Том 1 (1129330), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В задачах рассеяния в качестве решения однородного уравнения и,(г) следует брать плоскую волну, описывающую пучок падающих частиц. Пользуясь стандартной нормировкой, запишем ее в виде и,(г)=е'о'"; )йе)=А. (105.5) Решение уравнения (105.4) можно получить методом последовательных приближений: и„(г) = и, (г) —,д ~ 6 (г, г') Я7 (г') и„, (г") еРг', (105.7) Другими словами, его можно записать в виде ряда Неймана: и (г) = и, (г) +и ) еРг'6 (г, г') М7 (г') (и, (г') + + д ~ 6 (г',г") Ж' (г'"') [и (г'е) +... ) еРг"), Последний представляет собой ряд по степеням „константы взаимодействия" д. Для нахождения и-го приближения необходимо вычислять Зи-кратный интеграл, что делает расчет всех членов, кроме первого, весьма громоздким.
286 !У, Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы Формула первого борковского приближения заметно упрошается в том случае, когда потенциал )р'(г) зависит только от модуля вектора г. В этом случае асимптотическое поведение функции и, (»), согласно формулам (105.7), (105.6) н (105.5), будет описываться равенством ег»г ' и (») ес», г и— ~ е-с»г'сове')г' (»') ес», г'е(е»' (105 8) 4иг д Введем вектор еи„совпадаюгций по направлению с вектором» (ге и такой, что ~ Й, ~ = й.
Тогда У Й»'созВ'=(Й, »') и интеграл (105.8) принимает вид М ) е(»'»'~ее '» -» и" %' (»') сЮ'. (105 9 о Ф и г. 66. Волновые векторы и угол рассеяния. Вектор еч ечг мч (106.! О) представляет собой импульс (в единицах й), переданный частице, рассеянной в направлении вектора г. Обозначив посредством 0 угол рассеяния, т. е. угол между векторами еее и г, мы можем написать (фиг. 56) К= 2й ейп —, в и (! 05.1! ) Выполняя в выражении (105.9) интегрирование по углам, получаем Ф е-ск г'с!О' = 4п (105.
12) Кг' так что формула первого приближения (105.8) окончательно приобретает вид ег» г и,(г) = и'» ' +! (6) †, (105.13) где О 1 (0) = — д ~ «")г' (»'),, е(»'. о Амплитуда рассеяния ! (О) простым образом связана с дифференциальным сечением рассеяния: до = ! ~ (б) ( (105.!5) (! 05. 14) Формулой (105.14) для амплитуды рассеяния, разумеется, нельзя пользоваться, если интеграл расходится на верхнем или на нижнем пределе. Следовательно, в окрестности точки»'=0 7бб. Раееепние на потенциале 70каеее 287 Задача 106.
Рассеяние иа потенциале Юкавы В первом борновском приближении найти амплитуду рассеяния в случае сил притяжения, описываемых потенциалом Юкавы: е- а~ 1 )г(г) = — 17,, а=— (106. 1) го Оценить качество приближения, используя разложение по парциальным волнам. Решение. В первом борновском приближении имеем 1'(б) = — — ~ ге)г (г) — е(г, 2т Г, МпКе К. 'о К= 2й ейп —. д 2 ' Применительно к потенциалу (106.1) элементарное интегрирование дает 1 (6) Рге 1+К ге (106.3) где постоянная Р 2т1'ого (106 А) характеризует „размер" потенциальной ямы.
С другой стороны, разлагая амплитуду рассеяния по парциальным волнам, имеем О 1(д) = —, 1 (21+ 1) (е™е — 1) Р, (соз 6). (106.5) 7=о Чтобы оценить качество первого борковского приближения (106.3) с помощью фаз рассеяния б„мы должны либо разложить выражение (106.3) по сферическим гармоникам, либо произвести зто разложение непосредственно в формуле (106.2) и лишь затем перейти к частному случаю потенциала Юкавы.
Разумеется, оба пути ведут к одному и тому же конечному результату. 1. Разложение амплитуды рассеяния (106.3) по парциальным волнам имеет вид н ега ') (21+ 1),, Р, (соз д) =- 7 О потенциал должен расходиться не сильнее, чем г'-'+'(е > О). С другой стороны, при больших г' он должен убывать быстрее кулоновского потенциала, т.
е. по крайней мере как г'-'-'. 288 !Д задачи бее учета спина. Г. Сферически синиетричнте патснчиало! где х =!ег . о о' (106. 6) Пользуясь ортогональностью сферических гармоник, получаем ом ! е ! — ! Р ( Р (!!с!! 2! 4хо,) !о — ! -! (106,7) !о 1+ 2хо Фигурирующие здесь интегралы ! ! (' РсЯс4! ( ) 2 ) ! ! = С о -! (!06,8) Заменяя здесь переменную 1, переменной хо, окончательно получаем б, ж —. (емо! — 1) = Рср, (х,), (106.9) причем !р, (хо) = 4„!п (1+ 4х3), ! "о <р, (х,) = — ( ~1+ — о) 1п (1 + 4хо) — 2~, 4хо ( (, 2хо) 2. Чтобы разложить амплитуду рассеяния (106.2), восполь- зуемся тождеством и — = ~, (21+1) !! ()ег) Р! (сов 6).
(106. 10) Сравнивая теперь выражения (106.2) и (106.6), получаем соотно- шение б, — —. (со!ос — 1) = — й ~ еоР' (г) 1! (Ь ) е(е. (106.11) о Если подставить сюда вместо )е(г) выражение для потенциала Юкавы (106.1) и ввести обозначения а ! ! )ЕГ 4 В И а=-= — =— определяют функции Лежандра второго рода (!о ~ 1). Две первые нз них имеют вид (со (со) !о 289 106. Рпссеянпе иа потенциале Юлавег то зто соотношение примет вид —.
