Том 1 (1129330), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, при четных значениях и, т. е. при значениях произведения йа, близких целым кратным и, мы имеем максимальные амплитуды: 2Я А„„,„, = — )) 1, » а при нечетных и, т. е. для значений иа, кратным и,— минимальные амплитуды: '1». мм» 2ц»ч 1 (27. 1О) близких полуцелым (27. 1! ) Следовательно, заметная связь внешнего пространства и полости имеет место лишь при тех значениях энергии, которые близки Подставляя зги выражения в равенство (27.4а), для экстремальных значений величины 1/А' находим при четных и=2, 4, 6, ... 27, Вирлауальньм аноним 73 Ф н г.
!3. Резонансный уровень. Зависимость амплитуды волиовоа фунииин от ьнартнн. 2й,а 2пте — агс!и — „, з приближенно получаем й Г 4Оа 4 "- ~1+ —,-(2йа — 2й,а)'~, Таким образом, ширина резонанса по порядку величины равна йв 40т (27.!3) Нам осталось обсудить повеление фазового угла, определяемого соотношением (27.3). Несложные тригонометрические преобразо- (27 12) к энергиям, обеспечивающим выполнение соотношения (27,10),— только в этом случае наружная волна проникает заметным образом сквозь потенциальный барьер. С классической точки зрения это означает существование резонансных частот, при которых воздействие извне способно возбудить собственные колебания полости. 7в Согласно соотношению (27.7), резонансы имеют место, если произведение й„а лишь незначи- в тельно отличается от нп, где и— 7 целое число, т.
е. для тех значений й, при которых волновая ~ в функция внутри полости, опре- с деляемая формулой (27.1), весьма близка к собственной функции в случае непроницаемой стенки (ь1 — оо) д и„(х) = А з!и — """, и„(а) = О. Следовательно, резонансные 7 уровни располагаются вблизи собственных значений энергии Дв "йв 7в "в в йв (в йв йв полости при ьа оо, По этой причине их называют виртуальными уровнями, На фиг. 13 показано гюведение амплитуды А при изменении произведения 2йа от 18п до 22п, а численное значение величины йа взято равным 50п = 157,08. В этом случае й7211 ж О, 1, и нетрудно видеть, что амплитуда А, как правило, имеет такой же порядок.
Исключение представляет очень узкая область, расположенная немного левее точки 2йа 20п, где ее поведение носит типично резонансный характер. Разлагая величину !/А' в степенной ряд вблизи резонансной энергии, определяемой соотно- шением 74 ! . Задачи бее «еспа спина. А, Одномерные задачи вания дают И 1 — соз 2да 1ь Г а 1+ — в1п 2да д (27.14) Если отношение 141н велико, то мы, как правило, можем пренебречь единицей в знаменателе, так что выражение (27.14) становится не зависящим от Й: 1 — соз 2 Ва 1п 6 ж — . = — 1пйа. з1о 2/га Это снова соответствует случаю непроницаемой стенки с волновой функцией и (х) = з!и А (к — а) при х > а. Такое приближение неприменимо лишь для тех значений А, которые близки к корням уравнения з!и 2йа = — —. и 42 (27.15) Имеется два типа решений уравнения (27.15): когда 2йа немного больше (2п+1)п и когда 2йа немного меньше 2пп.
В первом случае числитель 1 — соз 2йа близок к 2 и почти постоянен. Но тогда 1и 6 обращается в бесконечность, т. е. 6 становится полуцелым кратным и, для определенности, скажем, л!2. В этой области фазовая кривая имеет постоянный наклон и в ее поведении не наблюдается сколько-нибудь существенных особенностей. С другой стороны, если 2йа лежит вблизи 2пп, то числитель равен нулю, причем этот нуль, хотя и лежит вблизи, но не совпадает с нулем знаменателя, положение которого определяется уравнением (27.15)„поэтому 1п 6 внутри очень узкого интервала изменений переменной 2йа пробегает значения от бесконечности до нуля, а фазовый угол 6 — от л72 до и.
Выше мы видели, что в областях, близких к точкам 2йа= 2пп, имеются резонансы, а скачкообразное изменение фазы при прохождении через резонанс является характерной особенностью колебательных систем. На фиг. !4 показано изменение фазового угла в том же интервале значений 2йа, который приведен на фиг. 13. Если бы величина (2 была бесконечно большой, то поведение фазового угла описывалось бы пунктирной кривой. При построении этой кривой мы для удобства в точке 2йа= 20п произвольно добавили скачок фазы, равный и, что влечет за собой скачкообразное изменение знака волновой функции, который сам по себе, как известно, не имеет физического смысла. Для выбранного нами конечного значения !е поведение фазового угла показано на фиг.
14 сплошной кривой. Согласно этой кривой, для последовательных значений энергии мы получаем набор волновых функций, которые по фазе не слишком отличаются от волновых 28. Периодический потенуиал функций, соответствующих непроницаемой стенке, но которые тем не менее непрерывным образом переходят друг в друга при прохождении через резонансное значение энергии, так что в этом случае скачок фазы приобретает реальное значение. г сап гоп нйи — а- Ф н г.
