Том 1 (1129330), страница 49
Текст из файла (страница 49)
11) мы приходим к уравнению Ё+ [ + 3.1Р=-О общее решение которого имеет вид о (х) = 177 — (С Л~, (х) +С У ч, (х)). (117.13) (117. 12) /2 7 )'х.lь н(х) у — соз х — — ~ — . (117.14) Теперь мы можем перейти к формулировке граничного условия. Зная общее решение (117.13) для области г > го где Я > 0 и х > О, мы должны найти его продолжение в область г < го где вил 9=1(Я), х=е ' $, $>0. (117. 15) Для малых значений комплексной переменной х имеют место равенства '1,3) "(,3) поэтому для чисто мнимых х, определяемых соотношением (117.
15), должно быть 741 (2) ' чч(х) 72~(2) "1,3) 1,3) Для действительных положительных значений аргумента $ так называемые модифицированные функции Бесселя 1,(9), опреде- ляемые равенствами Л~, (х) = У О ($), У и (х) = — 17 н ($), принимают действительные значения.
Этим же свойством обла- дает и модифицированная функция Ханкеля, ечн 7('. ($) =„,"„, Р- ° (Р— 7.(Р1= 2 ' НР(19), Благодаря соотношению (117.8) это решение не имеет особенностей в точке х=О, а от решения ВКБ оно отличается лишь заменой функций еьел функциями )е х)„ч,(х), которые асимптотически при х))'7в ведут себя как 320 е!. Зидочи без учета спина. Д. Приближение ВКБ асимптотика которой при больших положительных $ имеет внд (117.
16) Пользуясь этими математическими сведениями, мы можем записать общее решение (117.13) для значений аргумента х (117.16) следующим образом: В области потенциального барьера интересующее нас решение должно убывать по мере роста $ наподобие функции (117.!6), поэтому мы должны положить С,=С„=С. (1 ! 7. 17) Таким образом, получаем ! — 2 з!ив и (х) = )/ — С К т, (9). $3 Эта формула позволяет зафиксировать относительную фазу решений ВКБ в области х> О.
Действительно, если теперь вернуться к равенствам (117.14) и (117.13), то в силу соотношения (1! 7.17) получим / и п1 и (х) 1/ — С !у — ( соз ( х — — — — ) + соз ( х — — + —. ) ~, У (7 У пх ! (, 4 6) (, 4 или п(х) С 1/ — 3!п (х+ — ). /6 . / л~ лЯ (, 4)' (! 17,! 8) Этот результат асимптотнчески согласуется с решением ВКБ (117.3), если там определенным 'образом зафиксировать относительную фазу. Замечание. Вопрос о решении вблизи классической точки поворота можно неснольно упростить, воспользовавшись функциями Эйри (см. задачу 40).
Литература н задачам 113 — 1гд (Реп!ее! 6., 2з. Рьуз., 38, 518 (1926). Кгатете Н. А., 2з. РЬуз., 39, 828 (1926). Вьп!!ии!л !., Соп1. )!епб, Асад. 6с(,, Рапз, 183, 24 (1926). (лпелее )!. Е., Риуз. йет., 51, 669 (1937). 1И. Гармонический осцилоптор о приближении ВКБ 321 Задача 1!8. Гармонический осциллятор в приближении ВКБ Найти энергетическиеу ровни гармонического осциллятора, применив к волновым функциям ВКБ граничные условия Лангера. Решение. В случае осцилляторного потенциала р (г) = — епа х' ! 2 (118.1) значению энергии (118.2) где о — классическая скорость частицы при х=О, соответствуют классические точки поворота и х =— о=, (118.3) х= ~х„ Отсюда следует, что а =й (1 "'(.'))=й (1 — ",) (118.4) Волновая функция, найденная методом ВКБ и удовлетворяющая граничному условию Лангера в точке поворота х= — х„должна иметь вид .1*1=о- «- (1 о 1.1 е*-2).
