Том 1 (1129330), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Е. Магнитное поле быть Чф'= е" (Чф+(фЧ ). Чечр' =е' (Ч'ф+21Чф Чсс+ ЦЧеа — (Чсс) ф), чо еги (ф ( 1гсчР) Подставляя эти выражения в гамильтониан (125.4) и заменяя там потенциалы А и Ф потенциалами А' и Ф' в соответствии с равенствами (125.5), получаем е '"Н'ф'= — о (Ч'ф+2(Чсс Ччр+Ю'сс — (Ча)'ф)+ ей . 1 1 +т (~А Чф+гфА Чсс+ЧХ'ЧЧ+(фЧХ Чсс+ 3 Ф(Ч А) + + — чр Ч'Х ~ + зта (А'+ 2А ЧХ+ (ЧХ)') ф+ (еФ вЂ” —,. Х) ф + )гф. Последнему выражению после перегруппировки членов можно придать вид оаНФ =-Нчр+ — 'Ч(Х вЂ” — «) Чф+ — '~Ч'(Х вЂ” — )+ тс (, е ) 2гпс ( (, е + —,,А.Ч(Х вЂ” —,одф+3,((ЧХ)' — 2 —,ЧХ Чо+ —,, (Чо)*~ф— — 'Хф+Чф с Дополнительные члены, фигурирующие в этом выражении, дей- ствительно взаимно сокращаются, если положить сс = — Х, йс (125.
7б) так что в результате мы приходим к равенству е -'"Н'ф'= Нф — Хф с Так как наше преобразование одновременно изменяет и левую часть уравнения Шредингера (125.3) -га ' а . Ф е —. е-' чР' = — — — (ф -1- (ссф) = — —. ф — — ХчР, с то последние члены в обеих частях уравнения (125.3) взаимно уничтожаются и оно будет выполняться для штрихованных вели- чин так же, как и для нештрихованных. Этим и доказывается калибровочная инвариантность теории, если волновая функция чр преобразуется согласно соотношениям (125.7а) и (125.7б). Задача 126.
Плотность тока в присутствии магнитного поля Вывести формулу для плотности тока в случае уравнения Шредингера с векторным потенциалом, Доказать„что плотность тока калибровочно инвариантна. !26. Плотность тока в лрисутствии магнитного ловя 333 Рещение. В задаче 1 был получен закон сохранения вероятности.
При выводе этого закона мы исходили из уравнения Шредингера и уравнения, комплексно сопряженного с уравнением Шредингера, и строили с их помощью уравнение непрерывности. В этой задаче мы поступим аналогичным образом и начнем с уравнений 2. 7 ф+ж((,А.7+ 2 йу А) ф+(2. ьА'+еФ+Р) ф= (126. 1а) — — 7вьрв — — ! ( А . 7+ — йу А ) фв+ ( —. А'+еФ+)г)ф* = 2т тс (, 2 ) ( 2тсв $ ду* дь' (126.
16) Умножая уравнения (126.1а) и (126.16) соответственно на ф* и ф и вычитая их одно из другого, получаем 2т (к ! ф л)+ + с ! (А 7 (ьр'ф) + ф'ф йу А ) = — —,. дЕ (ф'ф). ей Гь д Так как далее ьр*7'ф — ф7'ф' = й ч (ьр*7ф — ьр7ьр') и А 7(фф)+ф'фйуА =йу(Аьр'ьр), то левую часть этого уравнения можно представить в виде ди- вергенции некоторого вектора. Таким образом, сохраняя прежнее определение плотности вероятности (126.2) мы приходим к уравнению непрерывности йуа+ — =О, др (126.3) в котором плотность тона вероятности з имеет вид 3 = —,. ( ф*7ьР— ф7$' — 2! — Аьй'ф) . (126А) Й г . е 2ои (, йс Последняя формула является обобщением формулы (1.6), выведенной ранее для случая А = О.
Выполняя калибровочное преобразование, рассмотренное в предыдущей задаче, А' = А+ 7)(, ф' = ес "ф, оь = — ';1, (126.5) йс 336 11. Задачи бее учета спича, Е. Магиитпое поле находим (ф*И вЂ” файф')'=ф*(Чф+1фж ) — фМ* — (ф*С )= = ("Ф*~Ч' — фт ф*) + 2(ф'ФЧсг — 21' — (Аф'чр)' = — 21 — ' (Аф"'ф -)- ф*фу)() = Фс Фс 21 — А гй*чР— 21ф*чР'Рос йс Задача 127. Нормальный эффект Зеемана На электрон, помещенный в центральное поле, дополнительно воздействует однородное магнитное поле 3С.
Определить стационарные состояния электрона. Спин электрона ие учитывать. Решение. В пренебрежении релятивистскими эффектами дифференциальное уравнение для стационарных состояний электрона с зарядом — е имеет вид йе ей — — — у'и — — 1 (А р) и + Уи = Еи, 2т тс причем выше мы воспользовались калибровкой с((уА =0 и опустили член, пропорциональный А'. В случае однородного поля эь, направленного вдоль оси х, мы можем удовлетворить условию калибровки, положив Ах= 2 ееУ.