14. Реаонвнсный уровень, Зависимость валового угла от анаргви, Задача 28. Периодический потенциал Получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра в случае периодического потенциала. Решение. Если у'(х) †периодическ функция с периодом п, то уравнение Шредингера инвариантно по отношению ко всем трансляциям, кратным а: 'у'(х+а)=)г(х), х х+па, п=О, ~1, ~2,,... (28.1) Обозначим через иа (х) и и,(х) два линейно независимых решения уравнения Шредингера, тогда функции и, (х+а) и иа (х+а) также должны быть решениями этого уравнения.
Так как любое решение можно представить в виде линейной комбинации и, (х) и и,(х), то это должно быть справедливо и в отношении решений и, (х+а) и и, (х+а): и, (х+ а) - С„и, (х) + С„и, (х), и, (х+а) =С„и, (х)+С„и, (х). (28.2) Теперь можно доказать (тсорема Флоке), что среди этих решений имеются два, скажем арс и ф„таких, что чр (х+ а) = 1ьтр (х), (28.3) где множитель Х вЂ” постоянная. В этом случае, очевидно, ф(х+па)=Х"тр(х), п=О, ~1, ~2, .... (28.3а) 76 г!. Задами без учета спина.
А. Однамернесе задачи (28.5) Искомое доказательство выглядит следующим образом: чр(х) = Аи, (х)+Ви,(х), (28.4) и, согласно (28.2), ф (х+ а) = (АС„+ ВС„) и, (х) + (АСм+ВС„) и, (х). Последнее же выражение равно Лчр(х), если АС„,+ВС„=ЛА, Система (28.5) двух однородных линейных уравнений относи- тельно А и В имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда обращается в нуль детерминант: = О.
(28. 6) Это — квадратное относительно Л уравнение, двум корням кото- рого, Л, и Л„соответствукп две функции, чр, и ф,. Из формулы (28.3) можно усмотреть, что определитель Врон- ского Р =ФА; — М~ удовлетворяет соотношению Р (х+ а) = Л,Л,Р (х). По теореме Грина определитель Вронского Р не зависит от х, отсюда следует, что Л,Л,= 1. (28.7) О параметрах Л, и Л, можно получить более подробные све- дения, рассмотрев равенство (28.3а). Пусть (Л ~ ) !, тогда ампли- туда волновой функции ф будет неограниченно возрастать при х- ао и неограниченно убывать при х- — аа. Противополож- ный случай имеет место, если ~Л~ < 1. Такие решения не нор- мируемы даже в том смысле, который мы вкладываем в это понятие в случае плоских волн, поэтому физически значимые решения существуют лишь при 1Л(=1, т. е. когда Л, = е!"' и Ле = е-сх (28.8) а К вЂ” действительная величина.
Так как е'"= 1, то можно огра- ничиться теми значениями К, которые лежат в интервале — — (К( —, (28.9) что даст нам полный набор всех допустимых волновых функций. Таким образом, для всех ограниченных решений ф(х) имеем ф (х+ па) = е'"! еф (х). (28.10) 28. Периодический потенциал 77 (28.!2) Последнее возможно лишь в том случае, если ф(х) =е'а"и»(х), (28. 11) а и»(х) — периодическая функция, т. е. и, (х) = и»(х+а). Этот результат составляет содержание втеоремы Блоха.
Обратимся теперь к вопросу об энергетическом спектре. В интервале 0(х(а построим решение зр из двух каких-либо решений и, и и, так же, как это сделано в (28ей). Для соседнего интервала периодичности а(х(2а в соответствии с формулой (28.!О) получаем ф(х)=-е'»" 1Аи,(х — а)+Ви,(х — и)), (28.13) причем значения аргумента х — а попадают в предыдущий ин- тервал. На границе этих интервалов, в точке х=а, должны совпадать как сами выражения (28Л) и (28.13), так и их про- изводные: Аи, (а) -1- Ви, (а) = е»о [А и, (О) + Ви, (0)1, Аи,'(и)+Ви,'(а) =е»" '!Аит(0)+ Ви,'(О)).' Эта однородная относительно А и В система уравнений разре- шима в том и только в том случае, если обращается в нуль .
детерминант: ! и, (а) — е™ит (О) и, (а) — ег»'и, (О) и,' (а) — ег»оит (О) и,' (а) — е'»'и, '(О) Раскрывая детерминант, окончательно приходим к соотношению (ит(0) из(а)+и, (а) из(08 — (иа(0) и, (а)+из (а) ит(0)! 2 (итиз — и,ит) Здесь в знаменателе стоит вронскиан, взятый для любого значе- ния аргумента (так как вронскиан есть константа, то нет необ- ходимости указывать его конкретное значение).
Уравнение (28.15) представляет собой условие существования собственных значений. Оно разрешимо только в том случае, если абсолютная величина правой части не превышает единицы, тогда с помощью этого уравнения можно вычислить величину К. Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие указанному условию, и чередующиеся с ними интервалы значений энергии, для которых это условие не выполняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
