Том 1 (1129330), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким обра- зом, энергетический спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой чередующиеся последовательности разрешен- ных и запрещенных енергетичее»их зон. Границы энергетических зон определяются согласно (28.15) из соотношения совКа= ~1. Замечание. Так как функции и, и и, можно заменить любой другой па- рой линейно независимых решеннй о, н о, то уравнение (28.!8) с таким аге 78 11. Задачи без учвнга спина. А. Одномерные задачи успехом можно записать через функции в. Оно, однако, должно приводить к тем же самым энергетическим зонам.
В этом нетрудно убедиться, подставив выражения иг =агава+ с,зез, из =сзгез+сззпз в уравнение (28лб). Несложные выкладки показывают, что при использовании функций в получается в точности то же самое выражение, что и при использовании функций и, если детерминант йсгэ 11 ие обращается в нуль. Задача 29. Дираковская потенциальная гребенка Дан периодический потенциал, образованный последовательностью 6-функций Дирака (интервал между соседними особыми точками постоянен и равен а): (г(х) = — ьз ,''г, 6(х+па). вз Определить воны разрешенных значений энергии. Решение.
Начнем с фундаментальных решений и,(х)=е'"" и и,(х)=е '"'. (29. 2) Если поэтому ег»а (А 1 В) Асма+ Ве-гав (29.6а) и где»' (А — В) = И (Ае㻠— Ве-1"') + 211 (Аец + Ве-гэа). (2966) Уравнения (29.6а) и (29.6б) представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно А и  — ее детерминант должен обращаться в нуль. Тривиальные преобразования дают сов Ка = соз йа+ — з1п йа. Я (29.7) Следовательно, зоны разрешенных значений энергии о()ределяются неравенством соз»а+ —, з(п йа ~ ( 1, ! й (29.8) и (х) = Ае'"'+ Ве-мн (29.3) — решение в интервале 0(х(а, ограниченное в смысле за- дачи 28, то в соседнем интервале а(х(2а будем иметь и (Х) =Ег»а (Авга ~з-а1+ ВŠ— М Гн — а1) (29.4) Далее при х=а должны выполняться граничные условия и (а+ О) = и (а — О), и'(а+О) = и' (а — О).+ 2йи (а), (29.5) 2Я.
Диракоескае погнен налопал еребенка или ( Ф)~а (29.9) а собственные значения энергии равны йе Е =. — (йа)е. 2глае (29.10) На фиг. 15 — 18 приведены результаты расчетов для случая 11а = 4. Функции переменной йа, стоящие в правой и левой частях неравенства (29.9), показаны на фиг. 15, Точки пересечения соответствующих кривых изображены кружками, а интервалы, в которых выполняется неравенство (29.9), отмечены на оси йа жирными линиями. го Верхним границам зон соответствуют точки, го ~ го ов уо Ю го и «ив Ф и г.
16. Графическое определение ванной структуры. Фи г. Ш. Званая структура в случае днраковской по. тенииалвной гребенки. кратные и; согласно уравнению (29.7), в этих точках сов Ка сов йа. Положение зон на энергетической шкале, найденное с помощью фиг. 15, показано на фиг. 15, где разрешенные энергетические зоны заштрихованы. По мере роста энергии разрешенные зоны расширяются, так что энергетический спектр приближается к непрерывному. Тем не менее он никогда полностью не совпадает с ним: даже при самых высоких энергиях всегда имеются запрещенные зоны, примыкающие сверху к точкам йа= лп, На фиг. 17 и 18 показана зависимость энергии (в безразмерных единицах) от переменной Ка для первых трех зон.
На фиг. 17 переменная Ка монотонно возрастает от зоны к зоне, а на фиг. 18 ее изменение ограничено интервалом — п(Ка<п. Пунктирная кривая на фиг. 17 представляет собой параболу К=й, проходящую через точки, соответствующие верхним границам разрешенных зон. 80 (1, Задачи без учегла спина. А. Одномерные задачи Все приведенные фигуры относятся к случаю ь)а — — 4, поэтому по ним нельзя судить о влиянии проницаемости стенки на энергетический спектр.
