Том 1 (1129330), страница 17
Текст из файла (страница 17)
На фиг. 23 показана зависимость энергетических уровней от параметра асимметрии х при Л= 2. Сопоставляя приведенные результаты с !ОО п-Х я=4 кривыми потенциальной энергии, изображенными на фиг. 22, мы видим, что, 8О чем уже потенциальная яма, тем выше, ~ ю л-Ю как и следовало ожидать, располага- аа ются энергетические уровни. Если 2п)) х -)-Л, то собственные значения 4О и-8 (38.11) приближенно описываются формулой А*=4азпа (и=1, 2, ...), соот- 80 л=! ветствующей случаю прямоугольной потенциальной ямы.
Этот результат также !О вполне разумен, поскольку по мере роста энергии искривление дна потенциаль- 8 8 4 ной ямы должно играть все меньшую и меньшую роль. Ф и г. 23. Зависимость энергетических уровней от параЗамеание. Вблизи минимума кривую потен- метра асимметрии н для поциальной внергни приближенно можно заменить тенцналов Пешля — Теллера параболой, т, е, потенциалом осциллятора. Ог- о Л=2.
раничнваясь случаем н=Л, когда потенциал имеет минимум в точке ах= н!4, и вводя переменную а=х — —, 4а' (г = 4(г, Л (Л вЂ” 1) (! — + а'аз -1- 0 (г')~ . Г1 ~2 Положим далее множитель при аз равным лгетыа, тогда от= 2 У2Х(Л вЂ” Ц вЂ” иа. в т Если теперь пренебречь отклонением нашего потенциала от потенциала гармонического осциллятора, то допустимые значения ввергни будут равны Е„= йго (и+ — )+2)гоЛ (Л вЂ” 1) 1) 2) или Е„,, ( 2! — "=2 )Г2Л(Л вЂ” Ц!Гя+ — )-(-2Л(Л вЂ” Ц.
Рдб с!. Задачи без цчсгпа спина. А. Одномсрньм задачи Это приближение, разумеется, оправдано только в том случае, если в класснческнх точках поворота х! величина 1)а гораздо больше (г), другими словами, если ! и+ азх! = (( 1. 2 1' 2х (х — 1) Этот результат является точным в пределе а — но, Х вЂ” ~со прн постоянном Ха'. Лвтература Рдзсп! б., Те!!ег Ео лз. Роуз., 88, 143 (1933). (!озеп й!., Магм Р. М., Роуз.
йеч., 42, 210 (1932). Еа!пшг Н)., Ез. Роуз., 93, 528 (1935). Задача 39. Модифицированная потенциальная яма Пешля— Теллера Решить одномерное уравнение Шредингера с потенциалом (фиг. 24) )г(х) = — — а' (39.1) где )ь) 1. Для положительных энергий определить коэффициент ал отражения и коэффициент прохождения, -г -г и ! г для отрицательных — энергетические уровни связанных состояний. Решение. Перейдем в уравнении Шредингера и" + 1)га+,ь, ~и = О, (39.2) где )г* = 2т Е) гьз, к новой переменной у = с(т' ах. (39.3) Это даст Ф н г.
24. Потенциальная яма У 1 в случае моднфнцнрованного У( У)" +( 2 У) ц потенцнала Пешля — Телле. ' аа Х(Х вЂ” 1)' ра. ~ 4аз 4у После подстановки и = ух!во (у) (39 4) последнее уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению у (1 — у) + [()ь+ 2 ) — ()ь+ 1) у| ц — 4 ) )ь + — ) =О. (39.3) Вводя обозначения ц=-2'(Д+К вЂ” „'), Ь= —,' ~Л вЂ” (-'), 39. Модифоцироаанлоя лолмнциольнол яла Пелялл — Теллера 107 можно записать обшее решение уравнения (39.5) в виде" о(У)=А,Рл(а, Ь, 9 ! 1 — У)+В(1 — У) *у( з( зг'л(а+ 9, Ь+ й, -б', 1 — У), (39.7) так что при х=-0 или у=-! волновая функция будет стремиться к выражению и(0) А+В(1 — у)пз, (39.8) и,(х) =с[злах«Рт (а, Ь, -й., — й*ах), 1 (39.
10а) а при А=О и В=! — стандартное нечетное решение и,(х) =с[!дахйах,Рл(и+ —, Ь+ —, —; — й'ах). (39.10б) 1 1 3 Свойства этих решений мы подробно обсудим ниже. Для ответа на вопросы задачи нам прежде всего необходимо выяснить асимптотическое поведение решений (39.10а) и (39.10б) при больших отрицательных значениях аргумента: — а[!Я аХ вЂ” — 2 'Его(«!. Хорошо известные формулы дают и, (х) - 2-дел" 1" !Г ( — ) 1 2'"е-'""1 "! + + ( — ) 2'ье-'ьо ! «! (39 11а) Г (а) Г ( — — Ь ) м Нас интересует решение в области О ~ [« [ < со или !~ у < ол. Гипергеометрическое уравнение у (1 — у! о" + [с — (о+у+1) у[о — оьо= 0 после перехода к новой независимой переменной г= 1 — у принимает виз г(1 — г) о"+ [с' — (о + Ь -'; 1) г1 о' — оЬо = О, где с'=о+Ь+1 — с.
