Том 1 (1129330), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(44. 13) ,в г I 1, — 1 ! я (~ 2 га гь ) Вводя обозначения 8 = †„ ) е(т (44,14) и учитывая, что в силу определения (44.7) Я = — ~ е-м !'и+'и в(т, (44.15) после несложных преобразований получаем <а ) Н ) а> = — — у'+ у (у — 1) — й (44.16) !26 ск Задачи бев учета саина. Б. Задачи с двумя ияи тремя стел. свободы Интеграл кс называется обменным интегралом. Он характеризует обменную энергию, являющуюся следствием симметрнзацин собственных функций (замена электрона, находящегося вблизи а, электроном, находящимся вблизи Ь). Обменная энергия не имеет классического аналога. Обменный интеграл б. можно вычислить, перейдя к вытянутым эллипсоидальным координатам с фокусами в точках, где находятся протоны. Для этого надо положить г, = — ($+ т!), гв = — ($ — т!), р от=у(1+у)с)е 'и (44,20) и (1+у)ч+ з у ес ) е тн' 1 (44.21) Если теперь в соответствии с формулой (44.18) записать энергию молекулы Е„ , то она будет зависеть от двух параметров у и Я.
Для дальнейшего вместо у и )с в качестве параметров Ритца, минимизирующих энергию, удобнее использовать величины у и р =уй Подставив в формулу (44.18) вместо 5 выражение а вместо 6 и б" соответственно выражения и"' = — [! — (1+р)е-во! 1 Р (44. 22) (44.21), (44.23) 8' = (1+ р) е-о (все три выражения зависят только от параметра р), 1 ч у (у — 1) — уй'+ у (у — 2) Е7' мое 2 у !+я Последнее выражение можно представить в виде Е„„= 1(р) у~+к (р) у (44.24) получим (44. 25) и нз соотношения '— ;" е=-2у)(р)+й!р) =О а в качестве третьей координаты наряду с $ и т) использовать угол поворота !р вокруг осн молекулы.
В этих координатах элемент объема равен (2) а область интегрирования определяется неравенствами 1 ($ < аа, — 1 ~в) ~+1, О(~р(2п. Такой же способ можно применить и для вычислении интеграла перекрытия Я. Соответствующие результаты имеют вид 44. Ион ноленулм еодорода 127 определить оптимальное значение параметра у. В результате имеем а (р) у= 27 (р) и, следовательно, Е.ол =- 41 Теперь мы должны определить минимум этого выражения, рассматривая его как функцию переменной р. Численные расчеты не представляют труда, хотя и требуют известного времени. Основные результаты таких расчетов приводят«я в нижеследующей таблице. нее Минимум можно определить с еще большей степенью точности, чем это следует непосредственно из таблицы, если аппроксимировать энергию параболой, проходящей через три точки р=2,3, 2,5 и 2,8, Путем интерполяции находим Е„,„= 0,0380 Я вЂ” 2,08)' — 0,5866.
(44.26) Таким образом, равновесное расстояние, соответствующее минимуму энергии, равно Я,=2,08 ат. ед. =1,10 А, а глубина потенциальной ямы составляет )ге = — 0,5866 ат. ед. Чтобы найти энергию диссоциации Е), мы должны учесть нулевую энергию колебаний молекулы, '/,Йео, соответствующую осцилляторному ядерному потенциалу (44.26), и вычесть из энергии связи молекулы энергию связи атома водорода, которая равна '!, ат. ед.
Таким образом 1.) = 2 ($ е + 2 лло) = 0,0866 — 2 Ь(о = 2,36э — 2 ало. 1,0 1,5 2,0 2,3 2,5 2,8 3,0 3,5 0,832 1,1!3 1,216 1,235 1,240 1,228 1,2!5 1,180 0,300 0,500 0,573 0,5848 0,5855 0,5827 0,578 0,550 1,200 1,345 1,645 1,85 2,02 2,28 2,47 2,96 !28 Р. Задачи дев учета спина. Б. Задачи с двумя или тремя степ. сеабади Грубую оценку нулевой энергии колебаний можно получить, ограничившись гармоническим приближением (44.26). Для этого, очевидно, следует положить '/,Мчав=0,0380 (см. задачу 30), где М вЂ приведенн масса колеблющихся протонов.
Отсюда получаем йса = 0,00913 ат. ед., так что нулевая энергия колебаний равна — Йса= 0,00457 ат. ед. = 0,124 эВ. Отсюда для энергии диссоциации окончательно находим Р =-2,24 эВ. Это приближенное значение следует сравнить с экспериментальным значением Р,„,„=2,65 эВ. Такое согласие можно считать хорошим, особенно если учесть, что в нашей теории приближаемой величиной является не энергия диссоциации Р, а глубина потенциальной ямы Уе; экспериментальное же значение 1', равно — 0,6017, и, следовательно, теоретическое значение — 0,5866 содержит ошибку, составляющую всего-навсего 2,6в4.
Задача 45. Наклонное падение плоской волны На прямоугольную потенциальную ступеньку О, х<О, Ут х)0 наклонно падает плоская волна. Найти законы отражения и преломления, а также вычислить интенсивности пучков отраженных и прошедших частиц. Особо рассмотреть случай полного отражения. 2тЕ йч 2т (Š— Уе) ье (45.
