В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. Вектор нормали К к данному участку поверхности направим из второй ореды в первую. Владам танис для данного учестка поверхности локальную декартову систему координат так, чтобы плоскостьЦ совпадала с понврхностью раздела сред, в ось Р. была ей ортогоявльна. Построим теперь на границе рэадвле дзух сред достаточно малый прямой круговой цилиндр радиуса Й и высотой 2Л (см.рыс.З). Иопольэуя третье уравнение системы (7.4), вычислям ноток вавтора магнитной индукции В чарва поверхность, ограничивающую данный цилиндр, устремив посяа этого величину Д. к нулю.
Так как при атом площадь боковой повархности цилиндра 5 = 5 +5я - 2.2жКЕ также обращается в нуль, е площади верхиайи нижнай "крышачвкк остаются конечными (5„= зг)(' ), то в результате получим Отс~4~?1М Н~ 8'- угй ~В~К - В й) = О. обозначая нормаяьныа составляющиа вактора В в первой и второй средах через В и В~~ соответственно, отсюда имеем 1 Š — В =О. л л узким образом,нормальныз составляющие вектора магнитной индукции на граница раздела двух сред непрерывны. Если каждая нз сред является изотропной, то соо*ношениа (7.1) принимает вид = Р"э~ йвпользуя тот же самый цилиндр, из чатвертого уравнении система (7.Ф) совершенно аналогично получим М ~Ю вЂ” Э„-а) = I. г и 4тг Кгп /дл с6р т.
Эт" ~у~т> у1л11) . о / О 0 (8,2) уащ как свободные ааряды, содержащиеся в ващастве, могут заховаться и на границе раздела двух сред, то правая часть этого евотношения, вообще говоря, на равна нулю прн )ъ -ь О . Если явотность этих зарядов записать в виде р = О„оя Я(у) , гда ) ~Е - поверхностная плотность свободных аарядов, то иэ сооь вфния (8.2) получим Х Е з„- ):) = 4хр (8.3) ',яфовательно, адинстванной причиной раармва нормальной составф(йей вектора электрической индукции на границе раздала двух ~( является наличие на ней свободных зарипов.
В скучав двух ° тропных сред соотношение (8.3) принимает вид а РП З~., Б — — а, — = 47гд .В > (е.е) щэл 'ъ где — = гь 17 . Испольауя оставшиеся два уревнеыия окстемы Ък (7.ч), ыы молем подучить еще два граничных условия. для етого в плоскости ХЕ локальной декартовой системы координат (вводимой в некоторой окрестности рассматриваемого участка поверхности раадела двух сред) построим достаточно малый прямоугольный коытур АВСР, полагая АВ = 2,, ВС=2Гл (см.рис.ф) ° Единичные векторы вдоль осей х , ц ы 2 локальной системы координат обоавачим череа 7 , х и гь соответственно. Половительное направление обхода контура А ВС)) выберем тек, как покеавно на рис ч Рис.
а. Выбор прямоугольного контура не границе раздела двух сред Рассмотрим теперь второе уравнение системы ~7.Ф). Будем считеть, что н качестве контура ~ в в*он уравнении используется контур ЯВСЬ) , е в качестве поверхности, ограниченной данным контурои - прямоугольник А ВС)) . После вычисления всех интегралов, входящих в данное уравнение, величину Г устремим к нулю, оставляя С, конечной. так как площадь прямоугоа нике 5 ~ 2Г Г и длины сторон А)) = ВС = 22 при атом обра- т л щаются в нуль, то ив второго уравнения систею (7.Ф) получии отсюда следует, что касательные составляющие векторе Е на границе разделе двух сред непрерывны: (8.9) Поступая совершенно аналогично, из первого уравнения системы (7.4) найдем е, л ~(н' и') = ~ "Е, ~б Ь~р.~<,„,,Ц.
с т. г сг о/ 81 г й (В.б ) Ориентируя прямоугольник АВС)".) в плоскости х у. и проводя те ° е самые рассуждения, имеем (8.8 ) Объединим соотношения (8. 7 ) и (8. 8 ) в одно векторное: ~г(й,— Й„Я = —.„., (8.9) Иэ мого выражения следует, что при наличии поверхностных тонов е ~ цранице раздела двух сред касательные составляющие вентора Н терпят на ней разрыв. Таким образом, на поверхности раздела двух срад должны выпиваться следующие граничные условия: Тск как на границе раздела двух сред плотность тона свободных зарядов может иметь дельтообразный характер /' =(, Йд)> где с ш — поверхностная плотность пока свободных зарядов, то эшгаграл, стоящий в правой части этого сост«ошанин при 0л-~О, вообще говоря, не обращается в нуль.
