Том 1 (1129330), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В. Момент количества движения примеров: 1) г'~Е.+, )гз.з]=С )/à — ((Е', я,з]+(~Е.+, !',!зз])= / 2 =С 1/ з й-+зй- — Я„)+1%„— 1)..)+Ю„)= /2 1! = — 21С )/ З ] 2 (!ем — 9„)+19зз~ = — 21гз)'з, е. 2) *(Ь-, Уз,з]=С~/ ф~(.—, Я„]+1((.;, Г2 =С 1/ — ߄— (߄— Ю„)+1%„— !1„) — 9„) = С )/ з ! ((сзз+ чезз 2'чзз). Так как Зр() = 1)„+д„+1)„=0, то выражение в круглых скобках равно — ЗЦ„, поэтому 1' ((. Уз, з] = — ! ]Гбг'Уз.
о И наконец, коммутаторы, содержащие сферические гармоники с максимальным значением ле, обращаются в нуль: 3) г' ~(.+, )гг, е] = С ~г — '( 2 11.+, !е зз] — 2 (Е.+ ~ !с зз] + /2 l! ! +1((.+, д„]~ =С~/à — ', (1а„+΄— '()„— а„) =0. Полученные результаты можно объединить в две простые формулы; [6~, Уз, т] = — з)' 6 — т(аз+1) 1'з, ~ч! (54.6) ((.—, Уа ] = — 1)/6 — (гл — 1) т )гк ! (54.7) Равенства (54.4), (54.6) и (54.7) дают нам полный набор искомых коммутаторов. Задача 55.
Преобразование сферических гармоник Пусть конечный поворот системы координат характеризуется тремя углами Эйлера а, р, у. Выяснить трансформационные свойства волновых функций, являющихся сферическими гармониками. Решение. Начнем с общепринятого определения углов Эйлера.
Исходная система координат х, у, г сначала поворачивается на угол се вокруг оси г, причем 0 (а ( 2п. В результате получается система координат х„ уз, г„ которую теперь следует повернуть на угол ()(0())(п) вокруг оси у,. Получающуюся таким образом промежуточную систему координат х„у„г, оо. Преоарозомсние сферических гармоник Г49 в заключение поворачивают на угол у(0 (у 2п) вокруг оси з„ и она переходит в систему координат х', у', а'. Путем последовательного применения формул (48.1) нетрудно убедиться, что всякая волновая функция ф(р) при повороте вокруг оси А на конечный угол еа преобразуется по закону 'л~х чр (г') =- Р (ал) ф (р), где Р (вх) = е " ".
(55.1) Таким образом, закон преобразования волновой функции прн трех следующих друг за другом эйлеровых поворотах имеет вид ф (г ) = Р (сс, р, у) чр (г ), (55.2) где — — тс, - — Вс — — ос Р(а, р, у)=е " ** е " "'.е " '. (55.3) Теперь мы попытаемся выразить три поворота вокруг осей з, у„зм фигурирующие в формуле (55.3), через повороты вокруг осей исходной системы координат. Чтобы произвести поворот на угол р У г г, вокруг оси у„обратимся к фиг. 32, а, хг у на которой оси з и зс совпадают га между собой и перпендикулярны плоскости чертежа, а оси у и у, образуют угол а.
Мы заменим поворот х=хс рс на угол р вокруг оси у, сначала об- а б ратНЫМ ПОВОрОтОМ СИСТЕМЫ КООрдИНат ф м г, Зз Повороты осей ко. х„у„з, на угол — а вокруг оси з, орднметмых систем. затем произведем поворот на угол р вокруг оси у вместо оси у, и наконец повернем систему координат снова вокруг оси з на угол +се. Таким образом, имеем — — Зс.„- — ас — — Зс.„— ас. е " "'=е " .е " "-е" (55.4) Аналогичным образом мы разложим поворот на угол у вокруг оси з, (фиг. 32,6). Для этого сначала повернем ось г, назад на угол — р вокруг оси у„затем повернем ось у, на угол у вокруг осн з и наконец восстановим исходное положение оси з, с помощью поворота на угол (5 вокруг оси у,; с с с т~г в~и т г й и е " '=е" "'.е" е" (55.5) Комбинируя равенства (55.3) — (55.5), в результате находим с с с с — — тст — Зс„— Вс„— ас, Р(а, (), у)4 е " "'.е й ' е" "'е " "'е с с - — ас — — щ „— ас — — строс с., =е" *е" е" ° е В 150 Р.