1) Предположим сначала, что У, < Е, т. е. что величина К дейст- вительная (сюда автоматически включается случай отрицатель- ных У,). В полупространстве х < 0 решение уравнения Шредин- гера при стандартной нормировке имеет вид и = ее"'+ Яеем' ' х < О, (45.2а) где Ф (и„, й„, й,) — волновой вектор падающей волны, а )е и й'(Й„', йе', я;) — соответственно амплитуда и волновой вектор отра- женной волны. В полупространстве х ) 0 имеется только про- шедшая волна: и = Тес»е, х ) 0„ (45.2б) Решение.
Всюду в дальнейшем будем пользоваться сокращенными обозначениями ео. Наклонное поденке ллоекол волны с амплитудой Т и волновым вектором К(К„, Ка, К,). Упомянутые волновые векторы удовлетворяют соотношениям й' = и'а = йа, К' = К'. (45.3) На поверхности х=О функции и, определяемые формулами (45.2а) и (45.26) и зависящие от переменных у и г, должны совпадать; то же самое относится и к их производным ди)дх. Отсюда следует, что должны быть равны как их фазы й„у+й,г=йеу+));г=Кау+Кег, (45.4) так и их амплитуды 1+ К = Т, й„+ Вг„'= ТК„. (45.5) Прежде всего исследуем уравнения Ф и г.
3!. к определению (45,4). Последующие рассуждения можно волновых вектоРов и Углоа при наклонном падении. существенно упростить, если выбрать ось г таким образом, чтобы й,=О, т, е. направить эту ось перпенди- кулярно плоскости падения. Тогда, согласно уравнениям (45.4), й; и К, также будут равны нулю, и, следовательно, оба вентора, й' и К, будут лежать в плоскости ху. На фиг. 3! показано вза- имное расположение волновых векторов и определены исполь- зуемые ниже углы а, а', 5. С учетом этих определений уравне- ния (45.4) принимают вид А з! п а = А з(п а' = К з1п ().
Из них сразу же следует закон отражения, а=а', и закон пре- ломления Снеллиуса, а!па К (45,6а) а1пр д г л= — = ~ 1 —— (45.66) Теперь из уравнений (45.5) найдем амплитуды Я и Т: ʄ— Дк К соа !) — к соа и Мп (а — Р) ,(„' К вЂ” д сох а — К сох !) а(п(а+Р) ' т к к' ̈́— а„— к соха — й сола 2соа и а(п р (45.7) — к соа Я вЂ” К соа и а)п (а+ 1)) Найденные амплитуды позволяют вычислить интенсивности пучков, которые мы определим как плотности потоков соответствующих частиц: а = — (й() и — ипил). 2(гл (45.8) 3 и |оао позволяющий тем же путем, что и в оптике, определить показа- тель преломления: 130 П. Задачи бвв учета саина. Б.
Задачи с двумя или тремя стен. свододье В полупространстве х(0 в силу формулы (45.2а) имеем 11п (йвсв е„) ессй'вев.г и, следовательно, а = —, ссй + К'й'+ Й (й + й') соя (й — й') г), $ нли более подробно 6 в = — й сова(! — )с'), П1 й з1 п х (1 -1- Яе -1- 2Я соз (2йх соз а)1. л По другую сторону потенциальной ступеньки (х > 0) формула (45,2б) дает г = — Т'К, й ° а~ или более подробно в =- — Ксоз р Т', з = — Кз(п(3 Т'. (45.10) й Из непрерывности плотности потока частиц следует, что компонента зв должна иметь одно и то же значение по обе стороны плоскости х=О, где потенциал претерпевает разрыв: йсозсс(! — )с') =Ксоз() Т*. Используя формулы (45.ба) и (45.7), нетрудно показать, что приведенное выше соотношение действительно является тождеством. Что же касается компоненты з„то на нее не налагается никаких ограничений подобного рода, если, конечно, не считать, что она не должна зависеть от координаты у.
Интересно, однако, отметить, что благодаря интерференции между падающей и отраженной волнами з, зависит от координаты х. Эта периодическая зависимость от расстояния до потенциальной ступеньки нигде не приводит к изменению знака, так как выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (45.91, осциллирует между значениями (1 — )с)е и (1+!с)*, но оба они положительны. Если произвести усреднение по области протяженностью в несколько длин волн, ннтерференционный член в результате усреднения пропадет и выражения для падающего, отраженного н прошедшего потоков примут соответственно вид а, = — й; а„= — й'й'; в, = — Т'К.
(45.11) $ й,, й Абсолютные величины этих векторов называют интенсивностями, а об отношениях в„)в,= )се и з,/з,= пТ' говорят, заимствуя терминологию из оптикй, как о коэффициентах отражения и прохождения соответственно. 131 4б. Снмметричлый волчок Полное отражение имеет место, когда )7, > Е, т. е. когда величина К в формуле (45.1) является чисто мнимой: К=ах.
Уравнения (45.4) остаются в силе и в данном случае, поэтому Ке =йз)па и К, =О, так что К, '= К' — К„'— К; = — (ха + йз 3 1 па а) . Следовательно, величина К„' отрицательная, а К„= 1х„— чисто мнимое число. Уравнения (45.5) в рассматриваемом случае принимают вид 1+й=т, й„+Пйк=т1х„. (45.5а) Закон отражения остается прежним, а о законе преломления говорить, конечно, не имеет смысла. Что касается амплитуд, то вместо выражений (45,7) теперь имеем выражения !х„— й сова 7. — ййсоза (45 7 ) — й соз а — ~нк ' — й соз а — !хк ' Отсюда следует, что ) гч)з=) и, таким образом, интенсивность отраженной волны равна интенсивности падающей волны, что присуще в случае полного отражения волнам любой природы. Замечание. Решенне этой задачн во многом аналогично решению соответствующей оптической задачн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