В результате иэ соотношения (8.6 ) имеем: ш Т 4Х Н -Н = с (-„.69- (8 7 ) ж Т. (8.10) Следует отметить, что в ряде аадеч (например, в случае бесконечных областей пространстве) граничных условий (8.10) либо недостаточно, чтобы полностью конкретизировать решение, либо некоторые из ких не совсем удобно использовать. В этом случае наряду с граничными условиямм (8.10) довольяо часто испольвуются и так называемые естественные Физические условия, которые накладываются не решения уравнений Максвелла. Вти условии обычно вытекают из Физической постановки задачи и позволяют уточнить вид решения в окрестности некоторых особых точек, в качестве которых достаточно часто выступают точки т = 0 и ю.='с о.
В частности, согласно естественным физическим требованиям, решение уравнений Максвелла должно быть ограииченным по модулю во всех точках, где появление сингулярности не может быть обосновано достеточыо веской фиаичесной причиной. Так, напримйр; напряженности полей Е и Н в какой-либо точке г. = г- прострекотва могу* обращаться н бесконечность' только в том СдуЧае, есле в данкой точке имеются бесконечные плотность заряда 4ыи, соответственно~ плотность тока. Совершенно аналогично, естественные фиаические условия требуют, чтобы потенциалы и напряженности влектромагниткого поля, создаваемого системой зарядов и токов, локалкзовевных в ограничекяой области пространства (иоточвик островного типа), стремились к нулю при уделекви точки наблюдения от этой области (если среда не является антидисслпирующей).
При изучении различных излучающих систем важная роль принадлежит условиям излучения Зоммеррельда, которые являются математическим выражением Физического требоваяия о переносе зкергии алектромагнитными волнами ст источника излучения к бескоке но удаленным точкам. Прн учете всех этих требований единствен- ность рененмя уравнений Максвелла будет полностьв обеспечена.
9 9. Зекон с х апенин эне гии з ма электдо12уаынке ус Используя уравнение макроскопической алектродинакнки (2.13), мы нолем получить дм)ференциальныи закон сохраыения энергии. Лля этого умнолим скалярно первое из уравнении (2..13) на Е , е второа на ~-й) и сложим полученные выражения. В результате будем иыеть 1- аэ 1-аВ М-.- .Р ~Н-нй~ =-И вЂ” +-Н вЂ” + — ~1 Г. а Э| с а~ Воспользовавшись известной форцулсй векторного анализа ды~е Й~ = %7~е Й~ + Р ~е н~ 4 = НЯЕ~ — Е ~чуЙ~ Н~ 1Š— Е йЙ, э Э1 — ыс ч-с1ЫЫ . ~Е -О ь где введены обозначения (9.2) и учитывая материальные уравнения 3 = 2Е, 8 = уз.Й,. справедливые для покоящихся изотропыых пред, сротнопение (9.1) южно привести к виду: -сйм~ХН5= ~ ~ (ЕЬ+йЕ~+ ~)ЕФ~фŠ— ~+И ~). +ус В случае, когда диэлектрическая н магнитная проницеемостн среды~ не аависят от времени, отсюда получим дифференциальный заков сохранения энергии: кЯ + )ы.Й ЪУ У 8к (9,5) — ~еЙ1 4эп для плотности энергии электромагнктного поля в веществе цу и Ф вектора Пойнтинга Я .
Таким образом, уменьшение с течаниам врамени плотности энэргии элзктромагнитного поля в некоторой точке согласно эакоыу сохранения энергии (9.2) приводит к появлению отличной от нуля дивэрганцин вектора Пойнтинга и к соваршанию полем работы над свободными зарядами. Однако з большинства случаев детальное знание баланса энергии з каждой точка окааывается ненужным, так как обычно интаресуютсн интегральными соотношениями, относящимися к накоторым конечным объемам проотранства. Лля получання такого соотношения проинтегрируем диЩФеранциальный закан сохранения (9.2) по некотсрошу объэшу.
