Том 1 (1129330), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В случае сил отталкивания, когда потенциал имеет вид ц /Ко О~~к~()ч> (О, г)й, (101. 10) мы аналогичным образом для длины рассеяния находим точную формулу ~=-~(Х"'-1) и приближенную формулу (101. 11) 2 ~ Хо,) о (101.!2) В случае сил отталкивания резонансные эффекты отсутствуют, поэтому наше приближение, как показывают последние два столбца таблицы, оказывается более удовлетворительным. Задача 102. Длина рассеяния потенциала Юкавы Определить длину рассеяния в случае сил притяжения, описываемых потенциалом Юкавы: ео ~ я 17(г)= — 1',— 'е-и", 1',= — ~ .
~ ео Рассмотреть три метода: а) метод линеаризованного уравнения Калоджеро; б) метод численного интегрирования уравнения Шредингера при д=1; в) Метод Бориа. Решение. И линеаризованное уравнение Калоджеро, и борновское приближение — это методы, типичные для области высоких энергий, поэтому не следует ожидать, что они дадут надежные результаты для длины рассеяния, т. е. в области низких энергий. В задаче 98 было показано, что линеарнзованное уравнение Калоджеро лучше второго и тем более лучше первогоборновского приближений. Таким образом, данная задача может служить иллюстрацией того, что эти приближения с точки зрения их качества располагаются именно в таком порядке, как указано выше.
В этой связи весьма удивительно, что полученные ниже результаты в общих чертах все же передают основные особенности рассеяния даже при нулевой энергии. 278 !1. Задачи беа учета саина. Г. Сферически симметричние аатенциалсе а. Воспользовавшись, выражением (98.4) для функции 7(г) и определением длины рассеяния а = — !пп— !К дч (102. 2) Ф-~о и введя обозначения (l (х) = — )г (г) = — Ч, ° —, х= — „(102.3) мы получим следующую приближенную формулу: а = — дге ~ хе "еае' 'с(х.
о (102.4) Подставив в эту формулу найдем у — 2уе-к ае 1 а = — — г, ) ег (1п 2у — 1п у) с(у. о Вводя интегральную экспоненту г ! Е!у= ~ — е' с(г' Ф и интегрируя по частям, окончательно получаем 1 а = — — г„(Е12д — 1п 2д — С), (102. 8) где С = 0,8772... — постоянная Эйлера. Числовые результаты для некоторых значений константы взаимодействия д приведены в нижеследующей таблице: — ара ! — а!о 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,1052 0,2220 0,3518 0,4967 0,6589 0,84!3 1,0468 1,2790 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,5425 1,8420 2,1835 2,5740 3,02!7 3,5362 4,1290 702.
Длина ооеееяния потенциала Юкаал 279 б. Длину рассеяния можно определить, зная решение радиального уравнения Шредингера при нулевой энергии е-к Хе= йе „, Хе которое определяется начальными условиями Х,(0) = 0 Х~ (0) = 1. (102.7) При очень больших значениях х член, содержащий потенциальную энергию, практически равен нулю, поэтому асимптотическое решение представляет собой линейную функцию: (102.8) где постоянная и связана с длиной рассеянии а соотношением (102.9) Разрешая асимптотическое равенство (102.8) относительно а, по- лччаем (102.
10) Ниже в таблице приведены интересующие нас величины, полученные численным интегрированием уравнения (102.6) при начальных условиях (102.7) для случая у=1. Из таблицы видно, что величина и, рассчитанная по формуле (102.10), при х=-0 равна нулю, а затем с ростом х медленно возрастает, стремясь к некоему постоянному пределу, который и определяет длину рассеяния. В нашем примере имеем и = — 2,66»е. (102.11а) Это значение следует сравнить с приближенным значением (102.6), 0 1 2 3 4 5,5 6 0 0,638 1,040 1,3!2 Ц 559 Ц 798 1,916 2,033 1 0,457 0,298 0,255 0,24$ 0,237 0,236 0,235 0 0,348 Ц 484 2,15 2,47 2,60 2,63 2,65 280 )!.
