Том 1 (1129330), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Замечание. Эта задача тесно сиязаяа с одномерным случаем, рассмотрен. ным нами а задаче 27, Однако определение коэффициента непроницаемости здесь отличается от определения, данного а задаче 20 и использояанного а задаче 27, наличием множителя 2Р н знаменателе формулы (66Л). Дело а том, что а одномерном случае з нащем распоряжении не было характерного пара.
метра, имеющего размерность длины, который был бы подобен радиусу сферической полости настоящей задачи. Заметьте, кстати, что одномерная Ь.функция имеет размерность обратной длины. Решение. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции )(,(г) в случае потенциала (86.1) имеет вид Х",+ ~й' — — 6 ( — г)] К,=о. гт (86.2) Сама функция у, должна быть непрерывной в точке, где у потенциала имеется сингулярность, ее же производная )(э' в этой точке претерпевает разрыв, что можно установить, проинтегрировав уравнение (86.2) вблизи поверхности потенциальной стенки. Это интегрирование дает лег, Ь~г=Х'(Я+е) — ж'()~ — е)= ~ Х.
()т). З2 я-е так что для логарифмической производной (86.3) в результате получаются граничные условия Е„ф+е) — 1,, Я вЂ” е) = Ы. (86.4) 236 П. Задачи беа учета спина. Г. Сферичесхи синметричнме потенциала С помощью соотношения (86.4) теперь можно связать выражения для волновой функции внутри сферической полости: т, (г) = А з!и аг, г < )с, (86,ба) и вие ее )(,(г) =-з1пЯг+бо), г> й. (86.5б) В результате имеем л 1стЯ (л)ч' + 6 ) — стЯ лгч '1 =- ье.
(86.6) Последнее уравнение можно переписать в виде, более удобном для определения фазы: 1ц (х+ бе) =, где х = й)(. (86.7) 1+ Г1— х Амплитуда А, фигурирующая в выражении (86.ба), легко находится с помощью условия непрерывности функции те(г): А= х+ '). тпх Исключая отсюда с помощью уравнения (86.7) фазу б„получаем А = "*х+', (86. 8) 1Ке х+ (! + 11 — ) Как нетрудно убедиться, для непроницаемой потенциальной стенки ((е- со) нз уравнения (86.7) следует результат, соответствующий предельному случаю рассеяния на жесткой сфере: 1п(х+6„) =О, или 6,= — х.
(86.9) В этом случае амплитуда А, согласно формуле (86.8), обращается в нуль. При конечных, но достаточно больших значениях йе, вблизи нулей знаменателя дроби, стоящей справа в уравнении (86.7), имеются такие узкие полосы значений энергии, для которых в характере рассеяния наблюдаются существенные отличия от рассеяния на жесткой сфере.
Это те же самые узкие энергетические полосы, для которых, как показывает формула (86.8), амплитуда А внутри полости становится большой. Таким образом, налицо типичное явление резонанса, когда для узких энергетических полос имеется сильная связь между колебаниями внутри и вне полости, а лля всех прочих энергий такая связь почти полностью отсутствует. Чем более проницаема потенциальная стенка, тем менее отчетливо выражено явление резонанса. Если (1>) 1, то резонансы имеют место вблизи точек х=пл.
Но это соответствует как раз тем энергиям, для которых те ()7) = О, другими словами, это собственные уровни полости аб. Рассеяние на резонансных ррш)нях в том случае, когда она окружена непроницаемой потенциальной стенкой. Таким образом, резонансные уровни, отвечающие максимальной связи, совпадают или весьма близки к собственным энергетическим уровням полости. Ниже обсуждаются результаты числовых расчетов для случаев Я=4 и )1 =10. Для меньшего значения, 0=4, зависимость фазы рассеяния от х показана на фиг. 48. При малых энергиях наша кривая ие очень отличается от прямой, соответствующей рассеянию на жесткой сфере, однако тангенс угла наклона начального участка нашей кривой равен — ь))(11-ьа) = — 0,8 вместо — 1 в случае жесткой сферы.
Первые два нуля знаменателя дроби в (86.7) расположены соответственно при х, = 2,57 и «г — а- г г 4 5 5 т г -йа -)5 Фиг. 48. зависнаюсть фазы рассеяния йо от я)т для сферической полости с ь)=4. При больших аначениях Я реаонансы выражены отчетливее (сы. фиг. 49, а). х, =- 5,35 (на фигуре их положение отмечено вертикальными пунктирными линиями). Эти резонансные энергии лежат заметно левее точек х=ап, в которых фаза рассеяния вновь обращается в нуль. При ббльших значениях ьг резонансные энергии располагаются ближе к точкам х=пи, так, например, для значения за=-10 первый резонанс сдвигается в точку х,= 2,86, а второй— в точку х,=5,76 (см.
фиг. 49, в). Подъем фазовой кривой становится при этом круче, и резонанс выражен более отчетливо. В пределе Й вЂ” оо мы имеем в точках х„= — пп скачки фазы Л6, =-и. Разумеется, это не противоречит линейному закону (86.9) для случая жесткой сферы, так как к фазе 6, всегда можно добавить целое кратное и. Проанализируем явление резонанса в случае ь) = 10 более подробно. На фиг, 49, б изображена амплитуда А, рассчитанная по формуле (86.8). Мы видим, что у амплитудной кривой имеется два отчетливо выраженных резонансных максимума, лежащих в тех же точках х, которые отмечены на фазовой диаграмме (фиг.