1,-к, (118.5) Подставляя сюда вместо функции Я (х) ее выражение (118.4) и учитывая, что ти о 2Б йх = — ° — = —, о оп „оп получаем и (х) = Я 'соз ~й — ~агсз!п — + — ~/ 1 %1 ~~ и ~ (118 б) хо Теперь мы должны потребовать„чтобы это решение удовлетворяло граничному условию Лангера в другой точке поворота х= х,. Таким образом, оно должно быть либо четной, либо нечетной функцией переменной х. Вводя обозначения у (х) = — [агсз1п — + — у~1 БГ . х х I коз й.~ (118.7) йчо 2 4 ' где функция у(х), очевидно, нечетная (у( — х) = — у(х)), получаем и(Х) = Я-ЧчСОЗ(у(Х)+1р) =- Я вЂ” Чо(СОЗуСОЗ1р — З)ПВЗ(н~р).
322 !1. Задачи без учееаа енина. Д. Приближение ВКВ Значения к!к, яля нулей фунннна н и и я 0 ж 0,320 0 ж 0,466 ~ О,!754 х 0,553 0 ж 0,3!6 0 ~ 0,462 ж О,!750 ж 0,550 Задача 119, Уровни ВКБ в однородном поле Пользуясь методом ВКБ, получить энергетические уровни стационарных состояний в гравитационном поле У (г) = туг Таким образом, если <р=. 2л —, и,„(х) = Я ч ( — !)" сову, (118.8а) то решение й будет четной функцией; если же !р = (2л+ 1) —, иня+, (х) = Я- чя ( — 1)"+' 3!п у, (118.8б) то и будет нечетной функцией. Оба ограничения на фазу можно объединить в одной формуле, полагая р=л —" Отсюда, согласно соотношению (118.7), получаем Е=йв( л+ — ~. (118.9) Отрицательные значения л можно исключить из рассмотрения, так как они не удовлетворяют условию Е > )линн=О, выполнение которого необходимо для применимости приближения ВКБ.
Чтобы составить представление о качестве приближения ВКБ для волновых функций, интересно сравнить расположение нулей функций ВКБ и„и точных решений и„, найденных в задаче ЗО. Соответствующие данные приведены в нижеследующей таблице: 324 Л. Задачи без учета слила. Д.
Длиозижеиие ЕКБ или ~д(г) ((г=(и+ ~ ) (119.5) Такова общая формула, определяющая уровни энергии в при- ближении ВКБ. Применительно к частице в нашем гравитацион- ном поле получаем Зажечвнаг, Формулу (119,5) нетрудно применить к гармоническому оспиллятору, рассмотренному в задаче !13. В атом случае Е 0 (х) дх= — и, Ьм что сразу же приводит к формуле для уровней Е=Ь (и+ф). Задача 120. Проблема Кеплера а приближении ВКБ Определить энергетические уровни частицы в кулоновском поле притяжения )' (г') = — —, с применив метод ВКБ к радиальному волновому уравнению, Решение.
Условие квантования ~Я(г)с(г=(п„+ ~)и, п,=0, 1, 2, Г~ (120.!) где яз =- — (Š— (г, (г)], (120. 2) а г, ( г,— две классические точки поворота, можно применять как при полпжительных, так и при отрицательных значениях энергии Б. Под (г, подразумевается потенциальная энергия, в которую включен центробежный член, где произведена замена +2) 2 / 11 3 (119.6) Выразив здесь величину )з через энергию и положив г,= Е(гпа, окончательно найдем — [Зи(и+ —,)~ иlйзгпаз.
(1197) Эта формула согласуется с аснмптотикой (40.14) точного решения. )20. Проблема Кеплера в приближении ВКБ 325 Л =-!+в 2 (1 20.5) квадратичная форма под злаком радикала приводится к диагональному виду. Затем с помощью второй подстановки подынтегральное выражение приводигся к рациональному виду („з+1)з (Уз.+ уз) ПУ=~ пг+ 2 г) и гае уз=в гз И наконец, последний интеграл берется вычетами.
