Том 1 (1129330), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(114,11) Š— Ее+— е Такому виду амплитуды рассеяния отвечает типичное резонансное сечение рассеяния Брейта — Вигнера: ~Ь(0) Г- (114. 12) !Š— Еч)з+ — Гз а Здесь Е, имеет смысл резонансной энергии, а Г означает ширину резонансной линии, связанную со средним временем жизни промежуточного резонансного состояния соотношением к=гь1Г. Предположим теперь, что значению энергии Е = Е, на траектории Редже соответствует точка, для которой 6 и т) равны соответственно 6, и т)„тогда для значения 1=Ь+г/, мы имеем г + 9 =се(Ее)+(бЕ ) (Еь — Ез)г 1 (да! и л что с учетом соотношений (1!4.9) и (114.8) дает 6 + !г) = й 'Г (,~~ ) (1 14.13) Оказывается, что производная (г(о!г(Е)л я практически является действительной величиной (см.
ниже), и йоэтому $,=0, а (114.14) причем величина т), может служить мерой ширины резонансной линии, Замечание. В случае потенциального рассеяниядоказать, что производная ба16Е вблизи от резонанса является действительной величиной, можно довольно легко: см. 1!е А!(ого !г., Ееяйе Т., Ро1еппа! Ясамеппй, Дпж1егбат, !965, р. !04. (Имеется перевод: де Альфаро В., Редясе Т„Потенциальное рабсеяиие, изд-во миир", 1966, стр.
136.— !урим. ред.) Если Д вЂ” эффективный размер области рассеяния, а о — скорость рассеиваемых частиц„то, крометого, можно показать, что дауг(Е ж Ц(уиг!. Согласно соотношению (114.2), это означает, что величины $ и т1, рассматриваемые как функции энергии, дол!кны быть связаны равенством 11о. Разложение елнонала 3!3 Д.
Приближение Вентнеля — Крамерса— Бриллюэна (ВКБ) Задача 115. Разложение эйконала Решить уравнение Шредингера, воспользовавшись известным из оптики методом решения волнового уравнения р'и + А'п' (т) и =- О (115. 1) с помощью процедуры последовательных приближений. С этой целью ввести эйконал 5(г), положив гш — З !е! и=ах (!15.2) где Л=-2п1й — длина волны в вакууме, и разложить его в ряд по степеням Л. Показатель преломления п(п) считать медленно ме- няющейся функцией координат.
решение. Пусть Л означает волну де Бройля во всех точках, где )г(г) =--О, тогда Л =, р = 'гл2тЕ = Ы. (115. 3) Р Введем далее показатель преломления п (1 ) — — )/ 1 — — . (! 15,4) Условие медленного изменения показателя преломления п озна- чает, что он меняется заметным образом на расстоянии 1, кото- рое значительно больше Л, иначе говоря, а7П! 1(<Л' ! ! ! ! (! 15.5) Подставляя выражение (115.2) в уравнение (115.1), приходим к уравнению Риккати: 2гл Ч 5+(75) п О' Л (1! 5.6) Если бы п было постоянным, то эйконал Я был бы линейной функцией координат и ргЗ = О.
В случае медленно меняющегося и можно ожидать, что по крайней мере на расстояниях порядка Л влияние нелинейности на экспоненту (115.2) будет мало. Так как для любого направления х имеет место разложение 3 (х+ Л) = Я (х) + ЛЗ (х) -(- — Л 5 (х) +..., то вклад нелинейного члена '/гЛ'3" будет мал при условии, что — ° —, Лг5" ~((1, или ~ р*5~(( —. 2а 1 ! 11 и !Обо зы !/.
Задачи бее учета спина. Д. Приближение ВКБ В этом случае первый член уравнения Риккатн (115.6) мал по сравнению с двумя другими членами, поэтому в первом приближении оно заменяется уравнением эйконала: (то) =" . (! !с у) Разложим теперь эйконал в ряд по степеням безразмерного параметра Х/2н!!. Мы имеем (115.8) причем (115,9) Подставляя это разложение в уравнение (115.6), получаем сле- дующую систему равенств: (75~) — л = О, 17%+2рФо. %5о = О, 19 5о+(~Во) +2~73о ~Во=0 1~'5, + 2ро, уЯ, + 2рЯ, рЯ, = 0 и т.
д. Эти равенства содержат только производные искомых функций, поэтому мы можем ввести безразмерные векторы У» = чо' (115.11) Выражения вида )р*~„ = !(т у„) будут тогда представлять собой безразмерные днвергенции век- торов у„, а равенства (115.10) приобретут внд у,'=и', 1 У У.= — 2 1(7 Уо) У, У.— [1(т У,)+У,1, 1 Уо У„= — — [1 (~1 У,) -(-2У, УД 1 и т.
д. С их помощью можно последовательно определить нсе векторы у„, через которые, согласно (115.11), величины З„выражаются в квадратурах. В заключение заметим, что вопрос о граничных условиях пока остается открытым. 116. Применение метода ВКБ к радиальному уравнению 315 Задача 116.
Применение метода 1!КБ к радиальному уравнению Развитый в предыдущей задаче метод применить для нахождения радиальной волновой функции в случае сферическн симметричного потенциала. Решение. Если эйконал зависит только от одной переменной г, то волновое уравнение )1 + Я ' (г) )(, = О, (! 16.1) где (з ' (г) = "' ( 1 Е 122 2 ) 211)(+) Ф»еа ) ' 2тЕ н»= —, й» (116.2) с помощью подстановки »а» . — а и) 2а у,=ел (116.З) приводится к уравнению Риккати (1! 6. 4) Разложение 5=5,+ — '. 5, +( —;.