Задачи два учета слива. В. Момент количества движения или — ап г — — ЗЬ„- — ть, Р(а, р,у)=е" .е" "е " '. (55.6) Формула (55.6) является весьма общей и по существу чисто геометрической формулой; ниже мы ее применим в частном слу- чае сферических гармоник. Функция У, является собственной функцией оператора Ь„принадлежащей собственному значе- нию ЙМ. Оператор 1.и, как нетрудно усмотреть из результатов задачи 56, может изменять только индекс М, но не индекс 1., поэтому в новой системе координат б', у' мы в соответствии с формулой (55.2) будем иметь, (б' т')=О( ° (). у))'и (б, р)= Х Рм, м 1 с., м (б, йз). Перейдем к вычислению коэффициентов разложения: Рм м- = ф Ус.
м- (б, р) )'с, и (б', <р') с(й =фас, м-(б, ~р)0(а, р, у)У,, и (б, ~р) с((), или короче (55.7) Ом, и"=(ЕМ" ~0(а, (3, у)1йМ>, (55,8) где 0(а, р, у) — оператор, определенный формулой (55.6). Далее мы можем написать" — те е " ' ( ЕМ> = е-'ти)ЛМ>, г л(М" ~е ь * -симл)М ) и, следовательно, Рм, м" = е-' иам"+тмМй, м" (р), (55. 9) где (й,м-Ф)=(5Мг)е а "~5М) м =-с и Знак в формуле с бра-вектором может показаться сомннтельным.
Тем не менее мы имеем поскольку Ус и. — в" ™г н, кроме восо, Цус и — — — ЙМ"Ус и„. — довольно сложная функция переменной р. Таким образом, закон преобразования сферических гармоник имеет вид Ус м(б', <Р') = ~З е-'~им'+визе(й, и (Р) г'ц м (б, ~Р). (55.10) Б6. !!ветрогоне огоетеенных векторов оператора Ег Задача 56.
Построение собственных векторов оператора Е, в абстрактном гильбертовом пространстве Пусть атомная система находится в состоянии, которое характеризуется определенным орбитальным квантовым числом 1. Требуется построить собственные векторы оператора Е„ воспользовавшись для этого методом задачи 31. Тогда, учитывая равенство Е,)гр >=т)гр ), (56.4) получаем Е"Е*И.>=(Е,— 1) ~Е'р„>=т1Е.р.>, или Е, ! Е+гр„) = (т + 1) ~ Е+гр ) (56.5) Отсюда следует, что вектор !Е+гр„> является собственным вектором оператора Е„принадлежащим собственному значению т-(-1.
Этот вектор пока еще не нормирован, так как скалярное произведение <Е+гр„!Е+гр„) = <Е Е+гр ! гр„>, где Е- = (Е+)1, не равно единице. Из равенства (56.1) и перестановочного соотношения Е+Š— Е 5+ =2Ег (56.6) находим Е Е+ =Е' — Ег — Е„ (56. 7) поэтому <Е-Е.р.1р.>=[1(1+1) т(т ( 1)) <„р !,р > Таким образом, нормированный собственный вектор, жаший собственному значению т+1, имеет вид ! "" = Етггп — =.~ е — ее""' принадле- (56.6) Решение. Мы выберем такую гильбертову систему координат, в которой оператор Е' диагонален, т. е.
для всех рассматриваемых векторов (в единицах Ь) з( + )+ г= ( 1 ). (56.1) Пусть далее 1!Р > — собственный вектор оператора Е„принадлежащий (е!це не определенному) собственному значению т. Подействуем на этот вектор оператором Е+=Е„1 еЕР, (56.2) который удовлетворяет (см.