Для этого путь интегрирования следует замкнуть полуокружностыо бесконечно большого радиуса, расположенной в верхней полуплсскости комплексной переменной у, и учесть, что полюсы подьштегрального выражении находятся в точках у=!р и у=!, прячем последний является полюсом второго порядка. Оиончательно получаем В до.а) и По поводу строгого обосновании замены величины 1(!+1) иа (!+'),)в см. Соколов 4.
А., Тернов И. М., Квантовая механика и атомная физика, йзд-зо „Просвещение", 1970, стр. 200. — Прим ред. величины !((+1) на (!+'/е)' (см. задачу 121) ". В нашем случае 2 ( ' (~+2) 1 ()*=- — '( — !Е)+ — ' — ' ~. (120.З) С помощью обозначений )з 2т) Е) йз (120.4) плз ' л!вз выражение (120.3) можно записать в виде йа яз = — (г — г,) (г,— г), гз где точки поворота г, и г, определяются формулами (1 )/1 (Ц )з) (120.
6) г, = —, (1 -1- )г 1 — (Ыа)'), В этих обозначениях условие квантования приобретает вид ))~Рг(г — г,) (г,— г) — = и„+ —,) и. (120,7) бг 7 ч Вычисление интеграла (120.7) можно разбить на три этапа. Сначала с по- мощью замены переменной интегрирования 1 ! г (гв г1)х+ (гз+г1) 2 2 326 1Е Задачи без учета глина. Д. Лриблилгалие ВКБ Полагая Лйа — — 1, этот результат можно записать в виде После упрощений это дает 1 — С 1 Л вЂ” =л + —. 2 ' (120,9) Отсюда л,+ — +Л или )та = 1 1 + — +Х 2 и, следовательно, в силу равенства (120.4) теа ! Е= — — ° (лг+ — +Л) (120. 10) Так как Л =1 + '1„ то этот результат совпадает с известной точ- ной формулой для собственных значений, причем и= п,+1+ 1 (120.11) есть главное квантовое число.
2т аз 1 Яз= — ( — )Е] !в '=й ),) то в результате у нас получились бы полуцелые квантовые числа л. В этом нетрудно убедиться, учтя, что при Л =0 точки поворота, согласно (120.6), расположены в г,=о и г,=-21(лза) и что условие квантования (120.8) в дан- ном случае приводит к равенству и и / ! х — й(г ге — 1'г,)з= — =(л + — )и. 2 ' ' Дп (, ' 2) Задача 121.
Фазы ВКБ для свободного движения Показать, что с помощью замены в выражении для радиальной волновой функции величины ! (1+1) на (1+'1,)' получается волновая функция, обладающая правильным асймптотическим поведением в случае свободного движения. Замечание. Для получения этого результата весьма существенна сделанная нами замена в центробежном члене величины 1(1+!) на (1+т1з)з. Это означает, что центробежный член даже для з-состояний не обращается в нуль. Если бы мы опустили указанный член и пользовались выражением И2, Вьнисление фш ВКБ 327 Решение. При свободном движении г'=О, и в силу равенства (117.18) можно написать (нормировка произвольная) Г =(1 — ~) и ~ (Й( г ~ — и ~~), (~2~.1) Г1 где Л'=1(1+1) и г,=Л/й — классическая точка поворота.
При больших значениях г амплитудный множитель этой функции стремится к единице, и его можно опустить при обсуждении вопроса об ее асимптотическом поведении. Интеграл легко вычисляется, и мы получаем т «и 1Г ! — —., дг — — «1 —,— 1+агсз!п — — '1.
т 2)' Г~ Разлагая последнее выражение по степеням г,!г ((1, находим !«~ «п1 Я г ~ — (1 — — —,) + — +... — — '~ — г — — г,. с~«(, 2 г~7' г 2 Таким образом, функция ВКБ при больших значениях г принимает вид з!и (йг — — яг, + — ) = з!и ( йг — — (Л вЂ” — )) . (121.2) ! 2 ~ 4) (, 2(, 2) С другой стороны, для точного решения при той же нормировке имеет место формула ;(~ = 1~ (яг) з!п (йг — —,) . (121.3) Выражения (12!.2) и (121.3) становятся тождественными при больших г, если положить — или Л =1+ —, (121.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