Для меньших значений йа правая часть неравенства (29.9) будет быстрее приближаться к единице, и соответствующая кривая на фиг. 16 будет пересекать косинусоиду в точках, более близких к максимумам последней. Это, а 5 О -Ж О .тт Кп— Ф н г. 18. Зависимость энергии от пе- ременной Ка. Приведенное представление. О и гп лт Кп — в- Ф и г. 17. Заннсимость энергии от переменной Ка для трех первых зон (одаомерные зоны Бриллюзна). Прнночирнел нравов — пврвболе, отвечаюцчви енергви свободной частицы Литература Клоп!у К.
де До Ренпеу (Р, Ргос. йоу. Зос., 1ЗО, 499 (193!). разумеется, означает, что запрещенные зоны станут уже. Так как положения верхних границ разрешенных зон (точки да=пи) не зависят от йа, то по мере уменьшения этой величины будут смещаться вниз на фиг. 16 лишь одни нижние границы этих зон. При !за=О запрещенные зоны исчезают, но при этом исчезает и наш потенциал, и мы приходим к случаю свободного движения, которому соответствует непрерывный спектр. С другой стороны, если Йа — оо, то разрешенные зоны вырождаются в дискретные уровни йа=пп, В этом случае стенки полностью изолируют потенциальные ямы друг от друга и рассматриваемый спектр сводится к спектру задачи 18, только теперь расстояние между стенками равно а, в задаче же 18 оно равнялось 2а.
аО. Гармонический осциееятор з! Задача 30. Гармонический осциллятор (30.2) (30.6) (30.8) Найти собственные значения и собственные функции в случае осцилляторного потенциала 1' (х) = 2 и!со х . (30.!) Решение. Введя обозначения — и 2еаЕ ИЯ й ' уравнение Шредингера можно записать в виде —,, + (йо — Ух') и = О.
(30.3) Решения этого дифференциального уравнения асимптотнчески при !х(~)/с/)ч ведут себя как ехр(~'/,Хх'). Если выделить эту экспоненту из функции и(х), положив и (х) = е- ыч' ' о (х), (30.4) то функция о(х), удовлетворяющая уравнению о" — 2Ххо'+ (/г' — Х) о = О, (30.5) будет либо полиномом, либо пропорциональна е'"'. Решая уравнение (30.5) с помощью разложения в ряд о(х) = ~ а/х~, / о получаем рекуррентное соотношение к (2/+ !) — /со /+о (/+2) (/+ !) Г Прн / — ао имеет место асимптотическое соотношение а,„= =- (2)ч//) а,, соответствующее степенному разложению функций е' *. Таким образом, решение (30.4) нельзя нормировать, если ряд (30.6) не обрывается на конечном члене, что происходит при условии а„ч, О, т.
е. когда /со=) (2п+1). В этом случае, согласно (30.2), имеем Е = бей(чп+ — ), и = О, 1, 2, ... ! х Собственные функции и„(х) можно определить с помощью соотношения (30.7) н нормировать их в соответствии с условием ~ и„' (х) с/х = 1. (30.9) 82 П. Задачи без учета енина, А. Одномерные задачи Несколько первых собственных функций приводятся ниже: и =С е-и»' *, о» и =С хе-ч»' ', 1» ие = С, (1 — 2Лх') е-и»' ', и,= С,(х — — Лха) е-о '", 2 ие = С» (1 — 4Лх + — Л х') е- г'ы 4 а» и = С (х — Лх'+ — Леха) е-ч»к", 4 а 4 3 !5 (30.10) а соответствующие нормировочные постоянные равны С„=( — „) с„, с,=у'2Л, с,==, и' 2 "= ~'Ф се=1, (30.11) с, = Р'3Л, р.»+(-,' — ~). +( — '.,' -,').=0. Трн первые собственные функции показаны на фнг.
