Том 1 (1129330), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Л 2 ~ ! Л+л л)' л= ! Отсюда окончательно получаем 6, = агс1 д — — агс1и ! с1д — ' 11! гсд ) + 2д / лЛ 2у! +~ ! агс1д — — агс1д — ! . Л+л л (93. 7) Нетрудно убедиться, что фаза рассеяния стремится к нулю при стремлении к нулю энергии рассеиваемой частицы (д О). Действительно, Г'е ! !" е езд Л 2 2 Хе(Л+л л)' !!ш — '= — — с1и — + ~ . — — 1. (93.8) л ! Исключая из них агдГ(г), получаем 1Л вЂ” агйГ(г+ — )+агдГ(1 — г) = — агдГ(2г)+2 !п2 1гпг — агйгиппа. 2) Если теперь заменить здесь величину г ее выражением (93.4), то формула (93.5) приобретет вид б,— — '= (агд Г (2е!7) — 2д !п 2) + ~ — агд Г (Л+ 2е!7)+2!7 !п 2— 256 55 Задачи без учета спина.
Г. Сферичссли симметричном потенциалы Некоторые результаты числовых расчетов показаны на фиг. 54, где изображена зависимость сечения рассеяния от энергии падающих частиц (обе величины взяты в подходящих единицах). Гнпсрбола 1)(2д)' соответствует предельному значению сечении Рр о=4п)лв1 оно всегда превосходит значение парциального сечения рассеяния с 1=0. В слу- ((М' чае Л 2 мы имеем резонанс при нулевом значении энергии, л г,а для двух других кривых, соответствующих значениям л=г Л=2,5 и Л=3, предельное сечение рассеяния конечно.
В случае Л4З Л -2,5 вблизц точки (2д)' = 0,6 г ~- имеется виртуальный уровень (бо=п/2), поэтому кривая сер ах ос рб аа чениЯ РассенниЦ. ватой области энергий проходит очень близко от предельной гиперболы. Для Ф и г. 54. Сечения рассеяния на трех значения Л= 4 (эта кривая не различных модьнриииронанных потен- показана на фигуре) сечениЕ цизлах Петли — ТеллеРа. спадает до нуля (б =и) в точ! вперболв определяет предел чл/й', кото- в Рмй ппкогдв не может бить превзойден КЕ (2е)) = 1, НО ЗатЕМ ПО МЕрв сечением о,. роста энергии снова возрастает.
Задача 94. Радиальное интегральное уравнение Заменить радиальное уравнение Шредингера Хз+ ~йт — (У(г) — —., ~ Х1=0, !(!+1)) (94.1) где где )л = — +Ла —, де в 1(!+1) дгт г (г) = (' (г) )(! (г)~ (94.3) Й'= — и (! (Г) = т 2тЕ 2т)т (г) дт ав интегральным уравнением. Каким образом превратить это уравнение в интегральное уравнение с симметричным ядром? Как записать интегральное выражение для асимптотического значения фазы волновой функции )(,? Как связано решение этого уравнения, найденное методом последовательных приближений, с последовательными борновскими приближениями? Решение. Уравнение (94.1) формально можно записать в виде неоднородного дифференциального уравнения О)(т = т' (г) (94.
2) Уь'. Радиальное интегральное уравнение 257 Функция Грина б (г, г') определяется как решение уравнений сгб(г, г') =б (г — г') и 0'6(г, г') = б(г — г'), и ее можно взять, например, в виде ( 1 —, (, (Ь ) п, (Ь'), г а. г', 6 (г, г') = †, ),((гг') и, ((гг), г ) г'. Так как нас интересует только волновая функция )(,(г), ре- гулярная в точке г= О, то в равенстве (94.5) мы должны поло- жить В=О; кроме того, мы можем выбрать такую нормировку, при которой А=!. В результате искомое интегральное уравне- ние приобретает вид Х,(г)=1,(йг)+~ 6(г, г')У(г'))(,(г')г(г'.
(94.7) о Теперь можно перейти к ответам на вопросы, поставленные в условии задачи. а. Симмегпричное ядро. Неоднородное интегральное уравнение (94.7) имеет несимметричное ядро 6(г, г') У(г'). Однако с помощью подстановки у(г)=)г~Ч)Х (), 1()=)г(7()! (Ь), К(г, г') =Р У(г) 0(г')6(г, г') оно преобразуется в уравнение у (г) = ( (г) + ) К (г, г') у (г') г(г' о (94.9) 9 Ре !ООО а выражение г" (г) можно рассматривать в качестве неоднородности. Однородное уравнение О)(,=О имеет фундаментальную систему решений !и'1 / Ы~ (г (Иг) — з(п ( йг — — ), п, (йг) — — соз ( йг — — ) .
