Том 1 (1129330), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(50.12) Задача 51. Коммутаторы в координатном представлении Непосредственным вычислением в координатном представлении проверить, что для системы из /1/ частиц имеют место перестановочные соотношения [/.„, Р1= — 2, [л„, у.„1= — с„ (51.!) где А — оператор момента количества движения системы в целом, а Х, У, Я вЂ” координаты ее центра масс.
Решение. Согласно определению, 1.=~',А/, Х= — ~т,.х/, /=1, 2, ..., /ч/, (51.2) / / где т — масса /'-й частицы, а М вЂ” суммарная масса всей системы / и, следовательно, [1.„, Ц = м ~ ~ тя [1 /ио р 1, / я Р.„, ь„1=ХХ[/.,„, /„„1. Фигурирующие здесь операторы 1, „действуют только на коор- динаты 1-й частицы и коммутируют со всеми операторами, дейст- вующими на координаты других частиц, поэтому приведенные выше двойные суммы сводятся к одинарным: [1.„, У1=м~~' т» [1.
[/-. (.о1=Х[~я. (-яе1 (51.4) Вклад каждого слагаемого можно оценить, непосредственно вы- числяя соответствующие производные: / д~ д~ У дУя/ и а2. Частица со свином 1 143 Подстановка полученных результатов в формулы (51.3) и (51.4) дает ~1.„, г'! = — — ~, тапа= — Л и 11,„, (.„1= —,'г',(.а,= — й„ и е чем и доказывается справедливость соотношений (5!.1). Задана 52. Частица со спииом 1 Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, показать, что векторное поле ер пригодно для описания частицы со спином 1. Решение.
Если бесконечно малое вращение, как и в задаче 47, описывать формулой г' = (! + А) г, (52.1) то векторное поле будет преобразовываться точно так же, как радиус-вектор г, поэтому тр' (г') = (1+ А) ф (г). (52. 2) Из решения же задачи 47 нам известно, что разложение в ряд Тейлора каждой компоненты 4р,: (г') в окрестности г должно при- водить к соотношениям трс (г') = ~1 — — ( х)1 тр'(г). й (52. 3) IО ОО ОΠ— 1 010~ А=е„~ 0 01 +еи О О 0 +е, — 1 00~, (52.4)ы !О -10 10 О ООО! или более компактно: А= — '~~' в 5„, (52.5) где /00 0 004' 0 — с Ох! 5„= — А~00 — с, 5в=гс 0 00, 5,=$ с 00~, 1хОс 0 — !00 0 00у (52.6) " Три матрицы (52.4) суть генераторы группы вращений ЗО(3) в трех. мерном представлении.
Мы получим решение нашей задачи, проведя сравнение этих двух выражений. С этой целью воспользуемся для матрицы А выражением (47.1б), которое запишем в виде раз,тожения: 144 !д Задави дев аксона спина. В. Момент калик»с~пап движении так что равенство (52.2) теперь примет вид (52.1) Комбинируя равенства (52.3) и (52.7), можно исключить ор' (г'). Это дает или (52.8) где (52.9) 5' = 5„'+ 5'„+ 5,' = Фо или 5»=2ло.
В соответствии с общей формулой 5»=лез(е-)-1) получаем для спина векторного поля значение а=1. Задача 53. Перестаиовочные соотношения компонент тензора Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, получить перестановочные соотношения компонент симметричного тензора с компонентами оператора момента количества движения.
Решение. Как было показано в задаче 50, всякий квантовомеханический оператор при бесконечно малых вращениях пре- и» = с.» + 5». Отсюда следует, что три матрицы 5„суть компоненты спина, .е — полный момент количества движения, а Š— его орбитальная часть. Пользуясь определениями (52.6), нетрудно показать, что операторы 5» подчиняются перестановочным соотношениям для компонент оператора момента количества движения: (5т, 5») = — 5, (1, /г, 1=к, у, г и их циклические перестановки).
Каждая из матриц (52.6) имеет собственные значения + 1, О, — 1, так как они отличаются от двухрядной матрицы Паули о„имеющей собственные значения +1 и — 1, лишь одной дополнительной строчкой и одним дополнительным столбцом нулей (если отвлечься от знака матрицы 5„), что приводит к собственному значению О в дополнение к собственным значениям матрицы ои. Таким образом, проекция спина на любое направление имеет собственные значения +Ь, О, — 1». Наконец, квадрат спина равен оо. Лерестановочнззе соотношения компонент тензора 145 Т' = (1+ А) Т (1 — А) = Т -(-(АТ вЂ” ТА); (53.3) сравнив с соотношением (53А), находим з [ь, т1= тА — Ат.
(53.4) Формула (53А) является основой для решения нашей задачи Ниже мы ограничимся вращением вокруг оси х, когда А=„О О) В этом случае Т„ )' 0 0 0 10 ТА=а„~ 0 ~0 — т„ — тзз тз поэтому для симметричного тензора разность 0 Т м Т м ТА — АТ = е„— ҄— 2҄҄— 73, (53.5) также оказывается симметричной. Левая часть этого равенства, согласно (53.4), должна равняться з„[1, Т1, следователыю, [1 1 Т331 2ТВВ [ьз Тзз1 Тзз Тзз [ьзз Тзз1 2Тзз' Перестановочные соотношения с компонентами Ь, и Ь, можно найти, рассмотрев вращения вокруг осей у и г или, что еще проще, с помощью циклических перестановок символов в формулах (53.6): [ь„т„1 = о, [ь„т„1 — тзт [ь„т„1 тзт [ьз, 7331 = — 2713 [ьз, 7131 = 733 711 [ьз, 7111 = 2713 и [1.з, Т331 =О, [Ьз Т131 = — Тм, [1.3, ТВ31= 7,3, (53 3) [1 Т 1= 2Т [1- Т 1=Т Т [13 Т 1=2Т образуется по закону = -'[ь, Р1. (53.
