Том 1 (1129330), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Так как при такой замене ) -х'+' и и х-', с с то отношение, фигурирующее в формуле (109.4), оказывается очень малой величиной и всеми этими слагаемыми можно пре- небречь. Таким образом, в рассматриваемом приближении можно написать Юр. Высокоэнергетическое рассеяние на жесткой сфере 299 Конечно, все эти рассуждения теряют силу применительно к тем членам, для которых 1жх и где неправомерна ни одна из употребленных пал!и аппроксимаций функций 1, и пе Однако чеи больше величина х и чем больше членов содержит сумма (!09.6), тем меньшую роль играет эта небольшая группа членов и тем, следовательно„меньше ошибка нашего приближения в целом. Преобразуем правую часть равенства (109.6) с помощью тождества ]и Х , , ]ч з!пе (х — у! =з!пах+э!пг — 'соз 2х.
В результате имеем РЛ ге] -м(О ' с !22.212.,'— 2 г 2222.22). 1=О 1=1.5,5 .. Обе суммы вычисляются элементарно и соответственно равны !е] Х (21+!) =- (х+ 1)2 1=О Гя! (21+ 1) = — (х+ 1) (х+2). 1=1, 3, 5 .. 4п ! о = —. ° — х' = 2п!тз, йе (!09.8) что и доказывает утверждение, сформулированное в условии задачи. Замечание редактора перевода. Может показаться странным, что эффективное сечение рассеяния равно удвоенному геометрическому поперечному сечению. Однако этот эффект хорошо известен в классической волновой оптике и объясняется тем, что рассеянная волна состоит из двух частей одинаковой интенсивности; одна из них соответствует волне, отраженной от препятствия, другая обеспечивает образование тени. Для каждой из них поперечное сечение равно пЩ Подробное обсуждение этого вопроса можно найти, например, в монографии: Морс Ф., Фешбак 1"., Методы теоретической физики, т.
2, ИЛ, ]999, стр. Зб] и далее. Поэтому получаем о= — "., ~ — (х+1)з!и'х+ — (х+1)(х+2)~. (!09.7) Так как наше приближение справедливо лишь при условии х) 1, то в этой формуле достаточно удержать только основной член. Таким образом, окончательно наша формула принимает вид ЗОО 11. Задачи дее учета слона, Г. Сферичесни симметричные лотенциалы Задача 110. Формула Резерфорда Ч'и+ (7г' — —,) и=О, (110.
1) воспользовавшись стандартными обозначениями: /г= —, х= —, 2йх= — е е, то е,ее 2т (110.2) где е, и е,— величины точечных зарядов, т — масса рассеиваемых частиц, а о — их скорость на бесконечности. Задача обладает очевидной симметрией относительно поворотов вокруг оси г, поэтому решение зависит лишь от координат, характеризующих положение частицы в меридиональной плоскости, таких, скажем, как г и О, нли же если пользоваться параболическими координатами, то от $ = г — г = 2г з!п' —, .,0 (110.3) т! = г+ г = 2г соз' —.
0 2 ' В целесообразности применения этих координат нетрудно убедиться, вспомнив, как выглядит формула Резерфорда. Если отвлечься от фазового множителя, то асимптотика решения, приводящего к формуле Резерфорда, должна иметь вид и ~ете+ . а~ее е 1 ! еЖ~ 0 г 5!ле— 2 Отсюда следует, что имеется надежда с помощью разделения переменных и = е'е'о (З) (1!0.4) свести задачу к нахождению функции, зависящей только от одной переменной с. Подставляя выражение (110.4) в уравнение Шредингера (110.1), получаем Уев+ 21й — — — о=О до 2ах де причем на функцию о пока еще не наложено никаких специальных ограничений.
Пользуясь определениями (110.3) и опуская Решить задачу о рассеянии точечного заряда в кулоновском поле другого точечного заряда, воспользовавшись параболическими координатами. Решение, Запишем уравнение Шредингера !10. Формула Резерфорда производные по переменным «) и !р, можно написать до 2$ до ! — — — — г = — 6+ Ч).