Тзк как операции взятия частной производной по времени и интегрировеныя по пространству перестановочны, то получанноа ьырамание можно записать в виде Ч Праобраауя первый интеграл, стоящий в правой части, з позархностный и учитывая, что для покоящегося вещества Ч получим оладующий интагральный закон сохранения энергии макроснопичаакой элактродинамики; с) Г- — — Я = ~ ~ д5 ч- ~ ' Е сВ, (9,й) сН.
гда 8 — энергия элактромагнитного поля, содержащаясн в рвссмат рывавмом обьема: М Соглэоно закону сохранения (9.Ф) уменъиение энергии электромаг-; нитйара пали срем-Еб -М вЂ рав-сумме-потокв его энергии через поверхность, ограыячклающую денный объем,' и работы поля, совершаемой в сливину времени, над свободными зарндаии, содержащимися в объеме К ГЛАВА 2 ЗЛЕКТРОСТАТИКА КРОКО)К(ИКОВ И ЛИЗЛЕКТРИКОВ $ 10. Основные авнения и соотноиени эле т статики Одним из наиболее простых частных случаев эиектромагкитио- го поля в макросксяической влектродинамике являетоя случай электростатмческого поля, т.е.
поля, которое возникает в.покоя- щемся веществе при отсутствии времени плотности свободных зйрнвад, Зги условия означают, что вс воех уравнениях и соотношениях электродинамики мы должны опустить вое слагаемые, в которых содержатся частные производ- ные по времени и положить ! ы 0 . уравнение Максввлла в атом случае принимают вид тот.Й= О, го(.Е = О, (10.1) Ач8 =О, А~Э = 4сс(т, причем условие незавясимооти плотнооти варядов от времени требу- ет, чтобы все свободные заряды находились в покое.
Рассмотрим эти уравнения по очереди. Первое н третье ив них эквивалентны утверждению, что Й = 8 = 0 во всем пространстве. Действительно, учитывая, что в случае однородной и изотропыой среды Й = у~-й , получим Го( Н =О, ухдЫ Ц = 0 . Из первого уравиелия следует, что в отсутотвие токов вектор Й язляетоя потекцшядькым, а, следователъяо, не соленоидалъкым вектором во воем пространстве. Второа ке уравяеяие утверкдает, что этот вектор является солеяоидалъяым, а ке пстенуалъкыы вектором. Эти две взаимоисключающих требования для Н , аависящего от коордииат, очевидно, могут быть удовлетворены лишь в единстзеы- ыом олучае Ры 0 .
Ввлее, из второго уравнения системы (10.1) следует, что вевтор Е в случае злектростетики является потея- циалъяым вектором Е = -чтср . Подставим ато сооткошеяиа в чет- вертое уравнение системы (10.1). учитывая, что ).) = я Е , полу- чим ЧЕ ЖР 4и Лс(с + Е: 6 (10.2) )(ля однородного диэлектрика ( ~7 Е = О) зто уравнение цринимает вид 4х Р е (10.3) Уравиевме (10.3) необходимо дополнить граничными услочиякпт Е ~т О ))~ ~~ 1~тг Рпо8 т Так как в электростатике К=-%тср, то зги соотношения окааызаютоя зквивелеятяыыи следующей системе граничных услозийз Т»- в (10.4) э„., ар, Š— ' — Š— = 4хр„ л-),.
'а ° где гъ - координата в направлении нормали к границе раздела двух сред. Следует отметить, что условие нецрерывяости потенцие- лв (первое иа условий (10.4)) при решении задач злектростатики следует иополъзовать крайне осторожно, так как н ряде случаев око молвю быть нарушеяо . Прос*ейшим примером такого случая яв- ляется граница раздела двух сред, на которой имеется двойной электрический слой. В етом случае, как известно, потенциал яа границе ыопытызает скачок, а напряиеннооть электрического поля - 46- (Г ) = ~(„с-), ( 10.
7) у~~"-) = ~ ~~,Г~=), 8=ч гда О (Р), чс МЪ вЂ” плотность заряда частицы с номерам Сь м соэдаваамый аю потенциал. Если эта частица имеет заряд сь и ыаходится в точке, радиус-вектор которой Р = т 9а ~р (г) = . (ь0.'с", Яг — <с ( р ~Р) = ~ 8(' -т~), Таким образом, в случае островной системы овободных зарядов, находящихся в диэлектрике, энергии элактроотатического поля. определяется интегрированием проиаведания потенциала на плотность аарядов. В случае объамных зарядов, когда плотность заряда ни н одыой точка ые обрзщаатся н бесконечность, полнея энергия электростатического поля коначна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