Задачи без учета спина. Г. Сферичеспи симметричнае потенциала которое при й = ! равно а = — 1,842»,. (102. 11б) в. Формулу первого борновского приближения можно получить из формулы (102.4), если оставить там только член, линейный по д. Таким образом, имеем а, = — йг, )г хе ч с(х = — яг„ о что в случае й = ! дает а,= — г,. (!02.110) Если же в разложении подынтегрального выражения в (102.4) мы учтем еще и член, квадратичный по р, то в результате у нас получится формула второго борновского приближения: 1 а, = — дгч ') хе " (1 + 2де ) дх = — дгч ( 1 + — д ) . о Отс1ода для случая д=! находим оч — 1,500!о (102.
11г) В заключение заметим, что чем сильнее взаимодействие, тем, разумеется, больше отклоняются от точного все три рассмотренные нами приближенные значения. Классификация этих приближений в качественном отношении вполне соответствует той, которая предсказывалась нами в самом начале задачи, Литература и задачам 96 †1 Са!ояего г., )Чисто С1теп1о, 27, 261, !1963), К!аг )7., Кгйаег Н., 2я )чнуз., 191, 409 (1966). Кгййег Н., 2з.
йнуз., 204, 114; 206, 338 (1967). Задача 103. Улучшение сходимости рядов сферических гармоник Используя рекуррентные соотношения, связывающие соседние полиномы Лежандра, получить вместо ряда ! (х) =,~ ~'),Р! (х) (103.1) более быстро сходящийся ряд для функции (1 — х))(х). Решение. Чтобы получить интересующий нас ряд, мы можем воспользоваться рекуррентным соотношением (1+ 1) Р,ч, (х) + !Р,, (х) = (2!+ 1) х Р, (х). (103.2) 282 11. Задачи бео учета спина.
Г. Сферичесни симметричние потенциала Задача 104. Интеграл по прицельному расстоянию Когда )сй>) 1, где )т — эффективный размер области взаимодействия, основной вклад в амплитуду рассеяния дают состояния с 1)) 1. Заменив сумму по 1 интегралом по прицельному расстоянию Ь и взяв для фазы рассеяния 6 (Ь) выражение, полученное методом ВКБ, определите сечение рассеяния. Решение. В общую !)юрмулу амплитуды рассеяния ) (О) = —,у ч (21+1) (еес'с — 1) Р,(соз0) (104.1) введем прицельное расстояние ! )+— 2 Ь=— й (104. 2) и используем его в качестве переменной интегрирования: ) (О) = — (й ~ Ь (е"" '"! — 1] Р, (соз О) й. (104.3) о тогда, очевидно, (+ ) 4' (1 — 1) (1 + 2) = ).' — —, те )(+ + ) ( +2)' Замена нижнего предела интегрирования 1)(2й) ~()т нулем в данном случае вполне допустима. Несколько труднее представить полипом Лежандра Р, в виде функции прицельного расстояния Ь.
По определению полиномы Лежандра связаны с гипергеометрической функцией соотношением Рс(созб)=,Р,(1+1, — 1, 1; з1п* — ), (104.4а) или подробнее л! ° ч)-~ — . н * — ч- .в )()+ !) е !) (! — !) )(!+!)()+2) . ч !) !и 2 2! 2 (104,4б) Отсюда нетрудно получить асимптотическое выражение для значений 1)~1. Введем обозначение )'=1+ —, ! 2 ' (104.5) 1И. Интеграл по прицельному расстоянию 283 и, следовательно, коэффициенты ряда (104.4б) отличаются от Лен лишь членами порядка Л-'. Если пренебречь этими поправками в случае больших („то равенство (104.4б) можно записать в виде ,д Л', д Р,(созд) = 1 — — з!и' — + —.з!и' — +...
