Том 1 (1129330), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Изотоничесний сдвиг границы рентгеновсноео излучения Ю! для двух изотопов с атомными весами А 203 и А=205, пользуясь для радиуса ядра формулой )7=ею 4 ' го=1,2 10-" см. ' (73,1) Эффектом экранировки К-электрона пренебречь. Решение. Энергия взаимодействия электрона с ядром имеет вид / Лег — — с) Я, Г (73.2) Начнем с невозмущениой задачи о движении электрона в поле точечного ядра Я=О). В этом случае лег У, = — — (всюду). (73.3) т г', тег 1, тег и =-= -', 7=-2 —, Е = — — гг— лг ' ' 2 йг Здесь иг(г) и Е,— соответственно волновая функция и энергия основного состояния кеплеровской проблемы (см.
задачу 67). Энергия возмущения равна разности (О, г>Я, 1' г = Лег г г' 3 й т '=1 ( ) г + 1 юг 2 с Отсюда для сдвига энергетического уровня получаем и ,се с г З йц бЕ= Š— Е, =) и,'(У вЂ” У,) с(т= 4п ) гг ~е-'г' — ( — „— — -1- — ) с(г. о (73.5) В области интегрирования показатель 2уг всегда меньше 27)7- 0,02, поэтому в подынтегральном выражении (73.5) мы можем положить е-ге~ Используя далее величину гЯ в качестве переменной интегри- рования, после элементарных вычислений получаем ЬЕ = — угс,е%г =- — Лг — ( — ) = — Яг ~ Е ! ( — ), (73.6) 5 5 ог (,аг,) 5 ' (,аг ) ' где а, = 7гг((ргег) означает боровский радиус.
В случае Л=-81 формула (73.3) дает Е, = — Лг 13,60 эВ = — 88,3 кэВ. (73. 7) Полный сдвиг уровня ЬЕ для изотопа с атомным весом А =203, 202 П. Задачи без учета спина, Г. Сферически симметричные потгпмполы согласно формулам (73.1) и (73.6), оказывается равным ГзЕ= )Ее( 0,935 х10 '=8,25 эВ. (73.8) Изотопический сдвиг, т.
е. разность между значениями 7зЕ в случае А=203 и в случае А+ЛА =-205 получается отсюда дифференцированием: Я= — — ЛА = — — ЛЕ. йАЕ дп 2 ЛА 37с ЫА 3 А Йля рассматриваемого примера это приводит к значению 5=0,00656ЛЕ=6,14Х!0 т(Ее). (73.9) В то время как абсолютное значение энергии К-оболочки, согласно формуле (73.8), сдвигается вверх на вполне заметную величину ЬЕ7Е 10 ', разностный эффект для соседних изотопов 37Е (который можно было бы обнаружить по расщеплению К-линии рентгеновского излучения, будь он достаточно велик) составляет, согласно (73.9), менее одной миллионной. Замечание.
Эффект экранировки, конечно, значнтельно больше рассмотренных сдвигов, однако он совершенно одинаков для обоих нзотопов. Экспернмент для границы К-лнннн таллня дает значенне 6310 рндберг, нлн 88,9 кзВ, вместо нашего неэкраннрованного значення (73.7), Что касается нзотопнческого расщепления, то оно почти не зависит от агой поправки. Задача 74. Основное состояние мезоатома Вычислить энергию связи (ь-мезона в 1з-состоянии в поле того же ядра (Л = 81), которое рассматривалось в предыдущей задаче.
а) Почему в этом случае нельзя использовать применявшуюся там теорию возмущений? б) Применить вместо теории возмущений вариационный метод Ритца, взяв в качестве пробной функции выражение вида и = С (1-)- иг) е-"', (74.1) в котором считать величину а вариационным параметром. Решение а. Масса р-мезона р в 207 раз больше массы электрона пт, и вместо атомных единиц длины и энергии а,= — =5,29>с!0 ' см, Е,= — =27,2эВ, $' Ш6~ те' Лз мы теперь имеем мкюнные единицы а,= — '=2,56х10 " см, Е,= ~ Е,=5,63 кэВ. (74,2) В невозмущенном состоянии (точечное ядро) средние радиусы электронной аг/2 и )ь-мезонной а,72 орбит в соответствующих 74.
