Том 1 (1129330), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Решение. Подставляя оператор Ь и эрмитово сопряженный ему оператор Ь! в гамильтониан тта (31. 2) и раз по частям, окончательно находим С:~.1" ".'" а=Ь'й. Ф Поскольку Н„(з) — многочлен --й степени относительно 5, то после и-кратного дифференцирования останется вклад лишь от высшей степени 5: Н„Я) = (2$)н+..., И. Осциливтор в абстрантном гивьбертовом пространстве 88 получаем О = — и (Ьье + Ьть). (31.3) <Ьфх ~ Ьфь> = )с. (31.7) Таким образом, величина )с, будучи квадратом нормы вектора !Ьфь>, должна быть действительной и положительной; Х>0, (31,8) причем Х=О только тогда, когда Ь|фь>=0. Все это справедливо для любого собственного значения, так как в нашем распоряжении пока еще нет способа отличить одно собственное значение от другого.
Собственное значение, отличное от Х, можно найти, умножив равенство (31.5) слева на Ь и перегруппировав затем сомножители с учетом закона ассоциативности и перестановочного соотношения (31.4): Ь (ЬеЬ) = (ЬЬ') Ь = (ЬеЬ + 1) Ь. (ЬтЬ+1)Ь)ф,>=)Ь~ р,>, Таким образом, или (Ь!Ь)!Ьф,>=() -1) ~Ьф,>. Поэтому кет-вектор ~Ьфь> является собственным вектором оператора ЬвЬ и принадлежит собственному значению Х вЂ” !. Этот вектор пока еще не нормирован, но, как показывает равенство (31.7), Легко видеть далее что из канонического перестановочного соотношения рх — хр= 1Д следует ЬЬе — ЬеЬ = 1. (31.4) Равенства (31.3) и (31.4) служат математической основой для построения гильбертова пространства состояний. Предположим, что существует по крайней мере один кет-вектор (фг,>, принадлежащий собственному значению Х оператора ЬеЬ; ЬеЬ|ф >=Л!ф >; (3!.5) этот вектор будем предполагать нормированным: <фх ( фх> = ! (31.6) Если теперь умножить равенство (31.5) на бра-вектор <фх~, то левую часть получающегося равенства <ф,!Ьеь)ф,> = ), можно преобразовать, воспользовавшись определением эрмнтово сопряженного оператора <К!5'!ф> =<(Х!ф>.
В результате найдем 86 (I. Задачи без учета енина. А. Одномерные задачи нормированный собственный вектор должен иметь вид ! (р,,>==ь| р,>. )е"Л (31. 9) Такую процедуру можно повторить, и мы получаем убываю- щую последовательность собственных значений, причем (чР .> — Ь" ~ Р,>. (31,10) РеЛ ()„() (), л) (Л 1 () Для всех и > Л эти собственные значения отрицательны, что про- тиворечит неравенству (3!.8). Противоречие не возникает только в том случае, если собственные значения целочисленные, так как при этом последовательность (31.10) обрывается на векторе (чр,> ввиду того, что, согласно (31.9), Ь(чр,>-0.
Возрастающую последовательность собственных значений мож- но построить путем повторного умножения на оператор Ье. Так как Ье (ЬеЬ) = Ь( (ЬЬе — 1) = (Ьед) де†Ье, то из равенства (31.5) следует (Ь(Ь) ~(Ь р,>=(Л+1) !ЬЕчр„>. Здесь снова вектор ~ьечрл> еще не нормирован: <Ь(р,(ЬПр,>=<ЬЬЦр,( р,>-<(1+Ьед) Р,! Р,>=Л+1. Следовательно, (р„,>= ' ~ьн(,> р'7+ ( (31.11) и (чрл+ > = ( Ьчл! чРл> (31 12) У(Л+! ) (Л+ 2)... (Л+ и) Подытожим теперь наши результаты. Собственными значениями оператора Ьеь являются целые числа и=0, 1, 2, Оператор Ьье, как следует из соотношения (31.4), имеет ту же систему собственных векторов, но его собственные значения равны и+1.