Аи —— 2 Ях, А,=О, (127.2) при этом А Чи = — ЯГ ( х — — у — 11 = — Я'-, / ди дик ! „ди 2 (, ду дху 2 ду' (127.3) и уравнение (127.1) можно записать в виде Ье ев „ . ди — — р'и — Ух"1 — + Уи = Еи. 2т 2тс део (127.4) Заметим, что член, содержащий магнитное поле, можно переписать несколько по-иному: —,'„К-7., (127. 5) где Š— оператор момента количества движения, а-компонента Отсюда следует, что плотность тока вероятности (126.4) калибровочно инвариантна. Очевидно, что определяемая равенством (126.2) плотность вероятности р также калибровочно инвариантна, следовательно, этим же свойством обладает и сам закон сохранения.
337 !27. Нормальный аффелгл Зеелана которого равна л а Б = — —. е 1 ьу<р ' Согласно максвелловской теории электромагнетнзма, движущаяся частица с зарядом — е и моментом количества движения Е порождает магнитное поле, обусловленное дипольным магнитным моментом (127.6) поэтому величину (127,6) можно записать в виде — М И. Последнее выражение представляет собой, на самом деле, хорошо известную потенциальную энергию диполя )И в магнитном поле М. Решение дифференциального уравнения (127.4) можно искать в виде (127.7) Ц = 1, (г) У! и (д, Ф), тогда член, содержащий магнитное поле, даст в уравнение вклад ей — Я(а и, 2глс и вместо (127.4) теперь можно написать йв т / ей — Р'и + )'и = 1т Š— —,тг.")а ) и.
2гл 2гле (127.8) Это уравнение по форме совпадает с дифференциальным уравнением для случая зт = О. Отсюда следует, что под действием магнитного поля энергетические уровни расщепляются: Б' н=Бл +2 е ~Р. ь ей (! 27.9) Здесь через Еь„, обозначены собственные значения для случая Я~=О. Учитывая, что вар =а„и принимая во внимание равенство (!27.6), последнее соотношение можно преобразовать к виду Бь (127. 10) е йг .= —,яс мьг — 2лм е (127.11) что и следовало ожидагь исходя из классических соображений, Характерный магнитный момент е71|(2птс) называют магнетонож Бора, а квантовое число р — магнитным «вантовым числом. В рассматриваемом случае система собственных состояний та же самая, что и при Я = О, но магнитное поле уничтожает пространственное вырождение энергетических уровней. Замечание.
Форлгулу 1127.9), опрелелиющую уровни энергии, можно получить, рассматривал оператор магнитной энергии (127.5) 338 78 Задачи бгз учета спина. Е. Магнитное лоле в качестве возмущения. В первом порядке теории возмущений сдвиг уровней определяется диагональным матричным элементом оператора Пг , вычисленным по невозмущенным собственным функпням: е Г ° Й д <л(„),, „,„г. 2тс '~' <127.12) Совпадение приближенного результата с точноз формулой (127.9) объясняется тем, что волновые функини нулевого приближения в интеграле (!27.!2) сов- падают с точными решениями уравнения (127.4).
В связи с вопросом о прави- лах отбора см. задачу 216. Задача 128. Парзмагнитная и диамагнитная восприимчивости без учета спина Вычислить парамагнитную и диамагнитную восприимчивости на один связанный электрон, находящийся в центральном поле. Спин электрона не учитывать. Решение. Пусть на рассматриваемый атомный электрон, движение которого описывается гамильтонианом Н„ дополнительно действует магнитное поле Я !!з. Выбирая калибровку, при которой дивергенция вектор-потенциала обращается в нуль, получаем Н = Н, — — !'А '17 + — ', А'. (128.!) Чтобы удовлетворить условию калибровки, положим Ач= — 2 У~У, 4и —— 2 Мх, Аз=О, (128,2) 1 ! тогда етс.ЯI д дй ез Яз Н = Н + — ! — ' ( у — — х — ) + — ° — (х'+ у') тс 2 (, дх ду ) 2тсз 4 или 2тс * 8 сс,тб с~Я~~ (128.
3) е,рг" 1<л'1 — 'ь (лу 1' ЛЕ„=< ) '~ 1 + — 'г 3!и О)гг>-)~ (128,4) Пусть далее все атомы веп!ества находятся в основном состоянии (такое предположение действительно разумно, так как эпер- Магнитная энергия в состоянии ~п> (посредством и обозначена вся совокупность квантовых чисел, характеризующих одно- электронное состояние) с точностью до членов второго порядка равна 128.
Парамагнитнан и диамагнитнан еасариимчивссти 339 гия возбуждения, как правило, составляет несколько электрон- вольт, что значительно больше тепловой энергии). Допустим, что в этом основном состоянии рассматриваемый электрон обладает орбитальным моментом Й и, следовательно, может иметь различные значения проекции момента Тет, на направление магнитного поля.
В этом случае первый член формулы (128.4) даст в магнитную энергию (отнесенную к одному электрону) вклад вида (128,5) В состоянии теплового равновесия число электронов с проекцией момента лгп, пропорционально, согласно Больцману, ехр ( — Еп'/ЙТ ), поэтому средняя магнитная энергия, приходящаяся на один электрон, будет равна +! ~Р те атв (!28.6) 3 -ат где ей Я= —, 2тс !гТ Безразмерная величина сс для всех разумных значений напряженности поля Я значительно меньше единицы, и фигурирующие выше экспоненты можно разложить в ряд. Таким образом, имеем а'тч ... ~те ат! ~~» (те — ат!ч+ т! ''') ~~е "тг т,ч~(! 1 ! е е ) Все эти суммы симметричны относительно ие = О, поэтому суммы, содержащие нечетные степени т„обращаются в нуль, и мы можем написать ! ,„~вт) +!) ( е) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