Основное состояние аевсасяона для которого волновая функция основного состояния (см. за- дачу 65) имеет вид яа и, (г) = ("— ) ' е (74.4а) где Хее о1' = —, „,де а соответствующая энергия равна (74,46) (74.4в) Приближенно решение (74.4а) должно быть верным прн малых значениях г, для которых его можно разложить в ряд и,=(~~ ) *(1 — ~ г'+ ...). (74.5) С другой стороны, прн больших значениях г истинный потенциал стремится к нулю, а не к бесконечности, что имеет место в случае потенциала (74.3), поэтому поведение истинной волновой функции будет определяться множителем 2и1 е (74.6) и она будет убывать значительно медленнее, чем функция (74.4а).
единицах в обоих случаях равны 1)е.= 1,236 х10 '. С другой стороны, радиус ядра гг = 7,05 х 10 ни см в атомных единицах равен 1,33 Х 1О 4, а в мюонных 2,75 Х 10 '. Таким образом, радиус электронной орбиты примерно в 100 раз превышает радиус ядра, а радиус )с-мезонной орбиты равен примерно половине ядерного радиуса. Следовательно, р-мезон находится главным образом внутри, а электрон — вне ядра, поэтому р-мезонная волновая функция определяется осцилляторным потенциалом внутри ядра, а электронная волновая функция — кулоновским потенциалом вне ядра.
Эти геометрические различия отражаются и на значениях энергии. Отношение ЬЕ)~Ео), равное для электрона [согласно формуле (73.8))е/,Л'(Р!а,)'=0,935х!О-е, в случае р,-мезона будет равно е/,2' Я)а,)' = 3,98, следовательно, в этом последнем случае „возмущающая" энергия не является малой по сравнению с энергией невозмущенного состояния, более того, она значительно превосходит ее.
б. Внутри ядра имеется осцилляторный потенциал )Го(г) = —,(г — 3Р ), (74. 3) 204 гл'. Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы Разложение пробной функции (74.1) имеет теперь вид и=С(1 — — г*+...), сравнение этого выражения с разложением (74.5) позволяет огкндать для а' значение, близкое к рмгггс. Кроме того, пробная функция в отличие от (74.6) асимптотически ведет себя как е- ', что гораздо больше похоже на поведение истинной функции, чем поведение функции (74.4а), но хорошего результата от пробной функцин можно, разумеется, ожидать только в том случае, если а ж к. В мюонных единицах, как следует из формул (74.4б) и (74.4в), от= 1,98х!0' н Е,= — 1,46х10' и, следовательно, в соответствии с (74,6) к=-54.
Если для того, чтобы отождествить функции (74.4а) и (74.1) при малых значениях г, мы положим а'= рлогй, то в принятых единицах а=)г ог будет равно 44,5, что ис так уж сильно отличается от к= 54. Таким образом, у нас есть все основания ожидать, что пробная функция (74,1) обеспечивает хорошее описание реальной ситуации. Заметим здесь же, что использованная далев вариациониая процедура приводят к слсдукгщим значениям: а 64 и к — 60. Перейдем теперь непосредственно к приближенному вычислению энергии основного состояния, при этом мы всюду будем пользоваться мюонными единицами (!с =1, гг=1, е =1). Нормируя функцию (74.1), получаем аа С'=- —.
