в бесконечность. ~э гд Решение. Потенциал (38.1) показан на фиг. 22 для случая )с = 2 и нескольких значений х > 1. Если н=Х, то яма оказывается симметричной по отношению к прямой ссх=п/4, если же х >)ь, то яма а 4 ж перекашивается таким образом, г что ее минимум сдвигается в сторону ббльших значений х.
При Ф и г. 22. Трн различные потен. циальные ямы Пешля — Теллера, 1 < н < Л минимум ямы сдвигается соответствующие а=2 и ныХ. в противоположную сторону, а потенннвльлч» ямл симметрична толь- имеющаяся В точке х= Осингулярча лрл м=х ность становится менее четко выраженной и наконец совершенно исчезает, когда х = !. Вэтом случае потенциальные ямы, имеющиеся в интервалах — и/2сс <х<0 и 0 <х н гт/2а, объединяются в одну потенциальную яму большего размера. Рассмотрение последней можно свести, однако, к случаю Замечание 2. Новая переменная у, равенство (37.4), вводится для того, чтобы сделать коэффициенты дифференциального уравнения рациональныии функциями и тем самым вернуться к классу хорошо изученных дифферен.
циальных уравнений. Этой же цели можно добиться путем другой замены переменных: ЗВ. Потенциальная яма Петля — Теллера х=Л, если воспользоваться тождеством ! ! ! и, кРоме того, заменить а на '/,а и е'ь на ','е(е,. Разумеется, потенциал (38.1) является периодическим, но практически это несущественно для решений уравнения Шредингера, так как между соседними ямами имеются непроницаемые барьеры, обусловленные сингулярностями потенциала й (х), Таким образом, можно ограничиться рассмотрением одной-единственной потенциальной ямы, скажем в интервале О ( х « и!2а, и решать в этом интервале уравнение Шредингера с граничными условиями и=О при х=О и х=— (38.
2) Путем замены независимой переменной (38.3) у=з(плах уравнение Шредингера приводится к виду у(1 — у) и'+ ~ — — уе!и'+ — ~ —,— — 1 и=О, (38А) ! Гае х(х — В Л(Л вЂ” !)1 (2 ) 4 Гае у ! — у где зев йе (38.5) и надлежащим выбором значений р и т оно приводится к гипер- геометрическому уравнению. В самом деле, положив (38.6) получаем у(1 — у)~" + ~(х+ — ) — у(х+Л+1)1 ~'+ + — [--т — (х+Л)ь~ 1=0. (38.7) Общее решение этого уравнения имеет вид ) =С,,с,(а, Ь, с; у)+С.,у' ',г",(а+ 1 — с, Ь+1 — с, 2 — с; у), (38,8) Это дифференциальное уравнение имеет три регулярные особые точки, у= О, 1, ао, поэтому подстановкой =у«(1 — у) 1() 104 П.
Задачи бее учета саина. А. Одномерные задачи где 1 Г Ь1 а= — ' х+Л+ — ), 2 ~ Ь = —,' (х+Л вЂ” '), (38.9) ! с =и+в 2 ч+с — а — Ь= — (1 — Л) (О 1 2 этот вклад сингулярен, и граничному условию можно удовлетворить только в том случае, когда во втором слагаемом обращается в нуль множитель, содержащий Г-функции, другими словами, лишь тогда, когда либо а, либо Ь вЂ” целое отрицательное число. Если а=- — и, а=0,1,2, ..., (38.10) то в силу равенства (38.9) Ь=х+Л+и и, следовательно, Ь вЂ” положительное число. Если же Ь= — л, то а=х+Л+л. Так как при замене параметра а параметром Ь волновая функция не меняется, то оба условия приводят к тому же самому решению.
Заменяя в равенстве (38.10) параметр а его выражением (38.9), получаем следующую формулу для собст- В выражении (38.8) мы еще должны определить постоянные интегрирования С, и С, так, чтобы выполнялись граничные условия (38.2), которые, если пользоваться переменной у, гласят и(0)=0, и(1)=0. (38. 2а) В точке у=О оба гипергеометрических ряда обращаются в единицу, поэтому и ж уи (С, + Суп -") = Су"" т Суо-нич. Так как х ~ 1, то у второго слагаемого имеется синтулярность, отсюда следует, что С, = О.
Чтобы рассмотреть случай у = 1, воспользуемся преобразованием + Г (с) Г (а+ Ь вЂ” с) Г (а) Г (Ь) (1 — у)' ' Р (с — а, с — Ь, с — а — Ь+ 1; 1 — у), Так как с — а — Ь='/ч — Л, то второе слагаемое в этом выражении дает вклад в решение и в окрестности точки у=1: 1 С (1 )ч+с-а — ь Г(с) Г(а+Ь вЂ” с) Г (а) Г (Ь) При показателе 88. Потенциальная яяа Пешая — Теллера венных значении: йз = а' (х + Л+ 2п)' или Е„= — )г, (х+ Л+ 2п)'. (38.11) Соответствующие им собственные функции имеют вид ио (х) = С, з1п" ак совках х х,Р,( — и, х+Л+п, х+ —; з!и ах), ! где постоянную С, следует выбрать сообразно условию нормировки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
