Том 1 (1129330), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Но Р, представляет собой полипом степени (, поэтому процедура интегрирования по частям оборвется на (-м шаге. Детали этого расчета даны в приложении, помещенном в конце задачи, а результат при нг)) 1 имеет вид ~(,~ Р, ( 1)х п=с 1 Е-Слггн-п) х ( . е-"э' ( — 2йг)сн +( — 1)"+' . ( — 2сйг)п-сн~ )Г(1+си) Г(1+л — сн) (111.17) Если п.=О, то оба члена в фигурных скобках имеют одинаковый порядок величины, в противном случае вклад дает лишь второй член.
С помощью приведенного в приложении равенства (111.22) после небольших преобразований получаем ,), ( — 1)с-„„",, ( Г с х( -'""'"'" "' — д( — сс' л( (! — л)1 Г (1+л — !н) ~ п=о и укаэанное тождество следует нэ общей формулы с1 ! — с — 1,Р, (а, с; х) — сР, (а — 1, с; х)1 =,Р, (а, с; х) + —,Р, (а, с + 1; х), если в ней положить с=1; эту формулу легко вывести с помощью соотношений, приведенных в прнложеннн (см. т.
2, стр. 304). зоб 1х, Задачи без учета спина. Г. Сферичеспи симметричные потенииилы Можно показать, что коэффициент в квадратных скобках равен гпх щ(и,— — ) е н, следовательно, .( 1н 2 Г(1+пи) х з!п (йг — х )п 2йг+ т), — — ") . (111.18) Подставляя это выражение в равенство (111.14) и используя асимптотику (111.10) для функции у„получаем Сг = —, (21 + 1) 1ге'чг, (111.19) поэтому окончательно искомое разложение при больших и» при- нимает вид и — — ~ (21+ 1) Ре и~ х ~ав 1пХ Х з!п (Аг — х !п 2йг+ т),— — ) Р, (соз 6).
(111.20) Заметим, что в известном смысле волновая функция (111.11) и ее разложение по парциальным волнам аналогичны плоской волне и ее разложению по парциальным волнам. Если исключить влияние кулоновского поля, положив х=0, то, согласно равенству (111.7), мы будем иметь т),=0, и, следовательно, функция у„определяемая выражением (111.9), перейдет в сферическую функцию Бесселя, а волновая функция и и разложение (111.20) соответственно перейдут в плоскую волну и ее разложение по парциальным волнам. Приложение. Ниже вместо,Г, (а, 1; х) мы будем просто писать Г . Однократное интегрирование по частям дает и Рсуааз~=~ 1 г (Га+г Га) дх= дх = Рг (Гааз — Га) + — Рг (Гает — Га) дх й»,1 Повторяя зту пропедуру 1 раз, получаем ~Р~Гаа,де=~, ( — ) Рг"'Х а=о Х )Гатт ( 1 ) Га ( а ) Га — г 'т +( 1) Га-л~(а ° На верхнем пределе, когда х=о, все Г = 1 и выражение в фигурных скобках обращается в нуль.
Таким образом, у нас остается только вклад от ниж- 112. е(напальное рассеяние него предела, где х= — 2ьйг и аргументы полнномов Лежандра равны — 1, поэтому имеем ~с) ~ ( ) л=о ч= -! (!11.21) Р =,Рт (ех — т, 1; — 2!йг). При йг )> 1 имеет место асимптотическая формула е йт Нн л) е зые 2(йг о-ен, ' ( 2(йг)-ч-!+Ен Г(1+ — (х)( ) Р Р( — +)х) ( Первый член в ней пропорционален (йг), а второй — (йг) т ', В сумме (11!.21) значение ч ограничено интервалом — ! ~еж,л, поэтому ее аснмпто. тическое выражение будет определяться первыи членом слагаемого с ч=л н нторым членом слагаемого с ч= — 1, так что н результате мы получим фор. мулу (111.17), приведенную выше.
Значения производных полиномов Лежандра легко получить, воспользовавшись соотношением (1+ т)! Р)(соз д)=-орт(1+1, — 1, 1; 1)= ~ ( — 1)л (! — т)! тн где ! 1 = — (1 — соз д). 2 Дифференцируя обе части этого равенства л раз по 1 и полагая затем ! =О (соз д = 1), находим ег'Ре (!) (1+ л)! л! ( 1)л е(1 л (1 — л)1 лм и, следовагельно рел! 1 е( Рг(!) ! еч (1+я) (а соэ д)л йл (! л)! л! Роо ( В (! + л)1 2л (1 — В л! (11!.22) Задача 112. Аномальное рассеяние Пусть наряду с кулоновским полем предыдущей задачи имеется короткодействующий потенциал (например, ядерные силы или конечное распределение электрического заряда) и пусть й)т(( 1, где )с — радиус действия этих дополнительных сил.
Выразить амплитуду рассеяния через дополнительный сдвиг фаз рассеяния. Решение. Если Й)с((1, то благодаря наличию дополнительных короткодействующих сил изменится лишь одна фаза а-рассеяния. Вместо асимптотической формулы (111.!0) предыдущей задачи мы теперь имеем формулу )(, — ~ А ейп (йг — х !п 2йг+ по+ Ьо), (112.!) 308 П. Задачи йеэ учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы где б,— дополнительный сдвиг фазы рассеяния. Это выражение мы должны сравнить с первоначальной формулой для точечного заряда: Х, з!п (нг — и 1п 2йг+ 21,). (112,2) Их разность Х о .(е! !пе-и !о 22е+чо! (Аееео — 1) — Е-е!Ь'-и ы ьы+чо2~ о о х (Ае-"о — 1) ) должна содержать только одну расходящуюся сферическую волну, следовательно, должно быть Ае-ее =1 (! 12.3) Х вЂ” у —, (22мо 1) е! !ы-и!о 2ле+чо!.