(94.4) Общее решение неоднородного уравнения (94.2) представляет собой суперпозицию общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, причем последнее определяется функцией Грина 6(г, г'). Таким образом, имеем ь т,(г)=А!',(йг)+Вп,(нг)+~6(г, г')г" (г')е(г'. (94.5) о 258 П. Задачи без учете саино. Г. Сферичееки симметричные нотенииаеа 1кт ! «1п!С т,(«) з!и (Ь вЂ” — — — соз И« — — У (« ) 1,(Ь. ) т,(« )Й о (94.11) Последнее выражение можно записать по-иному: )(! («) — з)п (й« вЂ” — + б, ) 1п Х 1 (94.
12) 2 !,) сочи! ' где асимптотическое значение фазы 6, определяется интегралом Ф ! Р 1й б, = — — ) У («) 1, (Ь ) )(, («) Й . о в. Последовательнае приближения. Эти приближения к решению нашего интегрального уравнения имеют вид последовательности Неймана: Х)о' = 1! (1'«) (94.!4а) Хео = /, (й«) + ) 0 («, «') П («') 1, (й«') е!«', (94. 14б) о (94.13) )()"' = 1, (И«) + ) 0 («, «') Е/ («') )(ы о («') е(«'. (94. 14 в) а Можно показать, что рекуррентная формула (94.14в) с точностью до нормировочных постоянных совпадает с формулой ~-го борновского приближения (см.
задачу 105): ! Г о!о ! е и„(г) = еом — 4 ) ~ ««, е«(«') и,, (Г ) о(ех'. (94.15) Чтобы убедиться в эквивалентности соотношений (94.!4в) и (94.15), разложим функции, фигурирующие в (94.15), по парци- с симметричным ядром К («, «') = К («', «). (94. 10) В преимуществах такого преобразования позволяет убедиться задача 95.
б. Асимптотическое значение фазы. Если нас интересует решение )(,(«) интегрального уравнения (94.7) при больших значениях «, то мы можем во всей области интегрирования пользоваться тем выражением функцяи Грина из (94.5), которое написано для «) «'.
Эта возможность обусловлена наличием под знаком интеграла множителя У(«'), благодаря которому основной вклад в интеграл происходит от области 0(«' < )с, где 1ч' — величина порядка атомных размеров. С учетом изложенных соображений получаем 94. Радиальное инасегральное уроенеиие 259 альным волнам.
Мы имеем (см. задачи 81 и 82) ,с с= — л ь 4 (2тьигг',"с сус,(ьс сь4.1Б) ' с=о Ю ес»'=- — ~~' ) 4п(21+1)!с(с(Ь))гс ь(6), (94.17) с=о кроме того, и(» — «ы — )л 4сс(21+1) 1',(г, «') )лс о(У), (94.18а) ' с=о где — 1, Ят) ссссс (йг'), г ( г', Г, (г, г') =, (94 18б) — йссс (иг)1,(аг'), г ) г', — 4 с )( (г)и„-,(г) —,Гс(г, г) 21, с )г~ „(0)с(ьх. е + В последнем интеграле вместо функции и„,(г') мы можем взять ее разложение, аналогичное разложению (94.16). Это даст )(сн' (г) =1, (Аг) — ~ (7 (г') Г, (г, г') )(сси-сс (г') с(г'. (94.! 9) о Полученное рекуррентное соотношение уже очень похоже иа соотношение (94.14в).
Чтобы убедиться в их идентичности, заменим сферическую функцию Ханкеля в выражении для Г, в соответствии с ее определением =!с + с'сс. В результате имеем Г, (г, г') = — „1, (Ь.) 1, (Ь') — 6 (г, г"), (94. 20) а у — угол между векторами г и г'. Выделим теперь из рекуррентиого соотношения (94.!5) 1-ю парциальную волну. Для этого умножим обе части (94.!5) иа )гс,(б) и проинтегрируем по всем направлениям вектора г. Учитывая, что ф)гь,(б))гс ь(у) ьл = )гс ~ )гс,(О'), в результате получаем )(с"' (г) = !с (Ь')— 280 Л Задачи без учета глина.
Г. Сферичесхи симметричные нотенииалы где через 6 обозначена функция Грина, определенная равенством (94.6). Первый член выражения (94,20) приводит к интегралу, который пропорционален 1,(лг), и его можно объединить с первым членом в правой части (94.19), поэтому О )(',»' (г) = А), (йг) + ~ (7 (г') б (г, г') )('а м (г') й', (94.21) о причем постоянная А определяется равенством Ф А =- 1 — — ') (7 (г') /, (Ь'))(,'" " (г') й'. о (94.22) Если отвлечься от этой постоянной, которая ведет лишь к не- которому изменению нормировки, то последнее собтношение дей- ствительно идентично рекуррентной формуле (94.14в).