дг «+Чд«' 2 так что наше дифференциальное уравнение приводится к виду $ —, + (1 — Й5) — „— йхо = — О. (110.5) Это — известное уравнение Куммера, решениями которого являются вырожденные гипергеометрические функции. Решение, регулярное в точке 5=0, имеет вид о=С,Р,( — сх, 1; Й$). (110. 8) Отсюда для волновой функции и, отвечающей задаче рассеянна, получаем и=СР*,Р,( — сх, 1; И$), (110.7) причем постоянную С еще следует выбрать надлежащим образом. Чтобы убедиться в этом, мы должны найти асимптотику волновой функции (110.7) при больших абсолютных значениях чисто мнимого аргумента «Ц ()гс ) О).
Здесь имеется одна небольшая математическая трудность, связанная с тем, что в данном случае мы не можем воспользоваться известным асимптотическим выражением Г (с) Г (с) Г (с — а) Г (а) Р (а,с;г)- е '" г + — ()олго ', (1Г08) !г~))~а), !г!))(с(, с~ — и, п=0„1, 2.... Дело в том, что приведенная асимптотическая формула для вырожденной гипергеометрической функции справедлива на комплексной плоскости г с разрезом вдоль положительной мнимой полуоси.
Однако эту трудность легко обойти, если заметить, что к комплексно сопряженной функции и' формулу (110сб) можно применять без всяких опасений. Таким образом, имеем е«к 1 1 ! Р (!х, 1; — й$) ( — Й5)-с + — е-Рлг( — сй$)с -!. Г (! — !х) Г (!х) Учитывая далее„что !а у-ы ах ( — Й;)-'~ = (е ' К) =-е 'е-'"!ал! и что Г(1+!'х) = !хГ(сх), находим 1" (! — !х) с«1 с'"" г ,Р,(!х, 1; — (й$) Г(,, )е-' " — х,, „, е- (110. 9) 302 ГД Задам без учета спина. Г.
Сферичесни симмстричнпсе нотенниалы Произведем в этой формуле комплексное сопряжение и полставим получа1ощийся результат в правую часть равенства (110.7), положив там С = е ' Г (1 + тря) . (1!О.!О) Если, кроме того, принять во внимание, что я+5=-г, то окончательное выражение для асимптотики волновой функции (110,7) будет иметь вид С( ах+и 1и (Заг з1п* З ) ) и е 1 ( аг-н1п (Заг зсп' Х ) ) тм чп е (Ио. И) 2А Мпз— 0 2 где т)п = агн Г (1-1- !и). (110.12) Мы видим, что рассматриваемое решение действительно имеет стандартную нормировку и отвечает задаче рассеяния.
Единственное его отличие от волновых функций, встречавшихся нам в других подобных задачах, — это характерное для кулоновского поля логарифмическое искажение фазы. Зная выражение для амплитуды расходящейся сферической волны, мы можем сразу же написать формулу Резерфорда для дифференциального сечения рассеяния: и =!7(0)~'=(' Ох) =(ф —, (110 !З) 2йз)пх —, ) Мп'— 2 т) 2 Замечание Д При г=О из формулы (110.7) следует„что и=С, поэтоиу с учетом равенства (110.10) имеем (и (0) !' = е л" ! Г (1+ си) (з. Пользуясь известными свойствами Г-функции, последнее выражение можно записать в виде !и(О)!э= -"' — "" = — „," (110н 4 Лля положительных значений и оно всегда меньше единипы, если же 2ли >) 1, то это выражение становится экспоненциально малой величиной.
Вспоминая, что 2л,е, = йа ясы, таким образом, видим, что в случае одноименных зарядов вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер характеризуется множителем (фактор Гамова), который очень быстро убывает по мере уменьшения энергии рассеиваемой частицы. Замечание 2. Мы вывели асимптотическуш формулу (110.11) в предположении, что Я~с, где с >) 1, а нс в предположении, что Йг >) 1.