(112.4) о о 2! Таким образом, необходимо дополнить правую пасть равенства (111.20) новым членом — а!по (Х, Х,), Заменяя далее разложение (111.20) выражением (110.11), получаем для рассеянной волны формулу вида ! !пе-и !и 22е+2чо! и -Еи !и о!и*— и + е 2 — ! (22!ее — 1),(112,3) рао 2йе 0 5!нов 2 позтому амплитуда рассеяния теперь равна и -еи !о о$о' — ! ~(0) = — й '+ — „,(е — 1). (112.3) 22 о!нов 2 Следует отметить два обстоятельства: во-первых, дополнительный член не зависит от угла рассеяния и сильнее всего скажется при больших углах, где собственно резерфордовский член мал; во-вторых, в сечении рассеяния ~1(6) )о теперь будет присутствовать интерференпионный член резерфордовского и аномального рассеяния.
Задача 113. Преобразование Зоммерфельда — Ватсона Пусть амплитуда рассеяния ~ (О) = ~~ (21+ 1)~еР! (соз О) (1 13.!) ! о записана в виде контурного интеграла в плоскости комплексной беременной 1 в предположении, что каждый член суммы (113.1) 310 П. Задачи без учета спина. Г. Сдмричаки симметричные патенаиалы этн полюсы располагаются в точках Л= а„и пусть вычеты функции 1(1) равны в них Р„, тогда вклад полюсных членов в амплитуду рассеяния будет иметь вид л Что касается интегрального члена, то с помощью замены переменной Л=(р, где у — действительная величина, его можно записать следующим образом: (113.
7) Мы видим, что амплитуда рассеяния 1(б) действительно разбивается на две существенно различные части: 7(()) =)р(б)+)а(б). (1! 3.8) Замечание. Полюсы амплитуды рассеяния 1(1) в плоскости комплексной переменной ! называют полюсами Редже, а линии, по которым они перемеща.
ются в этой плоскости при изменении энергии,— траекториями Редже. Важность полюсов Редже обусловлена тем, что они дают в наше распоряжение альтернативную возможность описать взаимодействие между станкина!ощимися частицами, которое обычно описывается с помощью потенциала. Если положение полюсов ап и вычеты з них амплитуды рассеяния (!и известны, то рассеяние ыожно описать с помощью этих параметров. Этот метод, по-видимому, должен быть особенно удобен в физике элеыеитарных частиц, так как экспериментальные данные свидетельствуют о наличии резко выраженных резонансных состояний (промежуточные частицы или резононы). Конечно, там прихолится иметь дело с очень высокими энергиями, и вся теория должна быть сформулирована релятивистским образом.
Что касается нерелятивистской теории, то ее можно использовать в ядерной физике для описания компаунд-ядра. Задача !14. Полюс Редже Пусть при данном значении энергии полюс функции 7(1) располагается вблизи физического значения 1, вапример вблизи 1= 1., где 1,— целое число. Какая физическая ситуация описывается этим полюсом, если значение энергии подвергается небольшому изменению? Решение. Мы будем рассматривать вклад в амплитуду рассеяния от одного-единственного члена суммы (!13.6), который, опуская индекс п, можно записать в виде 1р(б) = 21эсх (114.!) В этой формуле сс = 1. + —, + - + ч), ! (114.2) 1)4.
Поееж Редже З!! а оба действительных числа, $ и сь предполагаются малыми (($((<1, (т))< 1). Таким образом, имеем соз яа = ( — 1)е з!и и ($+ (5)). (114.3) Функцию Лежандра с комплексным индексом т = а — 'Е, можно выразить через обычные полиномы Лежандра: л Л=О поэтому в рассматриваемом нами случае должно быть Р б( — созб) = —. Х ( — 1) 5(п л (5+(Ч) Х (ел+1) Рл(с05 ()) (Š— л + й+ (Ч) (!. + л + 1 + 5+ (Ч) ' и, следовательно, Ер(б) =л-'(е+ 2+С+(т))Х Ю С' (5Л+ 1) Рл (СО5 ()) „ллле (Š— а+ 1+(ч) (Е+ 5+1+ $+ (ч) (114.
5) (114.б) 1 Ее=Š— —,(Г. о (114.8) До сих пор мы не делали никаких приближений, и вклад полюсного члена учитывался точно. Теперь мы воспользуемся малостью величин $ и ть из-за которой первый сомножитель в знаменателе дроби (114.6) становится при я=Е очень малой величиной. По этой причине указанный член оказывается значительно больше других членов и в резонансном приближении последние можно не учитывать. Таким образом, имеем (р(6) ж — (2Е+1) (114.7) Перейдем теперь к изучению зависимости этого выражения от энергии Е рассеиваемой частицы.
Положению полюса в точке ). =а, разумеется, соответствует некоторое определенное действительное значение энергии Е, но момент количества движения при этом не является целочисленным и, следовательно„ не соответствует никакому реальному физическому состоянию. Если теперь предположить, что состояние, отвечающее физическому целочисленному значениюмомента количества движения Е, располагается вблизи рассматриваемого полюса, то энергия такого состояния будет комплексной величиной — ее действительная часть Е„будет близка к Е, а мнимая часть мала, Таким образом„можно напи- сать 3!2 1!. Задачи без учета слоне. Г. Сферичесни симметричтче потенциала ~ (Е с) + !т! (Ес) = 0 (114.9) Пусть теперь Š— действительная энергия реального физического состояния н пусть она ие слишком отличается от Е„тогда можно написать $(Е)+гЧ(Е) ( ~е е-и (Е Ес) (1!4.10) Подставляя последнее выражение в формулу (1!4.7), получаем ~р(0) = — „Рс(созй) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