(гогот — 1) = — Р- ге-"() (г) дг. г 2г Еал о С помощью известной формулы и)2 1)(г) = —, ~ 1~(2гз)яд)з)п'+'дсозм+'Ыд (106,12) о интеграл (106.11) можно преобразовать таким образом, чтобы функция Бесселя входила в подынтегральное выражение линейно.
Учитывая далее, что' Ю о Ф -ог а)йг дг г г г )о го бо ла «го Ф и г. 87. Первое приближение для гРав рассеяния на потенциале Юханы 8т = Ргрт ()ггз). Р— параметр, характеризующий размер имм. Па сок абсцисс стложев эиергетическиа параметр в лсгврифмкческам масштабе. окончательно получаем п72 2хе й о С помощью замены переменной интегрирования т =з)пзд+рз последний интеграл приводится к более простому виду 1 таз () — р')г () + рз — ) )г,)г (106. 15) аз и его можно вычислить для каждого значения 1. В результате, разумеется, снова получается найденная выше формула (!06.9).
Чтобы можно было судить о качестве сделанного приближе- нна, на фиг. 57 изобРажены гРафики фУнкций ~Р.(хе) и Ч~т(хе) 290 П. Задачи без учета спина. Г. Сферически симметричные потенциалы (по оси абсцисс отложена переменная х, в логарифмическом масштабе). При х, = 0 обе функции обращаются в нуль и при малых энергиях они ведут себя соответственно как ср. (хо) ='" (1 — 2хо+ ° ) (106.16) Ц»с (х.) = 3 хо (1 — 4хо + ). Далее обе они проходят через максимум и при больших энер- гиях снова стремятся к нулю. Борновское приближение оказы- вается хорошим в том случае, если для интересующего нас зна- чения энергии выполняются неравенства Рф.<<1 и Аг.>1 Может случиться, что произведение Рср, не очень мало по срав- нению с единицей, но все еще имеет место иеравенетво Рср,((1, в таком случае можно написать 1(б) = — „,( "— "" )+)н(0), (106.
17) где индексом В отмечены амплитуда и фаза рассеяния в бор- новскол| приближении, определяемые равенствами (106.3) и (106.9). Точный расчет здесь требуется только для определения фазы б„(1 =0), остальная же часть амплитуды 7" (0), т. е. )а(б), нахо- дйтся по формуле (106.3). Замечание. В первом борновском приближении и амплитуде рассеяния (106.3) и выражение (106.9) для функпии бс —.(е с — !)=е сз|п6, ясе ое 2» оказываются действительными. Это возможно лишь в том случае, когда истин- ная фаза рассеяния удовлетворяет условию )бс)(< 1, поскольку разложение интересуюшего нзс выражения в ряд по степеням бс имеет вид есес Ып б, = б,+ |бс + ....
Вообще говоря, достаточным является даже условие б) (( 1, тек кзк в пол- ное сечение рассеяния 4л а = —,, ~~» (2|-1-1) зт'б, с=о входит только ып'б,=б) — бс+... 1 о 3 Задача 107. Рассеяние на экспоненциальном потенциале В первом борновском приближении определить амплитуду рассеяния на потенциале вида )с(с.) )с е»с», (107. 1) В этом же приближении найти фазы рассеяния б„и б„обусловленные вкладом состояний с 1=0 и 1=1. С помощью метода, !07.
Рассеяние на енспаненциаяоном яатенциаяе 29! развитого в задаче 96, вычислить фазу рассеяния 6, во втором борковском приближении и результат расчета сравнить с полученным ранее. Решение. В первом борковском приближении амплитуда рассеяния имеет следующий вид: Ог ~(6) = — '„, ~ "Р() — ""„,'" (, (107. 2) О К= 2й з1п —. 2 Вводя безразмерные величины 2т!',со Р= — х =йг о о (107.3) и используя в качестве переменной интегрирования величину х=г/г„амплитуде рассеяния можно придать следующую форму: 1(6) = — „.
(хе «з)п дхдх, с) =-2хосбп —. (107.4) Р о Последний интеграл вычисляется элементарно, н окончательный результат имеет вид 7(0) =— Р 24 к (!+чг! или )'(0) = 2Рсо (а — Ь саг О!г (107.6) а=1+2хог, Ь=2х,'. Для амплитуды такого вида нетрудно рассчитать и полное сечение рассеяния: ! о =ф)) (д) )ос(() = 4п.2Р'гг~ -! Этот интеграл также вычисляется элементарно, н в результате получаем ,2г ргег 2хо (107.6) Наше приближение, разумеется, не улавливает ни резонансных эффектов, ни зависимости от знака величины Р (случай притяжения и случай отталкивания). Так как формула (!07.6) относится к области высоких энергий, то х„'))1 и ее можно еще более упростить: 4я , ! 4и Р' хо 282 П.
Задачи без учета спина. Г. Сферически симметричные потенциалы Мы видим, что с ростом энергии Е сечение убывает как !7Е. Перейдем теперь к вычислению фаз рассеяния 6, в первом борновском приближении. Как мы знаем, имеет место разложение 7" (6) = —, ~», (21+ 1) (егсбе — 1) Р, (соз 6) (107.7) гыо и, следовательно, ! —. (егсбт — 1) = — ) г(6) Р, (соз 6) д(сон 6). (107.8) -1 Подставляя сюда вместо 7'(6) выражение (107.5), мы после несложных вычислений, в частности, получаем (егсбч 1) Р о (107.9) 2! 1+ 4ха 1+2»' —. (его, 1)--Р 1 + "' — —,!и (1+4хоз)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
