Том 1 (1129330), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(57.3) Второй сомножитель в левой части должен равняться нулю за исключением тех случаев, когда равен нулю первый сомножнтель. Таким образом, искомая ортогональность доказана для всех случаев, кроме т' т либо лз'= — пг — 1. Чтобы исключить последнюю возможность, воспользуемся соотношением (57.1б). В полной аналогии с предыдущими выкладками имеем <(.-рт !(.-~рт>=<~Ью )7.
(.-~рл,>- = [!(!+1) — т(т — 1)) <ф„.! р >- =<7'7. "р '! "Ь>= [!(!+1) — пг (пг — 1)! <Ф '!Ф >. Снова рассматривая разность [пг (и — 1) — и' (пг' — 1) ! <гр ° ! ф >, (57. 4) видим, что на этот раз первый сомножитель обращается в нуль при т'=па и и'= — т+1, но не при т'= — и — 1. Следовательно, оба соотношения (57.3) и (57.4), рассматриваемые сов- !34 !1.
Задачи без учета саина. Г. Сферически сиииетричиые аотеициааы местно, приводят к искомому условию ортогональности: (ф ° (ф >=6 (57.5) (выше мы воспользовались нормировкой, введенной в предыдущей задаче). С помощью соотношений (56.8) и (56.12) теперь нетрудно получить матричные элементы операторов 6+ и Е;. Придерживаясь соглашения о знаке (56.14), имеем с,'ф „)1.+!ф >= — )/1(1+1) — т(т+1), (ф, ) й ~ ф > — Р 1(1+ 1) — т (т — 1), все прочие матричные элементы исчезают в силу соотношения (57.5).
Г. Сферически симметричные потенциалы а. Связанные состояния Чтобы решить уравнение Шредингера в случае сферически симметричного потенциала, зависящего только от г (центральные силы), целесообразно с помощью формул х= г з)п 6 сов ф, у=ез1п 631п <р, гс гсозб ввести сферические координаты (фиг. ЗЗ). Ось г называется полярной осью, б — угол между полярной осью и радиус-вектором г (0<0<я), а угол !р характеризует поворот вокруг полярной оси (О<!р<2п), В этих координатах оператор Лапласа имеет вид д' гд ! (а.2) Ф и г, 33. Сферические координаты.
где А — оператор, зависящий только от углов: д!е. дт ! дч ис = —.—, гйпб — )+ з|о Е дд '~ дд) е!ие одере ' В рассматриваемом случае уравнение Шредингера йе Г дч о д — —,(,д,,+ —,д —,+ — „г) ф+~( ) ф=еф допускает разделение переменных ф(г б. Ч)- —,Х (г))'е, (б р) ! (а.З) (а.4) (а.б) )66 l). Задача без учета спина. Г.
Сферичесни симметричные потенциалы Как следует из уравнения (а.7), функции У, „являются собственнымн функциями оператора квадрата момента количества движения Ез, принадлежащими собственным значениям гэ*((1+ 1). Так как зависимость функций )'г „от угла ф имеет вид е' е, то из равенства (а.10) следует, что Уг, есть собственная функция оператора Л„принадлежащая собственному значению Ьп, где )лг)(1. Эти два свойства волновых функций частицы в поле с центральной симметрией являются применительно к квантовой механике своеобразным отражением классического закона сохранения момента количества движения. Равенства (а.2) н (а.)О), разумеется, можно получить с помощью преобразовання координат (ал).
Однако этот прямой путь оказывается довольно гро. моздкнм, Более изящный метод, использующий связь между оператором момента количества двнження н беснонечно малыми поворотами системы координат, был наложен в задачах 47 — 49. Математические детали, касающиеся сферических гармоник, приведены в приложении, том 2, стр.
296. Задача 58. Средние значения компонент момента количества движения Что можно сказать о компонентах момента количества движения 7.„, Ьи, Е, в следующих двух случаяхР а) Волновая функция частицы, движущейся в центральном поле, зависит от углов как У, „. б) При данном значении ( функции Уг „ и 1', „ зависят от угла б одинаковым образом. Оба решения вырождены, поэтому их линейные комбинации, пропорциональные созтф и з)птф, по-прежнему являются решениями уравнения Шредингера в случае центральных сил. Решение а. Сферическая гармоника Уг есть собственная функция операторов Т,з и 7.„принадлежащая соответственно собственным значениям Гзз((1+1) и Йгп.
Следовательно, компонента Е, имеет вполне определенное значение в рассматриваемом состоянии. Две другие компоненты Е„н 5и по необходимости не имеют определенных значений, так как компоненты момента количества движения описываются некоммутирующими операторами (см. задачи 50 и 51). Эту ситуацию можно пояснить с помощью следующей классической картины. Для каждого отдельного движения все три компоненты д. имеют фиксированные значения: 7.„= Е юп () соз ф, 5 =йз!п ба!пф, 1., = 5 соз б. В нашем распоряжении, однако, имеется лишь неполная информация, позволяющая точно определить 7„но не содержащая Ж Средние значения комлонент момента количества денис«ноя Ш7 никаких сведений относительно «фазового» угла ~р.