Следовательно, !)1, Разложение кулоновской функции по паряиальным волнам 303 она выполняется не для точек, расположенных вне сферы г=с)й, а для точек, лежащих вне параболоида О с 22йг Мп' — =с, или г — а= — . а ' (110.15) Таким образом, эта формула может оказаться неверной даже для очень больших значений г, если только значения угла О достаточно малы. Однако практически это ограничение ве является существенныль В большинстве случаев длина волны не превышает атомных размеров, так что, скажем, !й= 10-' см, счетчик же, детектирующий рассеяние частицы, находится от мишени по краиней мере на расстоянии г= — 10 см. Таким образом, йг=!О".
Пусть далее с ее !Оа, тогда формула [110,15) приводит к значению О= Ю-а, но для таких малых углов вряд ли можно надеяться отделить рассеянный пучок от падающего. Задача 111. Разложение кулоновской функции по парциальным волнам Разложить по парциальным волнам волновую функцию, полученную в предыдущей задаче.
Решение. Так как кулоновский потенциал зависит только от г, то кулоновскую волновую функцию с таким же успехом можно найти, пользуясь разделением переменных в сферических координатах. В этом случае она должна иметь вид и = — ~ Сг)(г (г) Р, (соз б), (111. 1) г=о причем радиальные функции ул обязаны удовлетворять уравне- нию и граничному условию )(,(о) =о. (111.2) (111.3) С помощью подстановки уг = (2нг)г+гега'Р (р), р = — 2йг уравнение (111.2) приводится к уравнению Кумыера рР" +(21+2 — р) Р' — (1+1+!х) Р=О, (111.4) (111.5) т)! = агйр (1+1 +!к), (! 11.Т) регулярное решение которого имеет вид Р(р)= — а,,Р,(1+! -)-гх, 21-1-2; — 2йг).
(111 6) Нормировочную постоянную а, мы выберем позднее. Асиыптотику решения (111.6) можно найти непосредственно с помощью формулы (110.8) предыдущей задачи. Полагая зоч /!. Задачи без счета саина. Г. С4ерически сим етричные нстенииаеы получаем , е (2/+1)1 /х Подставляя это выражение в формулу (111.4) и выбирая постоянную а, в виде -"— ," (Г«+1+/х)! 2 (2/+1)1 находим, что функция )(,(г) =а,(2нг)/+'е/"',Р,(1+1+/я, 2!+2; — 2Иг) (! !1.9) имеет асимптотику вида Х/ — з)п (/ег — х !п 2йг+ т)/ — — ) .
(! 11,10) /их Теперь наша задача состоит в том, чтобы выразить определенную в предыдущей задаче функцию и в виде ряда (111.!) с функциями у„заданными формулами (111н8) — (111.10). Функция и, записанная в сферических координатах, выглядит следующим образом: а(г, 6)=е ' Г(1+(х)е//исаев,Р,[ — /я, 1; Иг(1 — созб)ч (111.!1) Обращая ряд (!11.1), находим / ) а (г, О) Ре (сов 0) с((сов 0), (111 12) — 1 Если теперь подставить сюда выражение (111.11) и ввести новую переменную х = — И$ = — Иг (1 — соз 6), (111. 13) то нетрудно получить соотношения хх (111.14) /, = ~ ,Р,(1 + !я, 1; х) Р,( ! + .~ ) с(х.
(1 11.18) -2/чи При этом мы учли, что с помощью тождества е",Р, (а, с; — х) =,Р, (с — а, с; х) )!!. Разложение кулонаоской функции ло лирииальньик волнам 305 выражение а=е т Г(1+(и) есь"е",Р,( — сх, 1; — х) приводится к виду лх и= — е ' Г(1+сх)есь" сРс(1-~-сн, 1; х). Тзким образом, наша задача теперь сводится к вычислению интегралов /с, в частности, при условии нг)) 1. Это можно сделать с помощью повторного интегрирования по частям, если принять во внимание тождество ,Р,(а„1; х) = — (сРс(а, 1; х) —,Р,(а — 1, 1; х)1. (111.16)сс В результате п-кратного интегрирования по частям Р, в подынтегральном выражении заменится производной с(п Р—,'=(йг) пР',и' (через Рсю мы обозначаем и-ю производную Р, по его аргументу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