Замечание. Если сравнивать точное интегральное уравненре (94.7) для функции Хт(г) с точным интегральным уравнением м1г-У! и (г) =ега*- — ), (7 (г') и (г') аях', (94.15а) 4и,) (г — г' ) то для зтого достаточно в (94.2!) опустить верхние индексы и — 1, п и т, д. Полагая теперь х,(г) = Ахг(г), мы видим, что интегральное уравнение, аналогичное уравнению (94.21), преоб- разуется в уравнение (94.7), а формула (94.22) заменяется формулой А = 1 — А ~ (7 (г') й (Фг') Хг (г') Лг'. д (94.22а) о Эту формулу можно упростить, воспользовавшись соотношением (94.13): А =!+!А 12 Е,, или А=е зсовбь Разложение (94.16), если учесть асимптотическую формулу (94.121, теперь дает Ю 1 а .
/ (п () — х' гт (27~цг, «(Й,— кеь)ть,и1, !=о что находится в полном согласии с найденной ранее формулой (82.9). Задача 95. Вариационный принцип Швингера Исходя из выведенного в предыдущей задаче интегрального уравнения с симметричным ядром, установить вариационный принцип для определении фазы рассеяния.
йа. Вариацианнууа нринцип Швинуара Решение. Оставляя неоднородность в правой части, запишем интегральное уравнение (94.9) в виде (95.2» где Ю 1 и 1,=) г(гу(г) ~у(г) — ) К(г, г')у(г')((г'1 (95.3) о о Ю 1,= ) у(г)»(г) дг. о (95.4) Эти два интеграла равны между собой при условии, что-функция у(г) удовлетворяет уравнению (95.1). Из предыдущей задачи нам известно, что 1,=~(1(г)(~(йг)Х~(г)((г= — й1Кбс (95.5) о Возьмем теперь вместо истинного решения у(г) близкую к нему функцию у(г)+бр(г). При этом несколько изменятся и значения наших интегралов: 6), 2)у ьу() у() — )к(, ')у(') ' ') (у)6) о о 51у= $ бу(г)1(г)()г. а (95.7) Следует заметить, что равенство (95.6) написано в предположении, что ядро интегрального уравнения симметрично.
Дело в том, что при варьировании у(г') первоначально возникает вариация бу(г'), и, чтобы вернуться к вариации бу(г), мы должны в правой части равенства (95.6) произвести замену переменных интегрирования, в результате которой ядро К(г, г') перейдет в ядро К(г', г). Так как выше у(г) означает истинное решение интегрального уравнения (95.1), то в правой части равенства (95.6) выражение, стояшее в фигурных скобках, можно заменить функцией 1'(г), поэтому мы получаем 61, = 261,. (95.8) э м )оао у (г) — ~ К(г, г') у (г')((г' = 1(г). (95.1) о Умножим обе части этого уравнения на у(г) и проинтегрируем по г. Это даст 282 П.
Задача без учета спика. Г. СО/сричсски симметричные потенциалы Последнее равенство с помощью соотношения (95.2) можно записать по-иному: бу/ б)з — — 2 — =0 или 6 ( — /) =О. (95.9) Это и есть искомый вариационный принцип, Согласно этому принципу, требуется, чтобы величина ос=1,11зэ, или, подробнее, величина ы /(г У (г) )(г (г) ~ ",(с (г) — ) уг (г') У (г') О (г, г') с(г'~ Яс — ' о (95 10) (/*,(.и,(/ / о была экстремальна и, следовательно, чтобы бо,=-О. (95,11) Смысл величины Яс нетрудно установить, если принять во внимание равенство (95.5) и учесть, что 1,=1,. Мы имеем ! Вс — — — — сто бр й (95.
12) Равенство (98,12) показывает, что !'т й Зч (й) =— 1 а о ц,' поэтому сформулированный вариационный принцип с успехом можно исполь- зовать для определения длины рассеяния. Литература Бсйт(пуег 7., Рьуз. меч., 72, 742А (1947). и!ом 7. А(., Лосйзоп У. Ю., Р)/уз. Реч., 78, 18 (1949). Таким образом, экстремальное значение величины Зс непосредственно связано с правильным значением фазы рассеяния бр Следует отметить, что сформулированный вариационный принцип не зависит от нормировки волновой функции. В этом легко убедиться, заменив в (95.10) волновую функцию ус функцией С)(с. В результате этой замены числитель и знаменатель дроби (95,!0) умножаются на С', поэтому сама величина Яг остается неизменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
