Том 1 (1129330), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(67.4) о (67.2) " Решение с поведением типа г-с при )=0 также может быть нормировано, однако в этом случае теряет гмысл интеграл, описывающий среднее значение кинетической энергии, поэтому указанное рещение тоже необходимо отбросить (см. задачу 62). гаемых пятнадцатью различными способами. Так как интересующий нас полипом (66.9) содержит только четные степени переменных х, у и г, то 9 функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, в которых фигурируют нечетные степени х, у и г (это те функции, где хотя бы одно из трех чисел п„бм пз нечетное), в искомую линейную комбинацию вклада не дадут. В последнем столбце таблицы мы приводим коэффициенты, на которые необходимо умножить соответствующие функции для того, чтобы их сумма оказалась равной полиному (66.9).
Так как в нашем распоряжении имеется всего 6 слагаемых, а полипом (66.9) содержит !О членов, то у нас остается еще 4 соотношения, которые можно использовать для контроля правильности вычислений. Замечание. Сопоставьте этот анализ с результатами задачи 42, где разбирался вопрос о вырожденных состояниях изотропного осдиллятора на плосКости. б7. Лроблеип Кеплера !в! Таким образом, мы должны положить х = "' '~(). (67.5) Если теперь вместо г ввести безразмерную переменную а=27«, (67.6) то придем к дифЧеренциальному уравнению г!" + (21+ 2 — г) 1' — (1 -)- 1 — к) 1 = О, (67.7) которое представляет собой уравнение Куммера.
Нам необходимо рассмотреть только одно решение этого уравнения, а именно ,Р,(1+ ! — к, 2!+2; г), (67.8) так как только оно регулярно в начале координат, а о граничном условии мы уже позаботились, введя посредством формулы (67.5) новую йеизвестную функцию. При больших значе. ниях г вырожденная гипергеометрическая функция (67.8) ведет себя как в', что находится в противоречии с условием нормировки. Противоречие не возникает лишь в том случае, когда она вырождается в полипом, т. е.
когда 1+1 — к= — и„, л,=О, 1,2, ... (67.9) Так как величина к в силу (67.1) связана с энергией, то уравнение (67.9) определяет искомые собственные значения. Если ввести главное квантовое число а= и,+1+ 1, (67. ! 0) то мы получим к = п или яе «пее Е и 2пе ее (67.1!) ~~(21+ !) = пе (67. 13) «о собственных функций. Только основное состояние с квантовыми числами и= 1, 1=0, т=О оказывается невырожденным.
Радиальные части волновых функций, нормированные в соот- Энергетические уровни вырождены, так как каждому из них при п > ! принадлежит несколько собственных функций: и„«,„=С««в-т«,г",(1+1 — и, 21+2; 2у«) У«, п(б, ф), (67 12) различающихся значениями орбитального квантового числа 1 = О, 1, ..., и†! и магнитного квантового числа «и = О, ~!..... -Ы. Таким образом, для каждого значения и всего имеется 182 П. Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы г и г г Е= — —, х= —, 2нз * т ' (67.!4) Графики некоторых функций ~)(0„)з приведены на фиг. 38. Кроме того, мы даем сводку явных выражений сферических Дд о,г од тггдг 1о и го гд г Фиг. ЗВ.
Функции )Х~ „), описывающие радиальную плотность зероят- ности в случае атома водорода. функций, нормированных согласно условию ф) У', „1зс(ьг = 1. Замечание. Относительно взаимного движения ядра н электронз около нх общего центра масс см. задачу !50. Вопросы тонкой структуры и релятивистские эффекты разобраны в задачах 202 н 203. Теория строении атомов с двумя н более электронамн, основанная на водородоподобных волновых функциях, рассматривается в задаче 154 н ряде следующих зз ией задач. ветствии с условием (67.4) для значений п=1, 2 и 3, приведены в таблице на стр. 183.