49, в) вертикальными пунктирными линиями. Из фиг. 49, а видно, что сечение рассеяния, по крайней мере для первого из 238 Ы. Задачи без учета спина Г. Сферичеспи симметричном потенциала 1 бб 02 0 1 г 0 4 б б 7 0 зу б т г 0 1 г г 4 0 б 7 0 лх 0 0 1 г 3 4 б б 7 0 -00 о -11 -г,о Фиг 49. а — сечение рассеяния при!=О (на фигуре использованы два раз- личных масштаба).
Несмотря на превебрел ение высшими моментами количества движения, на нривоб сечения Рассеяния даже для отчетливо выраженного реаонаисв прн ан=б,зб печется всего лишь довольно неаиачительныа пик. б †резонан на амплитудной кривой. в — та же фаза рассеяния бш что и иа фиг.
48, но для случая ь1= 1О этих значений х, имеет небольшой, но не очень отчетливо выраженный резонансный пик. По обе стороны от каждого резонанса имеются две точки, для которых А =1 и, следовательно, Верхнему знаку отвечают точки х= пп, где б„= 0 и о, =- 0. Последний результат совсем нетрудно понять, еслй заметить, что в этом случае волновые функпии внутри и вне полости тождественно совпадают и поэтому не возникает никакой рассеянной Вт, Вклад состояний с виссаияи внаяения.ии асиента колиявства движения 239 волны вообще.
Нижнему знаку в формуле (86.10) отвечают точки, расположенные вблизи минимумов фазы рассеяния. Из соотношения йов — =0 йх легче получить, что фаза рассеяния стационарна в точках !кх 2 х 0 — 1' Для случая 11 = 10 мы находим х= 2,6!6 н х= 5,406, в то время как формула (86,10) при выборе нижнего знака дает !Нх 2 х Й ' что прн том же значении (с приводит к значениям х=-2,654 и х= 5,454, располагающимся очень близко к точкам минимумов фазовой кривой.
Кривая сечения рассеяния содержит довольно скудную информацшо (см. фиг. 49,а). Первый резонанс приводит лишь к небольшому пику. На кривой не заметно никаких следов второго резонанса, если не считать двух нулей, расположенных много правее и много левее от него. Наличие этих нулей говорит лишь о том, что где-то между ними имеется резонанс неизвестной высоты и ширины. Еще меньше сведений мы можем получить из экспериментальной кривой сечения рассеяния, так как возрастающий с ростом х вклад состояний с высшими значениями момента может замаскировать наличие нулей на кривой сечения о,. Задача 87.
Вклад состояний с высшими значениями момента количества движения Для потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче, вычислить фазы рассеяния и парциальные сечения рассеяния вплоть до значений 1= 2. Решение. При любом значении ! радиальную волновую функцию можно записать в виде Кс (г) = Лс)с(Ь ) для г ( )с, (87.!а) )(с(г) =)с(яг) сов 6,— пс(яг) з(пбе для г ) )7. (87.16) Так как при йг>)1 сферические цилиндрические функции имеют асимптотику !нх !зх 1 (нг) — з!и( !сг — — '!, п (нг) — — сов~ )сг — — '~, 2 ) с 2) то выражение (87.1б) приводит к следующей асимптотической 240 11. Задачи бее учета спина. Г. Сферически симметричньм потенциалы формуле для функции )(ю: Здесь х=М, а штрих означает производную по аргументу йг.
Уравнение (87.5) позволяет получить для фазы рассеяния 6, выражение вида (д 6,— — ', (87.6) )ю (х) пю (х) —— гю 1а о,а О,а б ч АД5 которое можно подставить в соотношение (87.4) с тем, чтобы йг найти явное выражение для амплитуды А,.
При 1== 0 сферические цилиндрические функции сводятся соответственно к 1,(х) = з(пх и л,(х)= — созх, а формулы (87.4) и (87.6) точно переходят в формулы предыдущей задачи. На фиг. 50, а показаны фазовые кривые, соответствующие значениям 1=0, 1, 2. Расчеты проводились для случая ью=)0, а значения х брались в интервале 0<х(5. Все фазовые кривые зависят от х аналогичным образом, и основное различие между ними состоит в том, что при малых х по мере роста 1 они все медленнее удаляются от прямой 6=0. При низких энергиях о г 5 1юг Фиг.
50. Фаза рассеяния (а) и сечение рассеяния (б) в случае сферической полости с учетом вклвдз высших моментов. Пнк прн За=2.вз еще можно заметить. )(, з)п (йг — — з+ 6,), (п (87. 2) Следовательно, 6, есть фаза рассеяния 1-й парциальиой волны, а соответствующее парцнальное сечение о, = —, (21+ 1) з)п'бр (87,3) Для определения фазы рассеяния 6, мы снова воспользуемся граничными условиями в точке г Я, где функция )(ю должна быть непрерывна, а ее логарифмическая производная, г)(; (г)1тю (г), имеет скачок, равный но величине ье. Таким образом, имеем А ю1ю (х) =!ю (х) сов бю — пю (х) зюп бю, (87.4) (т, -15 )ю (х) — (и бюпю (х) )ю (х) ( (' юю(х) — (Ибюпю(х) )ю(х) ) (87.5) Ва. Приближение, не зависли!ее от формы потенциала 241 вклад дают только центральные столкновения с (=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