19. Легко видеть, что собственные функции обладают определенной четкостью, В самом деле, в силу симметрии потенциала, 1'( — х) =$г(х), функция и„( — х) г(л) является решением дифференциал=а аги ального уравнения наряду с функцией и„(х) и принадлежит тому же самому собственному значению з (30.8). Так как вырождение от~г з "ги сутствует, то оба решения могут различаться лишь постоянным множителем ), причем в силу условия нормировки ( ~ (а = 1.
Прн повторном изменении знака х мы возвращаемся к исходному решению, поэтому 1'=1 или 1= ~1, следовательно, всякая собствен- Ф и г. цк Потенциал, энергетнче- ная функция должна быть либо ские уровни и собственные функции гармонического осциллитора, четной' либо нечетной' Этот факт можно подтвердить непосредственно, если в уравнение (30.5) ввести вместо х новую переменную р=- Лх', (30. 12) тогда п(р) будет удовлетворять дифференциальному уравнению для вырожденной гипергеометрической функции: ЕО. Гармоничепсыа оецилеятор Если положить 1 1»» 1 Г» (30. 13) 4 44 4 2В»»» то общее решение этого уравнения будет иметь вид о= А,Р,(а, 2, у)+Ву ',Р,(а+ 2, 2 , 'у).
(30.14) Так как вырожденный гипергеометрический ряд,Р, есть целая функция, то первое слагаемое в решении (30.14) четное, а второе нечетное по отношению к переменной х. При у — оо оба слагае- мых расходятся как еху'-о» и решение и нельзя нормировать, если ряды не исчезают и не обрываются, Гнпергеометрический ояд обрывается только тогда, когда его первый аргумент равен целому отрицательному числу, поэтому у нас имеется две воз- можности.
Если а= — Й, или Е,„=йчо(2п+ 2), 1Х (30.15а) то обрывается первый ряд и для собственной функции получаем и,„(х)=А,Р,( — и, —; 2х')е-У*'% (30.16а) 1 Если же а+ — = — а, или Е,„„= Лчо (2а+ — ), (30.166) то обрывается второй ряд и собственная функция будет равна и,„.„(х) = Вх,Р, ( — п, —; Хх») е-и»' '. (30.166) Эти результаты полностью согласуются с формулой для собствен- ных значений (30.8) и собственными функциями (30.10). Многочлены, определяемые равенствами (30.16а) и (30.166), называются лолиномами Эрмио1а.
С вырожденной гипергеометрн- ческой функцией они связаны соотношениями: Н,„($) = ( — 1) —,Р,1 — и, „(2о)1 7 1 (30, 17) Н (еь) ( 1)л(2»»+1)1 2~ Р ( 3 еь») Кроме того, имеет место формула Н„($) ( — 1)" е1' (30. 18) Таким образом, в общем случае нормированные собственные функ- ции (см. (30.9)1 имеют вид и„(х) =( — „, ~) Н„()~Ах)е-и' ', (30.19) 84 П. Задачи дез учета спина. А.
Однамерные задачи Для вычисления нормировки в формуле (30.19) можно воспользоваться следующим приемом. Запишем собственную функцию в виде п„=С е-пеРН (я); $=)ссХх, тогда в силу условия (30.9) должно быть С„* ~ е-Р[Н„Я)]ее($=)с'Х. а Заменим теперь один нз полиномов Н„ Я) его выражением (30.!8). Беря получающийся интеграл Р ( — 1) С„~ Н„(й) ""„'.„(Ц =- )с Л О т. е. " н(1) 2нп1 дечп Спе 2 "и! )ссп = )I Х в полном согласии с формулой (30.19). Задача 31.
Осциллятор в абстрактном гильбертовом пространстве (осциллятор в представлении Фока) Используя операторы Ь = (р — иотх), Ь! = (р+ (тех), ! ! )с 2тдт )с 2тйсе (31. 1) найти собственные значения энергии гармонического осциллятора и построить соответствующие нм собственные векторы, не конк- ретизируя абстрактное гильбертово пространство состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