Следует иметь в виду, что в ней мы пользуемся атомными единицами (от=1, е=-1, Ге=1), поэтому 134 Ы. Задачи бее учета спина. Г. Сферичеаси симметричные потенциалы Продолжение кислицы г, <о, с) — (5 соэ Π— 3 соэ 5) 7 и 21 — Мп Ь (5 сочи о — 1) е — э!и О соэ де )О5 2о Уг — Мпи Оежэ"с 35 1 4 1 3 1 4 Задача 68. Потенциал Хюльтена Решить уравнение Шредингера н определить уровни энергии в случае так называемого потенциала Хюльтена )г (г) = — 1'. (68.1) при 1=0. Решение.
Мы будем пользоваться безразмерной переменной х (68.2а) н введем обозначения и 2тЕ а= — — а>0 йи (эи = — ' а' > О, (68.26) причем будем считать, что а > 0 и р > О. Радиальное дифференциальное уравнение для функции т (г) = гф (г) теперь можно записать в виде (68. 8) (68.7) Замена переменной к=у (68.4) позволяет сделать коэффициенты уравнения рациональными функциями: р'~" +у — ""+( — *+8' — "1Х-О.
дуе ду ~ 1-у 7 (68.6) Мы должны решить это уравнение при граничных условиях: Х=О при у=О, г- оо, (68.6а) 2=0 при у=1, г=О. (68.6б) Решение находится с помощью подстановки Х=у" (1 — у) ю(у), 185 оа. Потенциал Хюльтена в результате которой уравнение (68.5) приводится к гипергеомет- рическому уравнению у(1 — у) в" + [(2а+ 1) — (2а+ 3) у) в' — (2а+ 1 — ре) в = О. (68.8) Общее решение этого уравнения имеет вид в (у) = А еР, (а+ 1 + у, и+ 1 — у, 2а+ 1; у) + Ву е" х х ег, ( — и+ 1 + у,— а+ 1 — у, — 2и+ 1; у), (68.9) где у = )/ сее + ~е, Первое граничное условие (68.6а) при и > О дает В=О.
Вто- рое граничное условие (68.66) требует более тщательного ана- лиза в окрестности точки у=1. Зто нетрудно сделать, восполь- зовавшись тождеством ,Р,(и+1-!-у, а+1 — у, 2и'+1; у) ,Р,(а+1+у, а+ ! — у, 2а'+ 1: 1 — у)+ Г (2а'+ 1 ! Г (! — е) -1-(1 — у)'-' „1,,Р,(а — у+ е,а+у+ е, е; 1 — у), где е = 2(а' — а). Так как далее аь ,Р, (а, Ь, е; 1 — у) = 1+ — (1 — у) +..., то первый член в точке у= 1 в пределе е — О становится равным Г(2сс+1) !. Г(е — !) !(щ Г (а+У), е Г( — У+е) ' Поскольку !пп =( — 1)"+ел(, Г (е — !) е о Г(е — л) первый член будет конечным, если и только если и — у= — л, л=О, 1, 2, 3 ....
В знаменателе второго члена имеется множитель Г (а+ 1 — у) оо, поэтому этот член обращается в нуль, за исключением случая а — у =О, когда он равен и, следовательно, расходится при у- 1. Таким образом, мы при- ходим к выводу, что при л= О граничное условие (68.66) не вы- полняется и поэтому собственные значения определяются из условия (68. 10) а — у= — л, л=1,2,3..., ! Зб !!. Задачи бга рчепт саина.
Г. Сферически симметричисм иотенциали а принадлежащие им (ненормированные) собственные функции имеют вил у=е "(1 — е «),гт(2сс+1+л, 1 — л, 2са+1; е""). (68.11) Отметим, что в этом случае гипергеометрический ряд вырождаетср в полипом относительно переменной е ", Из условия (68.10) получаем а=— яа (68. 12) уг!!лоооосаий ~т а ау у!отели иал потенциал Л г Хиииптепа г/а Чэ и г 39. Кулононский потенциал и потенциал Хюльтсна с оаинакоимми син- тулирностами. Обретите ввнвввне нв сленг энергетнчесннх урсвнеа Так как а > О, то по необходимости должно выполняться неравенство (зэ ) и*.