задачу 51) перестановочному соотношению Е+Е,— ЕгЕ+ = — Е+. (56.3) 152 Н. Задачи без учета спина. В. Момент «оличеслтаа дашке«ил Действуя оператором ~: на обе части равенства (56.4), получаем Ь, ~ (.-$„> = (т — 1) ~ 1.-ф„>. (56.1!) Собственный вектор здесь снова не нормирован, так как <(- ф ~5 ф >=<5 1 ф И >=<(~' — Ч+1;)ф И >= =1!(1+1) — лт(лт — 1)1<тр„(ф >, Отсюда следует 1 ""-'= июа~т==~--~Р" (56.12) С помощью этой формулы можно получать собственные векторы, принадлежащие даже отрицательным собственным значениям лт вплоть до значений пз= — 1.
Следующий шаг должен был бы привести к соотношению Ь- (ф,>=0, так что вектора (тр г,> не существует. Замечание !. Из теории Шредингера иам известка, что сферяческие функции 1Ч >=у!. (б, 'р) (56.18) с точностью до произвольных фазовых множителей представляют собой реализацию рассмотренных выше нормированных гильбертовых векторов. Следовательно, формулы (56.8) и (56.12), опять-тани с точяостью до фазового множителя, который обычно выбирают равным ( — 1)н, идентичны рекурреитиым соотношениям для сферических фуикций: (+У! .
= — )' ! (!+1) — т(т+1) У! .... гч — Гтатт!- ( -лу,, (56.14) Замечание 2. В приведеииом решении молчаливо предполагалось, что 1 — целое число. Так как при каждом действии операторов Ь+ и 5- число т измеияегся иа ш1, а максимальное и минимальное значения т соотеетствеиио равны +! и — 1, то разность этих граничных значений, равная 21, должна быть пелым числом. Но это возможно как при целых значениях ! и т, так и при нолучеамх. Таким образом, перестаиовочиые соотиошеиии для компоиеит момента количества двкжеиия в принципе допускают квантование с помошыо полуцелых чисел. Такое квантование ие возиикает при рассмотрении момеита Зту процедуру можно повторять вплоть до значения т=!. Следующий шаг по необходимости приводит к соотношению 1+1 трг> = О, в результате чего последовательность собственных векторов обрывается, а вектора (тра+,> просто не существует.
Кроме возрастающей последовательности, можно построить убывающую последовательность путем повторного применения эрмнтово сопряженного оператора !.- =А„— П,ш который удовлетворяет перестановочному соотношению 5 Е,— 1,,!'. =!. (56.10) о7. Ортогональность сферических гармоник количества движения материальной точки, но зто отнюдь не ограничивает возможностей теории.
Указанные полуцелые значения появляются в том случае, когда наряду с горбитальнымь момеятом в рассмотрение включается спиновый момент частицы. Задача 57. Ортогональность сферических гармоник Показать, что выведенные в предыдущей задаче собственные векторы оператора 7., при фиксированном значении числа ! образуют ортогональную систему, и определить по отношению к ней матричные элементы операторов йе и 1. — . решение. Как было показано, векторы [чр„> удовлетворяют соотношениям 7- йь )чр„>= [!(!+1) — т(т+1)! !чр >, (57.1а) 1.+1.
!гр >=[!(!+1) — пт(гп — 1)))чр >. (57.!б) Образуем два равных скалярных произведения: <7-'Ь )7- Ь>-<ф- )7--7.'ф-> (57.2а) <Ььчй ° )Ь+чР > =<Е Е+гР ° )чР >. (57.2б) Применяя к правым частям этих равенств соотношение (57.!а), соответственно получаем выражения [!(!+1) — гл(т+1)! <чр )чр > [!(!+ 1)-ш (т + 1)) <ф- !ф-> Разность этих выражений равна нулю: [лз(пг+!) — т'(лг'+1)!<ар ° !гр > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