Для новой незавясимой переменной г решение (39.7) принимает стандартную форму. Нужной налз областью изменения г является полупрямая — ол < ге:.О. В качестве фундаментальной системы решений выберем два действительных стандартных решения и, и и, соответственно, четное н нечетное по отношению к изменению знака переменной х: и, ( — х) = и, (х), и, ( — х) = — и, (х). (39.9) Прн В=О и А=1 получаем стандартное четное решение 108 П. Задачи без учена спина.
А. Одномерные задачи и (х) ~2-<2"+1120'+1!а!к!Г( — )х с 3» О ~2) М 1 ) 22а+12-!за+1) а ! к! ~г(ь+ — ) гΠ— ) + " 22ь»'1е-!ее+11»!к! (39 11б) г ( а+ — ) г (! — ь) ,1*1 — г( —,') [ й 1 — Ы2 г( — 22!а)е " е-1 г( — — — )г( — — ) — 1и 2 Г (!п1а) е "(-'. А)Г( — '.'+ )' (39.12а) аг(»)[ » — 1и 2 Ф Г( — »а~а)е " г( — — )г(! — — — — ) -1 — 1и 2 Г((Ь!а)е»»»н!к! Г(:Х+! -) Г(! — 2+! 2„) (39.126) Вводя обозначения Ф -» — 1и 2 Г (12»а)е а (39.13а) Ф -» — 1и 2 можно записать последние выражения в более компактном виде и, С,соз(геях!-(»р,); и,— ~С,соз()е!х!+Ч»,) при х>О и х< О. где знаки + и — относятся соответственно к случаям х) О и х < О. Если энергия положительна, то в силу равенства (39.6) а и Ь вЂ комплекс сопряженные величины, поэтому дв.
Модифицированная потенциальная яма Петля — Теллера !09 Фигурирующие здесь амплитуды можно было бы вычислить с помощью соотношений (39.12а) и (39.12б), однако их конкретные значения для дальнейшего несущественны. Образуем теперь линейную комбинацию рассмотренных выше фундаментальных решений: и= Аи,+Ви„ так что для случаев х > О и' х < О соответственно будем иметь и — С (е чеерлл +е чее глл) + С (е ооеьлл + е оое-Йо) 2 е Ц о и =- С (е аое ьлл-1-е ~чье'лл) — — С (еьоое ~лл-( е ~воеьлл) е 2 о Нас интересует решение с асимптотикой Те'лл е""+ йе Рл ' при х < О, и= при х) О.
(39.15) быть Следовательно, в нашем случае должно А ь В ь Ъ С,ево +- С е во 2 о — С ао+ — Се 'в 2 о 2 ое 2-С,е' о —.л- Сое' о А ьа В ио — Се — — Се о 2 о 2 о =О, Зная амплитуды для козффициентов прохождения и отражения, получаем соответственно выражения ! Т !л = з1п' Ор,— <р,) (39.17) и ~ Р )ь = созо Ор, — ~р,). (39.18) Зти выражения удовлетворяют соотношению ~Т ~о+(Р(в 1 и зависят только от разности фазовых углов собственных функ- ций, но не зависят от их нормировки.
Из второго и четвертого уравнений можно определить произведения АС, и ВС„а затем из первого и третьего — амплитуды Т и 1х; Т = — (е''~ — е' ~ ), Й = .й-(е"~ +в''~о). (39.!6) по П. Задачи бее учеспа спина. А. Однамерные еадачи Чтобы вычислить коэффициенты (39.17) и (39.18), вернемся к соотношениям (39.13), из которых следует ~р,— ~р,=агйГ(!д+ — + — )+агдГ(!д+ 1 — — )— 2 2) 2 ) — агй Г 1 !а+ — ) — агн Г (!д-(- — — — ), (39,19) 2) 1 2 2)' где ь 2а ' Из общей формулы Г (2) Г (1 — 3) = вытекает агу Г (г) — агп Г (1 — ае) = — агйз)п пг., Полагая далее ! 'У+2+2=" (39.20) х !д+ — = ам 2 е имеем л, . х 19+ — — — =1 — 3' н !9+1 — — =1 — з'.
2 ' 2 Теперь с помощью формулы (39.20) можно объединить соответ- ствующие пары аргументов, фигурирующие в выражении (39.19), что в итоге даст р,— <р,= — агпз!пес ( — +19)+агйз!пп( — +!у) = агс1н(1я ие- Гнид)+ агс1ц(с1ц — Гпну) . Последнее выражение после элементарных преобразований принимает вид ~р,— ~р,= агс1д ( —, l еЛ ид/а~ (39. 21) Если параметр Х, характеризующий глубину ямы, является целым числом, то знаменатель дроби обращается в нуль, так что <р,— ~р, = и/2, и в силу соотношений (39.17) и (39.18) имеем ~ Т)'=1, ~ й 'Г=О.
В этом случае волна, соответствующая падающей частице, независимо от ее энергии проходит через область, занятую ямой, совершенно ие отражаясь (заметим, что при 1= 1 этот результат самоочевиден). В предельном случае Е=О, (т. е. яйла = 0) в выражении (39.21) обращается в нуль числитель, поэтому для нецелых значений Х разность ер,— ер,= О, и мы имеем дело с полным отражением: (Т!'=О, ) )с ~'=1. ЗЭ. Мадифггцираванная аотенцаальная яма !гешля — Теллера !! ! Коэффициенты )Т)* и )гг!' при произвольных значениях Х можно записать в виде (Т!з= (39.22) где зн иеря а!ил!г ' На фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