Тогда в каждом отдельном случае мы можем определить лишь фазовое среднее„ например, за (-я- ~, ') (-яйр. о Так как величина г', не зависит от угла ф, то она имеет вполне определенное значение; что же касается средних значений 1.„и (,„, то они обращаются в нуль. Различие между классической и квантовой механикой состоит в том, что в первом случае в прин. ципе можно было бы получить полную информацию и тем самым сделать фазовое усреднение ненужным, во втором же случае получить полную информацию из-за некоммутативности операторов вообще невозможно, так что приходится довольствоваться средними значениями. Вместо классического среднего по фазе квантовая механика позволяет нам вычислить математическое ожидание, т.
е. среднее по состоянию: <ь'„>=ф)'г, 1.„)гг,„с(ь) н т. д. Математическое ожидание описывает средний результат, полученный на основании большого числа независимых измерений, произведенных над системами, которые находились в одном и том же состоянии. Если все эти измерения приводят к одному и тому же результату (именно такова ситуация в нашем случае с компонентой 1.,), то мы имеем дело с вполне определенным значением, и математическое ожидание переходит в собственное значение.
Если же различные измерения приводят к разным результатам, то на основании квантовой теории мы можем получить только соответствующее среднее значение". Вместо того чтобы вычислять средние значения компонент момента, целесообразнее иметь дело с их комбинациями Е+ и ь-. Действие операторов (а.!0) на функцию )гг „дает 1см. приложение, а также соотношения (56.14)) ).еУг „= — $)гс(1+и+1) (1 — гл) Уг, „„„ (;)гг „= — Я ЪГ(1 + т) (! — т+ 1) Ъ'г „,. Следовательно, в выражениях <1.'> и <г*.-> появляются лишь интегралы вида ф)г; У~ „муса, и Квантовая теория дает возможность не только предсказать средний результат большого числа независимых измерений, но и указать вероятность появления каждого отдельного результата.— Прим.
ред. !88 П. Задачи без учел!а спина. Г. Сдмриеесни симметричные аотениыаем обращающиеся в нуль в силу ортогональности сферических гар- моник. Таким образом, математические ожидания Е„и Ь„так же„ как и фазовые средние в классической картине, равны нулю. б. Две действительные волновые функции, рассматриваемые в этом случае, имеют вид и, = — ()с, „+)с, ) -созт!р, ! (58.2) и = —,(1 с — )Г ) з(пт!р. Обе функции являются собственными функциями оператора Ь', но не являются собственными функциями ни одного из операто- ров 1.„, 1.с, 1.,", так как 5+и, = — — )гг'(1~т+1) (1~т))сс м!+ й' + рс(! ~ т + 1) (1 ~ т) 1'с Е м =! — [)сс(1~т+1)((=г )Уи = й — рс(1 ~ т -1- 1) (1-+- т) г'! Ь,и+ — — ест 1 и, Ь,и = — Гет(и (58.4) (58.3) фи и сй-) сойера)пт!рсйр=О. с Между математическими ожиданиями <Ь„> и <Ес>, с одной стороны, и математическим ожиданием <(,> — с другой, однако, имеется существенное различие.
В классической картине волновым функциям и+ и и все еще соответствуют состояния, для которых фазовый угол ср так же, как и в случае „а", может принимать все возможные значения. Угол же б может принимать всего два различных значения: б, = Ю и б, = и — О, поэтому О Исхлючеяяе представляет случай си=о.— Прим ред.
Следовательно, во всех трех случаях нас должны интересовать лишь средние значения. Для й„и 5и (или Е" и 5 ) мы по существу должны повторить выкладки, которые были сделаны в случае „а"; для математических ожиданий, как и ранее, в силу ортогональности сферических гармоник получаются нулевые значения.
Что касается й„то равенства (58.4) и здесь приводят к нулевым средним значениям, поскольку <Е,> = ф им l.,им!И = .+ Гст( ~ им из сЯ = О„ а функции ие и и также ортогональны. Это нетрудно усмотреть, заметив, что дд. Радиальная компонента оператора импульса Е,=~Есозб и Е,=Есозб — Есозб=О.
В квантовой механике математическое ожидание Е, проистекает из смеси взятых с равными весами состояний с Е,=+Ьгп и Е,=- — Йт. В этом можно убедиться с помощью равенств (58.3) и (58.4): при действии операторов Е„и Е„вместо функций и, и и получаются совершенно иные функций, в то время как при действии оператора Е, функции и н и просто меняются местами, поэтому из их линейной комбинации мы снова можем образовать собственные функции оператора Е,. Действительно, Е,и,=йпа, для и,=и +(и Е,иь = — гьтиь для иа = и„— си Задача 59. Радиальная компонента оператора импульса Получить оператор, канонически сопряженный координате г, Каков явный вид этого оператора в координатном представлении? Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
