Том 1 (1129330), страница 42
Текст из файла (страница 42)
С другой стороны, если значения х велики и значения г малы, то мы можем воспользоваться степенными разложениями функций 7еч (г), что с учетом равенства (99.4) дает 2е1ичи(Г(1 — ч)( 2) ~ + 4(! — ч) + ' ' '~ Г(1+ч)(2) ~ 4(1+ч)+'''1~' Чтобы получить асимптотическую формулу для функции )(„при больших значениях г, мы оставим у каждого слагаемого в фигурных скобках только главный член разложения. В результате имеем 27! 99.
Дяииа рассеяния поеиеяциаяа где а по определению есть длина рассеяния (см. задачу 88). Сравнивая выражения (99.6) и (99.7), получаем 2Д (99.8) б. С помощью линеаризации уравнения Калоджеро мы нашли (см. соотношение (98.4)1 1и б, = — —, ~ е(г ( —" ) з)п' Ь х "о х ехр — о 11 — о ) з1п 2яг'е(г'; (99.9) кроме того, для случая асимптотического поведения 7, при а — 0 имеем т„- з1п (Ь + б,) = з(п йг соз 6, + +сов)огз1пбя — з(п б,(1+Ь с1и8,). Сравнивая это выражение с равенством (99.7), мы приходим к формуле, определяющей длину рассеяния через фазу рассеяния: а= — !пи —. ~я ае (99.10) я о *'- " (-ее)е - ее).
о е Показатель экспоненты легко вычисляется и равен — 2йахо-я7(п — 2), а оставшийся интеграл с помощью подстановки — х- = — хо ° 0' и — 2 сводится к интегралу Эйлера, так что окончательно имеем 1 о =- — го ( — ) )а (1 — 2о ) . (99.11) Это приближенное выражение можно сравнить с точной формулой (99.8). В обоих случаях длина рассеяния одинаковым образом зависит от безразмерной константы взаимодействия яе, Подставляя сюда выражение (99.9) и используя в качестве безразмерных переменных интегрирования величины «/го == х и г'/г, =-у, получаем следующее приближенное выражение для длины рассеяния: 272 П.
Зада~и беэ учета спина. Г. Сферичесни симметричные патенцчиаы а отношение приближенного и точного выражений 1 а = 2 Г(1+У„)(41') ' (99.!2) представляет собой функцию е., т. е. зависит только от показа- теля п=2()с+1) в выражении для потенциала. О качестве при- ближения (99.11) можно судить по приведенной таблице: а/а Мы видим, что при п = 3 отклонение отсутствует, затем ошибка возрастает и становится равной 50",, в случае жесткой сферы (и= оо). Задача 100.
Второе приближение н уравнению Калоджеро Связать процедуру линеаризации уравнения Калоджеро с методом последовательных приближений и на этой основе вычислить во втором приближении длину рассеяния потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче. Решение. Если точное уравнение — = — — (з)пч (ег+1 8!и 2 йг+(ч созе йг) (100.1) аг а заменить цепочкой уравнений — „" = — — (япч йг +1„яп 2йг+1„', соз'йг), 1, О, (1002) то в первом приближении мы снова получим линейное уравнение ,— ' = — — !61п' пг -!-1, я1п 2пг), (100.З) решенное нами в задаче 98. Каждое последующее приближение получается из предыдущего путем решении линейного уравнения в квадратурах, только в разных случаях приходится иметь дело 3 4 6 6 8 !О 12 ! 0,886 0,810 0,762 0,702 0,666 0,642 0,500 2(3 200.
Второе приблиееение к уравнению Каподжеро с различными неоднородностями: 1„(г) = — — 01 Ь' У (г') [з1 и' йг'+ 1„', (г') соз' йг'Р х ! р о г х р~ — —,'[и( (е рр."е:~. г (100.4) (100.8) г' Ц=— го г х= —, го (100. 10) г' и — 2 г= — Л=— г ' 2 о получаем а, (г) =дог, ~ е(ууо-н о р [ — ре'1 - «.[- - 'ф-"-р(е и-" — р-"() и ',Л Таким образом, чтобы найти второе приближение, нам достаточно в подынтегральное выражение для линеаризованного решения ввести дополнительный множитель [1+ (Р (г') с18* йг'[. (100.5) Что же касается длины рассеяния, то здесь можно добиться еще больших упрощений.
Введем нинтерполированную" длину рассеяния а(г), определив ее соотношением а (г) = — 1нп —. (1ОО. 6) о- о и В первом приближении имеем Г г ,((=1в и('( ' р[ — 2[и(х( 'ее[. ((Орр( о у Отсюда для длины рассеяния во втором приближении [ар е ае (оо)) получаем р Ю ,,=(е и(( [(,-","[ ° р — р[и(х(гех). г Соотношения (100.7) и (100.8) теперь можно использовать для вычисления длины рассеяния потенциала и(г)=ф~ — )", (100.9) рассмотренного в предыдущей задаче.