Следовательно, для гамильтониана (31.3) справедливо соотношение Н ) чР„> = — йео (2п + 1) ( чР„>, и = О, 1, 2 ..., (31, 13) Отсюда для энергии осциллятора получаются хорошо изнестные значения, найденные нами с помощью координатного представления в задаче 30. Векторы состояний (чр„> не являются собственными векторами операторов Ь и Ь(, однако матрицы этих операторов можно легко построить, взяв векторы (чр„> в качестве координатных векторов гильбертова пространства. Зт 82.
Иеаольэование лестничных оаераторов С помощью формул (31.9) и (31.11) соответственно находим <р„, !Ь|ф„>=$~"и (3! .14) и <чй„ч, ! Ьт ! чР„> = угл + 1. (31.15) Все другие матричные элементы исчезают благодаря ортогональ- ности векторов ~ф„>. В этом нетрудно убедиться непосредствен- ной проверкой: <ф (Ьт!л~„>= — п<чР )еР„>=<(нР„(ЬеРа>, <ЬтЬФ !чр„> =гп<ф ! р,> =<ЬФ !Ьер„>, и, следовательно, (п — т) <ер„)чр„> = О, поэтому либо п=гп, либо <ер (чр„>=0.
Матрицы (31.!4) и (31.15) можно записать следующим образом: 0 0 0 0 ... $Г! 0 0 0 ... Ь= 0 Рг2 0 0 0 0 $г30... О уг! 0 0 Ь= 0 0 $Г2 О ОО О Ь'З Литература (31.16) Веснег 77., 7-ем)стем О., Еы Раув., 125, 347 (!949!. Задача 32. Использование лестничных операторов для нахождения собственных функций осциллятора Найти собственные функции осциллятора, переведя операторы Ь и Ь" предыдущей задачи на язык координатного представления.
Решение, Введенные с помощью соотношений (31.1) операторы Ь и Ьт являются линейной комбинацией операторов р и х. В координатном представлении х — классическая переменная, а Р и д 1 дх (32.!) — дифференциальный оператор. Здесь удобно выбрать в качестве единицы длины величину 1 )гг Гй (32.2) н во всех соотношениях пользоваться безразмерной переменной 1=1 (32.3) 88 Н.
Задачи беэ учета елина. А. Однанерние эадачи вместо переменной х. При этом имеем Ь = — = ( — + $ ), Ь( = = ( — — -1. $) . (32.4) Наинизшее состояние, согласно результатам предыдущей задачи, определяется соотношением ЬчР, = 0 или ~-"+~) ф,(Р= 0. Это есть диффере1щиальное уравнение с общим решением ф,=С,е- н1', где постоянную интегрирования следует выбрать, руководствуясь соображениями нормировки так, чтобы <$ч ~ Ч'ч> =- ') $а (х —.! ) Фе'(1) е(8= 1. Таким образом, получаем чР, Д) = и-П 1-Ч*е-9 1". (32.6) Полный набор собственных функций теперь можно построить, применяя последовательно оператор Ь(: ( )/е(л+!) ( дй ) т.
е. путем повторного дифференцирования формулы (32,6). Если мы напишем ф„= С„Н„($) е-'(*~', (32.8) то тогда в соответствии с (32.7) функции Н„($) будут многочленами и-й степени от $, причем для них должно выполняться рекуррентное соотношение С„ч,Н„„, = — С„(Н„' — 2$Н„). (32.9) 1 2(л+1) Если мы выберем нормировочные постоянные таким образом, чтобы (32. 1О) 'е'-2 (л+ 1) то тогда формула (32.9) просто превратится в рекуррентное соотношение для полнномов Эрмита; Н„,, = — (Н'„— 2КН„), где Н„Д) = ( — 1)" еч' —, е-1*.
ч, дн дд. Гармонический осциллятор в матричном лредставлении 89 Сравнение с формулой (30.19) показывает, что полученный там нормировочный множитель, если отвлечься от (, удовлетворяет соотношению (32.10), поэтому Множитель 1, разумеется, произволен, так как условие нормировки оставляет фазовый множитель всякой собственной функции неопределенным.