(68.13) Оно означает, что для существования дискретных уровней энергии размеры потенциальной ямы должны превышать некий минимум, определяемый равенством ре= 1. Точнее говоря, неравенство (68.13) определяет число связанных состояний, реализующихся в потенциальной яме данных размеров. Используя равенства ЮУ. Молеауллрный аотеицаал Кратцера (68.2б), соотношение (68.12) можно записать в виде 181 (о( о ) (68.14) Потенциал Хюльтена при малых значениях г ведет себя наподобие кулоновского потенциала Ъ'еа Г Задача 69. Молекулярный потенциал Кратцера Для анализа вращательно-колебательного спектра двухатомной молекулы Кратцер предложил использовать потенциал вида )г(г) = — 2О( — — —,) (69.1) у(л) с минимумом у'(а) = — 0 (фиг.
40). Решить уравнение Шредингера, считая, что один из атомов значительно тяжелее другого (примером может служить молекула Не). В этом предположении тяжелый атом можно считать неподвижным и связать с ним' начало системы координат (в противном случае нам пришлось бы решать и эквивалентную одночастичную задачу — см.
подробности в задаче 150). циал Кратиера. Решение. Движение легкого атома массы еп описывается уравнением Шредингера 7'и+ — е ~Е+20( — 2 з)) и=0, (69.2) допускающим разделение переменных и =- —, х, (г) 1', (О, ф). (69.3) а при больших значениях г он убывает экспоненциально, поэтому в хюлтеновскую потенциальную яму „вмещается" меньше связанных состояний, чем в кулоновскую. На фиг. 39 представлены для сравнения оба потенциала при числовом значении 8*=30: кулоновский потенциал изображен слева, а потенциал Хюльтена— справа.
Здесь же показаны энергетические уровни; кулоновские уровни всегда располагаются ниже хюлтеновских, число которых остается конечным (в нашем примере их всего пять). !88 П. Задачи без унта саина. Г. Сбмричесни симметричнне аатенциали Используя безразмерные величины (69.4) где у > О, а р в случае связанныл состояний действительно и также больше нуля, мы получаем для радиальной части волно- вой функции Х, дифференциальное уравнение вида б'х Г хт те+~ (с+ 0) — '+ ~ — р'+ —— бее 'Г х хе ~ )(,=о, Оно имеет существенно особую точку при х= аа, вблизи которой нормируемые решения, соответствующие связанным состояниям, ведут себя как е-а, и другую особую точку при х=О, где )(, — хх, а показатель Л является корнем характеристического уравнения Л (Л вЂ” () = те -(- ( () -~- (). Из двух корней этого квадратного уравнения на(н нужен лишь положительный корень: 2 'гс у +(с+ з) (69.6) Так как Л>1, то волновая функция обращается в нуль при г= — О, что объясняется наличием сильного отталкивания между атомами (см.
фиг. 40). Приведенные соображения наводят на мысль положить )(, (г) = хне-зх Г (х). (69.7) Подстановка выражения (69.7) в уравнение (69.5) приводит к уравнению Куммера общего вида для вырожденной гипергеометрической функции: х~" + (2Л вЂ” 2()х) 1'+( — 2ф+ 27') 1 О. (69,6) Стандартная форма уравнения Куммера получается после замены х на г =- 2рх.
Таким образом, имеем 7=,Р,(Л вЂ” 1— , 2Л; 2()х) . (69.9) Теперь мы по отдельности разберем случаи отрицательных и положительных энергий. а. Отрицательные энергии. Для связанных состояний () > 0 и решение (нормировка произвольная) принимает вид Х,=-хне-а',Р,(Л вЂ” ~— „, 2Л; 2(зх) . (69.10) Для больших значений х вырожденная гнпергеометрическая функция пропорциональна егах, поэтому функция тс неограниченно возрастает при х- оо, если функция,Р, не вырождается в поли- 7вз оу. Моеекуеарныа иотекцаае Кратцера (69.! 3) (69,15) Заменяя в формуле (69.13) величины (7 и у на частоту»а и момент инерции 6:= гпа') (69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