Вводя обозначения 274 П. Задачи бее учета саима. Г. Сферичсски симметричиие аатсициалм Последнее выражение после замены „ч ио е= — х-'" и с= — у-ох. Х хУ (100.! 1) принимает вид ч а,(г)= — г,( — )' е'~1 ™'е 'й. Подставляя его теперь в формулу (100.8), получаем (100.12) 1 ~ 1 )ч а,= — г, ( ~ ~ сЬе е-' 1+ 4 е "е" ~ ~ с "е-'Ж~ . (100.!3) ч 2 о(~„~ о Если в фигурных скобках оставить только первый член, то это, разумеется, даст нам формулу первого приближения (99.11).
Что касается поправки (100, 14) то для нее из (100.13) легко получается выражение вида Ф а= 1 "ее' е* Ф ч е-' с(! . (100,16) Этот интеграл сходится, и его в общем случае можно вычислить численным интегрированием. Имеются два случая, а именно и = 4 и п — со, когда оценка интеграла особенно проста. Если в== 4 или )ч=1, имеем О м 12 со= ') Й)ге е'~~ — е 'а(~, 4)гв 5 или сс = — ( зоеы (Ег1с $) Щ. 2,1 о Численное интегрирование по методу Симпсона и использование в области $ ) 2,4 вместо функции ошибок ее асимптотического выражения приводят к значению со= 0,0770. Как мы видели (см.
стр. 272), в первом приближении а, =0,886а, когда в=4, поэтому во втором приближении получаем и, = 0,886 1,077а = 0,954а. Таким образом, ошибка, составляющая в первом приближении 11,444, теперь будет равна 4,6о/о. ЮП длина рассеяяия дяя сфериоесяи симметриояаа ямы стз В случае п — оа, или 111 = О, сходимость метода несколько хуже. Выражение (100.15) в этом случае дает О> Ю о 4 д д 4 о о и так как а,= 0,500а, а, = 0,625а. то оо о р Г 185, = — — ) с(гУ (г) з(п*Ь ехр — — ~ У (г') з(п 2Ь' й' о е Задача 101.
Длина рассеяния для сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы В случае сферически симметричной прямоугольной потенци- альной ямы (~= '— тр(г) =.( — Ко 0=- (11 (10 йо ) О, г)й, сравнить точное выражение для длины рассеяния с приближен- ным выражением, полученным на основании линеаризованного уравнения Калоджеро.
Обсудить также случай сил отталкива- ния, который получается при перемене знака в формуле (101.1) Решение. Введем обозначения М=я Ко)(=Хо Кй=Х=Р Х'+А', (101.2) В этих обозначениях, согласно задаче 89, мы имеем следующее точное выражение: 185, =" (101,3) Для потенциала (101.1) логарифмическая производная (см, равен- ство (89.5)1 равна ~ =Х с1ц Х.
(101.4) Что же касается длины рассеяния, определиемой выражением а = — 1нп — ', (101.5) я-+о то для нее в рассматриваемом случае (см. также (89.14)] имеет место формула а=- — )т 1пп — -= — )т ( — — 1) . ~аз лих, (101.8) „,о я Ло х-х, С другой стороны, линеаризованное уравнение Калоджеро, как мы знаем из задачи 98, приводит к соотношению 276 П.
Задачи (ген учета саина. Г. Сферичесни симметричные аотенциалы что с учетом определения (101.5) дает ;-1в."и((„в( — т(. о(,(а ~. о г Отсюда в случае потенциала (101.1) получаем а = — Ко' ~ гт ехР (Ко (Ке — Ге)1 г(г, о (101,7) или о ке хв — — 17* -'* (7, ао (101.8) Прнтвженне Оттенвввенне а! Я а/Я а/Я а(Я вЂ” 0,557 — (, (42 — 3,(4 +20,4 — 0,5(5 — 0,9!2 — (,632 — 3,02 (,0 (,2 (,4 (,6 0,238 0,305 0,368 0.424 0,23! 0,289 0,337 0,375 Ниже точки Х,=0,7 различие становится совершенно незначительным.
С другой стороны, при Хо=и/2 точная формула в случае сял притяжения приводит к расходимости и, кроме того, длина рассеяния меняет знак. Эту особенность длины рассеяния наше приближение передать не в состоянии. Таким образом, где мы ввели обозначение Хг !7 Если воспользоваться тождеством х р Хв Рг пЖ е Рс(7 Х а "ео то интеграл в правой части равенства (101.8) можно привести к функции ошибок. Окончательный результат имеет вид хт к, п = — ! )т' — ~ а е77 — 1~ . (101.0) о Длины рассеяния, рассчитанные по точной формуле (101.6) и по приближенной формуле (101.9), для сравнения приведены в нижеследующей таблице для нескольких значений Х,: ".л77 70л. Длила раесеяяия яояоеяциала Юкавы линейной аппроксимацией можно пользоваться без опасений только в том случае, когда уровни связанных состояний располагаются заметно ниже нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