тп ' Вычисление среднего значения кинетической энергии дает Е„,„= — — ) иу ис(т= гоаз. (74.8) Что же касается вычисления среднего значения потенциальной энергии Е = 4п ) г и — ( — — 3) й — 4гт ) гаи — с(г, г,х гг г я,х потея = ) 2Й (, Н~ о л то оно оказывается несколько более затруднительным. Однако, если перейти к безразмерным величинам 2аг = х, 2сс)с = Х (74.9) и воспользоваться известной из анализа формулой х"ечл с!х —.— гг! е-ь(1+ Х+ — ).'+ ..
+ — )") ! ! 2! ''' ' и! 75. 5!адель двйтрона с центральным взаимодействием 205 то это вычисление по существу становится элементарным. Окон- чательный результат можно представить в форме (74.!О) где 7'(Л) = ( —,.„, — 28) — е-ь ( — „, + — +80+14Л+Л') . (74.11) Условие Ритца, д7 приводит к уравнению для определения Л -ь — = — !2!беь — гр (Л)), (74.12) где ~р (Л) = 216-1- 216Л+ 108Л'+ ЗЗЛз+ 6Л'-1- — Ль, Для значения м!с = 2,23 из уравнения (74.12) мы получаем, что Л ж 3,5 Этому соответствует минимизированное значение энергии Е=- — 1808 мюонных единиц или Е=- — 1О,!8 МэВ.
Замечание. Более детзльно этз задача, в также некоторые имеющиеся здесь тонкие эффекты рзссмотрены Флюгге и Цикендрзтом (Р1йппе 5., йпсйенйга51 1Р., Хз. Рьуз., 145, 1 (1955)!. (Полезные сведения по данному кругу вопросов можно найти в обзорной стзтьс Гг. Д. Ивзнепко и Г. Б. Пустовалова !УФН, 51, 27 (1957)1. — Прим. ред.) Задача 75.
Модель дейтрона с центральным взаимодействием Идеализируя реальнуго ситуацию, будем предполагать, что взаимодействие между нейтроном и протоном описывается сфернчески симметричным потенциалом )г(г) = — Ае-"'. (75. 1) Е = — 2,23 МэВ. Найти связь между параметрами А и а, при которой для энергии Е получается указанное значение, считая, что значения а близки к 2 ферми (1 ферми ==1Оьм см). Для установления искомой связи использовать три метода: а) точное решение уравнения Шредингера; Решить уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи (см, задачу 150) в случае связанных состояний с ! --0 (дейтрон).
Экспериментально установлено, что существует толысо одно связанное состояние с энергией есв П. Задачи без ета саина. Г. Сферичееки еимметричиме иатеиииалег б) приближенную волновую функцию вида С и = — (е-ч' — е-чч'), е обладающую правильным асимптотическим поведением при надлежащем выборе у; в) метод Ритца с однопараметрическим семейством экспонент в качестве пробных функций. а. Точное решение. Полагая при 1 = 0 и = — )((г), 1 (75. 2) е мы имеем следующее уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи: — ~+ — (Е+ Ае 'т) )(= О, (75.3) дгг еаг где лг'=г/е пг — приведенная масса нуклонов (мы считаем, что массы нуклонов равны). Переходя к новой независимой переменной у — е-ага (75.4) получаем (75.5) где 8тч 8т* с* = — Аа*, ач= — —,Еа') О.
(75.6) Уравнение (75.5) есть уравнение Бесселя с общим решением у=С,lе(су)+С,е е(су). (75.7) Согласно равенству (75.4), точке и = 0 соответствует точка г = оо, где функция т должна обращаться в нуль, Следовательно, С, =0 и волновая функция будет равна и = †' l (Се егга) (75.
8) е С другой стороны, точке у=1 соответствует точка с=О, где волновая функция и обязана быть конечной, поэтому для функции Бесселя должно выполняться равенство ее (с) =О. (75. 9) При заданных числовых значениях величин т" и Е мы на основании формул (75.6) имеем а = 0,458а, А = 2,23 — ',, (75. 10) Д~ где значения а берутся в единицах ферми, а значения А в МэВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