Задача 33. Гармонический осциллятор в матричном представлении Получить матрицы р„л и х и для импульса р и координаты х гармонического осцнллятора, определяемого гамильтонианом Н = — р'+ — х', 1 е Мсое 2М (33.1) в представлении, где оператор Н диагонален. Чему равны соот- ветствующие собственные значения? Решение. Отправной точкой для нас послужит диагональность гамильтониана 1 Мте Нмп=зМ~~',Рмереп+ о ~~~ Хмехел=Епбм ° (33 2) е о где Ел — собственные значения. Кроме того, у нас имеются (см. задачу 8) соотношения дН дН дх З вЂ” = — — (Нр — РН), — = + — (Нх — х Н), (ЗЗ 3) др = которые в матричных обозначениях с учетом равенств дН(дх = Мсоех и дН1др=р/М можно записать следующим образом: Мтпх „= — — ~~~ (Н дРеп — Р„,Нял), 1 М Рмп + Е ~Х' (Нтяллл ХмяНЕл)' о С помощью формулы (33.2) они легко приводятся к виду Мт'х „= — — '(Š— Ел)р „, (33.4) Р + л (Е Ел)хмп.
Эта система однородных уравнений относительно х„п и р „ будет совместной, если исчезают оба матричных элемента или эо Ы. Задачи без учета спина. А. Однаиернпсе падали если ее определитель равен нулю; в последнем случае (Š— Е )е — (еееа)е. (33.6) Упорядочив собственные значения в соответствии с неравенствами ...<Е,<Е,<Е„<..., мы получаем, что разность двух последовательных собственных значений равна Лсо и что Е„=Тесе(п+е), о=О, 1, 2, (33.6) где е — постоянная, общая для всех собственных значений. Но тогда единственными, не равными нулю матричными элементами будут элементы рл, ль ~ и хл л„ь которые в силу (33.4) должны удовлетворять соотношению Рп, п а ~ = '+.
сМсах», и а ~ (33.7) Теперь попытаемся получить более подробную информацию о нашем гамильтоннане, Начнем с матриц р' и х'. Согласно соотношению (33.7), имеем (Р )ле =-Рп. лп ~Р»е ь е+ Рп, -ьР«-и ь где только при й=п, и+2, и — 2 левая часть не обращается в нуль. Аналогичное соотношение имеет место и для матричных элементов х'. Подставляя их в формулу (33.2), для неднагональ- ных элементов гамильтониана получаем 1 Меле Нл, л+е ймр, лпеР«+ь л+е + х Хл, пеХ«+ь л+е 1 е сисе«) хл л+,хл, л+, ~ — ~ — Месил+ — ~ О. То же самое справедливо и для матричных элементов Нп, л гь что полностью согласуется с фактом диагональности оператора Н, послужившим основой вывода уравнений (33.4).
Что касается диагональных матричных элементов, то они имеют вид ! Ел =ЗМ (Рп, пеР +ь л+Рп, -еР -ь л) + Меле + 2 (Хл, л+еХ«пь «+~л, л-ехл-ь л) Согласно соотношению (33,7), слагаемые в правой части равны между собой, поэтому Ел«л Мса~(хл, л+ хл+, „+х„„ех„ь „), (33 8) Равенства (33.8) и (33.6) устанавливают соотношение между матричными элементами оператора х. Учет эрмнтовости оператора х дает еще одно соотношение х„е ~ л =хй, лам (33.9) аЯ. Гармонический осцилллтор в матричном представлении 9! Таким образом, получаем Исо (и + е) = Мсод ( ! х„„+, !д + ! х„, „!д).
Вводя обозначение (зз. !0) — !х„, „!' =Г(и), (ЗЗИ !) последнее уравнение можно записать в виде и+ е = Г (и + 1) + Г (и). Решением этого функционального уравнения является функция )(и) = —,(и+е — —,), ! I ! т (33. 12) в чем нетрудно убедиться, представив Г" (и) в виде ряда по степеням и. Из соотношения (33.11) далее следует х„„+,— — !с — „(и+е+ — ) . ° й ! (33. 13) Теперь у нас есть все необходимое, чтобы определить постоянную е. Правая часть равенства (33.10) не может быть отрицательной, следовательно, не отрицательно и собственное значение, стоящее в левой части этого равенства. Предположим, что и=О есть наименьшее значение и, тогда матричный элемент !/ т( с) (33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