)'5,+ .. (116.6) по степеням безразмерного параметра е —.= — (( 1, (116.6) где И вЂ” аффективный радиус области взаимодействия, позволяет получить следук2щую систему равенств: (1 16. 7) После введения безразмерных функций у„(е) = 5' (г) (116.8) 11» 5'5» = 5252 = 5,52 = П» 22 1 — — 1т5", 2 п' — — [)25",+5 ], — 2 [1г52 +25;52] и т.
д. 318 гл Задачи бев учета спина. Д. Припеижение БКБ зтн равенства принимают вид у 1)7 о Уо Уо 1гуг+ угг 2уо Нуг+ 2угуг 4 2уо С их помощью мы можем последовательно выразить функции у„(г) через функцию у„(г) и ее производные: Уг Уг = з / 2 Уо 4 ~ Уо 2 Уо ~ в; у= — — ~ — — 6 — '+6 — ~ит.д. гч Уо Уоуо Уо 3 з о з с) 8 уо Уо Уо Если (116.10) — действительная величина, то действительными будут и все функции у„(г), а так как мы разлагаем функцию Я по степеням чисто мнимого параметра е/1, то последовательные приближения Я„будут попеременно то действительными, то мнимыми и будут давать вклад то в фазу, то в амплитуду радиальной волновой функции )(с(г): с Хг(г)=ехр) ( —,уо+уг+ —,уг+~ —,) уз+" ~ р (11611) Если мы изменим знак величины у„то нечетные функции у,„„ ие изменят своего знака, а следовательно, не изменятся и амплйтудные поправки, четные же функции у,„измеият свой знак, так что в результате у нас получится комплексно сопряженное решение.
Таким образом, развитый метод позволяет найти фундаментальную систему решений. Задача 117. Граничное ВКБ- условие Лангера Рассмотрим потенциал, соответствующий силам отталкивания. В классической точке поворота г=г, решение ВКБ имеет особенность, что не позволяет сформулировать граничное условие. Эту,трудность можно обойти следующим образом. Заменим,дифференциальное уравнение, имеющее в качестве своих точных решений функции ВКБ, другим дифференциальным уравнением, которое, во-первых, согласуется с уравнением Шредингера вблизи 117.
Граничное ВЛ внус»овне Лангера 3!7 классической точки поворота и, во-вторых, согласуется с дифференциальным уравнением ВКБ во всей остальной области. Эту программу проще осуществить, используя в качестве независимой переменной вместо г величину е х=- ~ Я (г) с(г. (117.1) Решение. Так как в классической точке поворота выражение обращается в нуль, то функции ВКБ, =о- -«(* (о«>е ). (1!7.3) се имеют сингулярную амплитуду при г=г,. Нас интересует решение, конечное в точке г = г;, это позволит нам продолжить осциллирующее решение из области г>т, в область г(г„, где оно должно экспоненциально убывать.
Замену переменной (117.1) нетрудно сделать, заметив, что с!г с!» ' После указанной замены радиальное уравнение Шредингера принимает вид Х+ФХ+Х=О (117.4) где точкой обозначено дифференцирование по переменной х. С другой стороны, функции ВКБ, и т)-~1,еэе» (117.5) образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения й+ ~Яе — — — + — — )и=О, г з д' 4 Де 2 ЯЗ (117.6) где штрих означает дифференцирование по переменной г. Переходя к переменной х, можно записать это уравнение в виде й+ — и + [1 — — — + — -1! и=О.
б ( ! 41» ! (7 ) 4 С) 2 9) (! 17.7) Вблизи точки поворота г=г, функция Яе становится линейной функцией разности г — т„поэтому интеграл (117.1) будет пропорционален (г — тг)'1е. Таким образом, имеем Я (г — т,)'1», х (т — г,) 1 З1В се'. Задачи беа унана спина. Д, Прибаиехение ВКБ и, следовательно, (117.8) я хч °, и мы можем при ганг, заменить дифференциальные уравнения (117.4) и (1!7.7) соответственно уравнениями Х+ ! Х+Х=О (! 17.4а) и и+ — и+(! — — 'а )и=О. з (, звх ~ (117.7а) После подстановки Х =- хч <р (х), и = х'~*7 (х) (! 17.9) эти уравнения принимают вид (117.
4б) (1 17.7б) Оба уравнения являются уравнениями Бесселя и имеют соответственно решения <р(х)=Хэ 0(х) и !(х)=у„ч,(х). Так как при малых значениях х функция Бесселя У,(х) пропорциональна х', то фундаментальные решения Х ведут себя как х' н хч, т. е. оба конечны в точке х=0. Что же касается решений и, то они ведут себя как х-Ч и хч, т. е. одно из ннх имеет особенность, а другое равно нулю при х= О. Это та самая особенность решения ВКБ в классической точке поворота, которая ие позволяет сформулировать граничное условие. Ее можно устранить, заменив в уравнении (117.7б) член 'уех' на ')ех'.
Другими словами, мы должны к коэффициенту при неизвестйой функции в уравнениях (117.7б), (117.7а) и (! 17.7) добавить слагаемое '/„х'. В результате уравнение ВКБ (117.7) изменится лишь в непосредственной близости от точки х=О, а во всей остальной области практически останется неизменным. Пусть функция о (х) удовлетворяет этому новому дифференциальному уравнению, заменяюшему собой уравнение ВКБ (117.7): 1О! о+ — о-! ~! + — — — — + — ~ о=О. (117.10) 0 1 36~~ 4 Я~ 20~ поэтому в непосредственной близости от точки поворота должны выполняться равенства Ф 1 сч' 2 — — и О зх 777. Граничное ВКБ-условие Лангвра 3~9 Записав решение этого уравнения в форме, аналогичной выражению (117.3) или (117.5): п(х) =О-~а Г(х), (117.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