1) Если преобразование координат задается формулой г'= Юг, то тензор определяется трансформационными свойствами своих компонент: 7[3 = Х Х )Сеи Йзз Тиз = ЯТЙ)сз. (53,2) и 3 Так как при бесконечно малых вращениях )1=1+А и А= — А, то отсюда 146 1Д Задачи без рчвгпа спина. В. Моиенлт количвспыа движения (К., Зрт1 =О.
(53.9) Последнее обстоятельство становится понятным, если записать симметричный тензор в виде Т = 19+- (Зр т). У, 1 3 где Зр О = О. Следовательно, след тензора Яр Т представляет собой скаляр (тензорный инвариант), но, как было показано в конце задачи 50, скаляр всегда коммутирует с компонентами 5з. Задача 54. Тензор квадрупольного момента. Сферические гармоники Тензор квадрупольного момента 9, определяемый соотношением фз = 1чсзг = Зх;хз — гзбм, (54.!) является симметричным тензором со следом, равным нулю, и, следовательно, он имеет пять линейно независимых компонент. Эти компоненты (с точностью до множителя г') можно представить в виде линейной комбинации пяти сферических гармоник второго порядка.
Воспользовавшись найденными в задаче 53 перестановочнымн соотношениями, вычислить перестановочные соотношения сферических гармоник с компонентами оператора момента количества движения. Решение. Сферические гармоники Уз,,„с т=О, -1-1, ~2 можно выразить через декартовы координаты'>: г'Уз.о.=С(Зг' — г*), г Уз, зг=~С$'6(х~ту)г, 1 . з -/ 5 г'Ук а=С в 'г' б(х~(У)', С= 4/ 1б ф1~ 2, вс ~ с(ьз = 1. Эти хорошо известные формулы позволяют выразить сферические гармоники через компоненты тензора квадрупольного момента: Г'1'з в =С1'1зз ГзУз, зг = и: С )гГ (11гз-~10зз) г' Уз ьз =С ~/ 3 ~ Жгг 'чзз):с (54.3) " Выбор знака о выражениях для сферических гарл1оник произволен, однако различие в знаках у уз г и уз 1 упрогиает окончательные результа гы.
Следует отметить, что все три компоненты Ез коммутируют со следом тензора: дд. Тзнэор нзадруноззного мамонова !47 Чтобы вычислить интересуюшие нас коммутаторы, воспользуемся теперь равенствами (53.б) — (53.8). Так как ось г является полярной осью сферических гармоник, то мы начнем с равенств (53.8), которые с учетом того, что Е з есть соответствующая проекция момента количества движения, дают ..- [Е.„) 2, о] = С [Е.„Е3м] = О, г' [Е„У2, + ] = С [/ — ( [Е.м 9 „] ~ 1 [Е.„Я„] ~ = г' [Е.„У2, „2] = С 1I — ( — [Е,з, Я зз] — ~ [Е-з, Я.,] ~ Е [Е.в Д и] ~ =С )/ — ( — Е~зв — ЕЕзз-ЕЕ Язз — Язз)1 = ~21г'г'г, 22 Эти три результата можно обьединить в одно соотношение [ Е з ) 2, зз] = ПП~ 2,т (54 4) которое становится почти очевидным, если принять во внимание„ что в координатном представлении Е,,=(ФЕЕ)(дЕдзр) и Уз, -е'"ч.
Действительно, [Е., е' ч] = — е' ч — е' ч — = Етезвч, ду дзг Мы имеем [Е,+, ЕЕзз] =21з,Езз, [Е' з ЕзЕзз] = ЕзЕзз+ЕЕЗвз~ [Е', О з]= ЕЕм+1(ЕЕзз — ЕЕ ), [Е;, ~',е„] = — 21ЕЕ„, [Е Юзз] = Юзз ЕЕзчзв (54. 5) [Е.', Яз,] = — 21Ез„[Е, ЕЕ„] = — 2ЕЕ„, [Е.', ЕЕ,з]=(Еń— (Езз) — М,з, [Е, ЕЕз.] =(Еń— Я.,)+(ЕЕ„, ЕЕзз] = 2 Язв ЕЕзЗзв) [Е Овв] = 2 Язв+Еаза). Непосредственное применение формул (54.3), а затем формул (54.5) и снова формул (54.3) приводит нас к перестановочным соотношениям между сферическими гармониками и оператором момента количества движения. Ниже дано несколько типичных Теперь мы воспользуемся равенствами (53.6) и (53.7), чтобы вычислить перестановочные соотношения с операторами Е.+ =Е„+ЕЕ.2 и Е- =Е,„— 11 . ЫЗ 11, Задачи бев учета саина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