1П 2 2М 2 но последний ряд, как известно, представляет функцию Бесселя, поэтому окончательно получаем Игл Р, (соз 0) = у, ( (21 + 1) з!и — ) . дх ! ь о 2)' Подставляя выражение (104.6) в формулу (104.3) и учитывая соотношение (104.2), находим ю !" (д) = — (й ') Ь 1еась <М вЂ” 1! оо (2ЬЬ з!и — )с(Ь. (104.7) а Так Как энергия рассеиваемой частицы велика, то мы можем для вычисления фазы рассеяния 6(Ь) применить приближение ВКБ, воспользовавшись методом квазипотенциала, развитым в задаче 124. Согласно равенству (124.7), имеем ь где функцию Я(!) в области высоких энергий, а точнее, при условии !)г(г) !(( Е для всех значений г, можно заменить потенциалом (г(г). Если теперь от переменной ! вернуться к переменной г, то у нас получится следующее простое соотношение: о 6 (Ь) = — — ~" у Г гу(г!аг 2Е,) )гг' — Ьи ь (104.
8) 10ь Стоит заметить, что это соотношенне линейно по потенциалу !г (г), поэтому, когда потенциал состоит из отдельных простых слагаемых, как, например, межмолекулярный потенциал Леннарда— Джонса, содержащий две отрицательные степени г и т. п., их вклады в фазу рассеяния просто суммируются. В заключение запишем формулу для полного сечения рассеяния, применив к соотношению (104.7) оптическую теорему о = —, ! гп г" (О). 284 !!.
Задачи без учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциамн Вто даст О о = 4п ) Ь [1 — соз 25 (Ь)) с(Ь. о (104,9) Рс (соз О) ч 'рг —. соз ~ ( 1-!- — ) 0 — — 1, (104.ба) л!Мпб ~(, 2) 41 ' йв Ф и г. 55. Полинам Лежандра Р,ч(соз О) (сплошнал линия) и аппроксимирую- щая его функция Бесселя [!04.6) (пунктирная линия).
которое имеет особенности в точках 0=0 и 6=л. Вблизи 0=0 (рассеяние вперед, представляющее наибольший интерес) равенство (!04.6) является почти точным. Рпо мере роста угла 0 точность приближения ухудшается, и в точие б=л мы получаем ее(2!+1) вместо нужного значения ( — 1)'. На фиг. 55 для сравнения изображены полинам Рш и аппроксимирующая его функция (104.6). Так как с ростом знергии (АР))!) рассеяние назад становится все менее существевным, то зта ошибка нашей аппроксимации ие играет сиольконибудь заметной роли. Литература Мопдге 6., Ез.
Ма(цг1огзй., 2а, !ЗЗ (1947). В1апйепбес1ег Я., Оо(д(егуег М. 5., Рйуз. Реч,, 126, 766 (1962). Р1йууе 3., Кгйуег Н., Ез. Рйуз., 216, 2!З 11966), Задача 105. Борновское рассеяние. Последовательные приближения. Решить задачу о потенциальном рассеянии, рассматривая рассеивающий потенциал в качестве малого возмущения. Разобрать более подробно случай центральных сил. Замечание. Лппроксимация (104.6) очень удобна в задачах рассеяния в тех спучаях, когда энергия велика.
Она значительно лучше известного асимптотичесхого выражения 10о. Борноеекое раеееяаое Решение. Запишем уравнение Шредингера в виде т7еи+йи =ору(Г) и, (105.1) где й' = — „Е, д)Р (г) = — $' (г'). Функция Грина, соответствующая оператору, части уравнения (105.1), имеет вид ем ~ 4 (105.2) стоящему в левой (105.3) Рассматривая формально правую часть уравнения (105.1) в качестве неоднородности, мы можем применить к нему стандартный метод решения неоднородных дифференциальных уравнений.
Таким образом, имеем и (г) = и, (г) +д ) 6 (г, г') ))г (г') и (г') еРг', (105.4) где и,(г) — решение однородного уравнения. Равенство (105.4) представляет собой интегральное уравнение для функции и(г). Нетрудно убедиться, что интегральный член в (105.4) асимптотически, при больших г, описывает расходящуюся сферическую волну. Действительно, с ростом г' потенциал достаточно быстро убывает, что практически делает область интегрирования конечной, поэтому в выражении для функции Грина (105.3) мы можем считать, что г>) г' и, следовательно, 6 (г, е' ) — е — е-мг' сое в' (105,5) 4ие где (т' означает угол между векторами г и г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
